高等数学强化讲义

重点、难点做了不同颜色及字体的标注，以便复习时可以快速投入、高效提升。学、最高效、最自由的学台：把青春托付给值得信任的平台祝：复习愉快，天天高效，考研成功PS:讲义中的不足之处，欢迎各位研研批评指正，竭尽所能追求更好TOC\o"1-2"\h\z\u第一章函数极限与连 题型二七种未定型极限的求 题型三间断点的判 第二章一元函数微分 题型一导数与微分的概 题型二求导计 题型三导数的应用—单调区间与极 题型四导数的应用—凹凸区间与拐 题型五导数的应用—求函数曲线的渐进 题型六导数的应用—方程的根问 题型七微分中值定理的综合应 第三章一元函数积分 题型一原函数与不定积分的概 题型二不定积分与定积分的计 题型三变限积 题型四定积分证明及应 题型五反常积 第四章多元函数微分 题型一基本概念 题型二多元复合函数的偏导数和全微 题型三求隐函数的偏导数和全微 题型四多元函数的极值与最 第五章重积 题型二重积分的计 题型一数列极限的概念及证充分条件但非必要条必要条件但非充分条充分必要条既非充分条件又非必要条【答案】分析：考查数列极限的概2.xnyn满足limxnyn0，则下列断言正确的是nxn发散yn必发若xn，则ynxn有界，则yn必为无穷1若

为无穷小，则yn必为无穷小【答案】limn0,limbn,则必有分析：考查数列发散、、有界、无limn0,limbn,则必有极限limacnn极限limbcnn【答案】 limana0,limbnlimanbn.”这是一个常用的结论. 4.an0n12,sna1a2an则数列sn有界是数列an收敛 A.B.C.必要非充分条件D.【答案】5f(x)在(内单调有界，{xn若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛（B）若{xn}单调，则{f(xn)}有若{f(xn)}收敛，则{xn收敛（D）若{f(xn)}单调，则{xn}单【答案考查数列的单调有界准例6.设0x13,xn1 xn(3xn)(n1,2,)证明数列xn的极限存在，并求此极限分析：考查数列的“单调有界准则”求极限的方法。这种用递推关系定义的数列极限问题，一般是先利用单调有界准则证明极限存在，然后等式两边取极限解代数方程求出极限值。7.设函数f(x)lnx1x求f(x{x{x lnx 设列 满

nnn【答案

，证明

nf(1)1

n,一个实根

1 11limxn 题型二七种未定型极限的求法例1.当x0时， 等价的无穷小量x 1ex (B)ln1x

(D)1 1【答案1【分析】利用已知无穷小量的等价代换，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再【评注

1xx

的等价无穷小有些，但由于另三个的等价无穷很容易得到，因此通过排除法可得到答案arctanxsin例2. 1【答案】应填 6分析：考查求极限的方法：泰勒1cosxxln(1tan例3.求极限 sin41【答案4分析：考查利用等价无穷小代换和洛必达法则求极

F(x)

xln(1t20 ，设limF(xlimF(x)0，试a的取值范围【答案】1a5.求极限lim12cosx)x

6

x0 【答案】考查利用等价无穷小代换求ln(1 例6.求极限lim( )ex1 分析：此极限是 ”型，用取对数的方【答案】e例7.极限

)xx(xa)(x1（B）e（C）eab（D）【答案】应选【分析】本题考查利用重要极限求极限的方法，是一道基本题exe2xenxlim( )例8.求极限 ，其中n为给定的自然【答案】e例9.计算

ex2e22cos1【答案题型三间断点的判x2x21 例x2x21 【答案】应选【分析】本题考查函数间断点的概念和分类，分别求函数在间断点的极限即 例2.求极限lim( )sintsinx.记此极限为f(x)，求函数f(x)的间断点并类型txsinxf(xesinxx0f(x)xk(k12,f(x)的第二类间1分析：考查基本极限lim(1xxe第二章题型一导数与n1x1（2005，4分）n1x 处处可导

，则f(x)在(,)内【 恰有两个不可导点 至少有三个不可导点【答案】应选【分析】本题为简单综合题，主要极限运算、函数在一点可导的概念、导数与左右导数的关系等知识点。2（2006,4分）yf(xfx0,f(x0x 0dyy 0ydy ydy0 dyy0【答案】应选【分析】本题考查增量与微分的大小关系以及他们的正负号，由于本题为选择题，可以举例排除其中三项；另外，题设条件有明显的几何意义，用图示法求解也可以；也可用多种论证法分析，所以本题是一道一题多解的题目。3f(xy在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（若

f(x,y)xf(xyf(x,y)xx f(x,x若f(x,y)在（0，0）处可微，则极限xfx,y在（0，0）处可微，则极限

f(x, 2x【答案】应选

f(x,y满足

f(x,y)2xyxx2(y

0，则 题型二求导计算1（2002,3分）yy(x由方程ey6xyx210y(0)【答案】应填-2【分析】隐函数求两次导，属于基本题目例2设函数yf(x)由方程yxex(1y)确定，则limn(f(1)1) 【答案】应填

【评注】1、一般导函数的计算有：初等函数求导；隐函数求导；参数方程求导；反函数求2、隐函数求导方法是两边对自变量求导即可，注意将因变量和因变量的各阶导数看做自变量的

x3、参数方程求二阶导 为：设yy(t)，dyy(t) d2yy(t)x(t)x(t)4、反函数求二阶导数：设y

fxdx

x3d2 f f(x) n阶导数。其中，最后一种解法考生应该掌握。3ylnxxy1垂直的切线方程为yx【分析】基本题，导数的几何意义及两直线垂直的有关知识例4曲线sin(xy)ln(yx)x在点(0,1)的切线方程 yx 5设y

tln(1u2 t0 【答案】应填例6设函数f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n为正整数，则f(0) （A）(1)n1(n （B）(1)n(n （C）(1)n1 （D）(1)n【答案】应选lnx,x 7f(x

x

，y

ff(x

dx1【答案e【分析】本题可视为复合函数求题型三导数的应用—单调区间与极1（2001,3分）fxyf(xyfx的图形为【 【答案】应选2fx在(fx有【一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值三个极小值点和一个极大值【答案】应选【评注】选项均为极值点的个数，而可能的极值点应是导数为 的点或者导数不存在的点例3设函数f(x)连续，且f(0)0,则存在0，使得【 f(x)在（0，)内单调增加 （B）f(x)在(,0)内单调减少 对任意的x(0,)有f(x)f(0) (D)对任意的x(,0)有f(x)f【答案】应选【分析】本题主要函数的概念、函数单调性的概念以及极限的保号性质【评注】函数在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性

4f(x1

dt的单调区间与极值【答案 1 1f(x)的单调增加区间为(1,0),(1,)，单调减少区间为(,1),(0,1)，f(x)的极小值为f(1)0，极大值为f(0)0te 1 1 2 e 5.f(xy

x22

的极值【答案fx,y在（1，0）取得极大值，极大值为e2fx,y在（-1，0）取得极小值，极小值为e26.yf(xy3xy2x2y60yf(x题型四导数的应用—凹凸区间与拐例1.（1）曲线y(x1)(x2)2(x3)3(x4)4的一个拐点是 （A）(1, （B）(2, （C）(3, （D）(4,【答案】应选【分析】由拐点的充分条件可知(x0f(x0为曲线拐点的充分条件：若yf(x)xx0处满足f(x00,f(x00则(x0f(x0yf(x题型五导数的应用—求函数曲线的渐1y

x2x1

的斜渐近线方程为1【答案】应填y x 【分析 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程进行计算即可2y1ln(1ex，渐近线的条数为【x (B) (C) (D)【答案【分析 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线）A.yxsinC.yxsinB.yx2sinD.yx2sinxx）A.yxsinC.yxsinB.yx2sinD.yx2sinxx【答案】4f(xg(xf(0)(1xf(1)x，则在[0,1区间上（A）f(x0f(xf(x0f(xf(x0f(xf(x0f(x【答案】题型六导数的应用—方程的根问1已知函f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导f(0)=0,f(1)=1.证明（II）存在两个不同的点,(0,1)，使得f()f()f(b)=g(b),证明：存在abf(g【】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F(xfxgxF()0,F(x用罗尔定理，关键是找到F(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点c(ab)，使得F(c)0，则在区间[ac],[cb]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F(x)用罗尔定理即可。【评注】1、有关中值定理的证明问题是出题的一个热点，将中值定理和介值定理或几分中值定理结合命题是比较常见题形式。2、在用罗尔定理时，关键是找出辅助函数，一般常见思路是积分法，即根据要证明的结论，先3abf(a),f(b时，经常可考虑直接用拉格朗日中值定理5、题设中含有二阶或者二阶以上导数时，应注意考虑用泰勒进行分析讨论例3设函数f(x) ln(2t)dt，则f(x)的零点个数为 0(A) (B) (C) (D)【答案】应选3例4证明4arctanxx 0恰有两个实根33题型七微分中值1yf(x在(1,1)fx0立（2）lim(x1 【分析】（1）存在性的证明可用拉格朗日中值定理证明，唯一性的证明一般考虑用单调性

fx是严格单调的；（2）关键是如何“凑”出lim(x)来一种考虑是由

f((x)x)f

(x)f(0)lim(x达 yf(x在(1,1fx用例2设函数yf(x)在(0,)内有界且可导，则

f(x)0f(x

f(x)f(x)

f(x0f(x

f(x)f(x)【答案】应选例3（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在(a,b)可导，则存a,b，使得fbfafb证明：若函数fxx0处连续，在0,0内可导，且x

fxA则f0存在，且f0A4fx在【-1,12fx=1（存在0,1f'()1（Ⅱ）存在1,1，使得f''(f'(第三章题型一原函数与1f(exxexf(1)0fx【分析】基本题，复合函数求导法、求简单函数的原函数以及求函数表达式的基本运算等。fx1ln22Fxfx的一个原函数，MN表示“MN”，则必有【】 F(x)是偶函数 f(x)是奇函数F(x)是奇函数 f(x)是偶函数

Fx)是周期函数F(x)是单调函数

fx是周期函数fx是单调函数【分析 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案【评注】注意下面结fx为(1fx是奇函数fx)的任意原函数Fx为偶函数1x2f(x)是偶函数f(x)的原函数中只有一个为奇函数， f(t)dt203fx)的任意原函数为周期函数fx3Tfx为以T0

f(x)dx0f(x的任意原函数是以T4函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系4题型二不定积分1求

e2 dx【分析】被积函数中为反三角函数与指数函数乘积，因此采用分部积分法1(e2xarctanexexarctanexC2【评注】①对于不定积分的计算，应熟练掌握基本积分方法，如换元积分法，分部积分法，在形式上不一致，结果是否正确只需对其求导后看是否等于被积函数即可。②分段函数求不定积分需注意，按分段分别求不定积分，并利用原函数在分段点的连续性，将各个分段上的任意常数统一成一个任意常数。2Cyf(x，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数fx)3(x2x)f0【答案】213

exdx 【答案

1e212【分析】先作变量代换，再分部积分【评注】①定积分的计算与不定积分计算相似，应掌握几种常用的基本积分②尽量利用定积分的几何意义、被积函数的奇偶性、周期性等进行化简，从而简化计算 f(x)f奇偶性 lf(x)dx0[f(x)f(x)]dx2lf(x)dx,f(x)f f(xf(xT) f(x)dxaf(x)dx0f(x)dx f(x)dx0f(x)d f(x)dx

f(x)d f(x)dxn0f04

x xdx0【答案】应填【分析】本题考查定积分的换元积分和分部积分法，属基本运算题。例5 比较1lnt[ln(1t)]ndt与1lnttndtn1,2, 设un1lnt[ln(1tndt(n1,2,，求极限lim n【分析】本题为一道综合题，定积分的性质和极限求值的定理【答案】（Ⅰ）1lnt【答案】（Ⅰ）1lnt[ln(1t)]ndt1lnt（II）limunIkI例6设k0esinxdx，k1,2,3，则有 （A）I1I2 （B）I3I2 （C）I2I3 （D）I2I1【答案】应选27.02【答案

2xx2dx 28计算1f(xdxf(x)xln(t1) 题型三变限积分2并求极限limnf()

f(xyarctanxet2dt在点(0,00 义计算2yxlimnf() x【评注】变限积分是指变上（下的问题，变限积分函数都可以涉及，如求极限、求导数、讨论连续性、可导性、单调性、求极值或最值等，关于变限积分，应注意以下常用结论。x①连续性：fx在区间[ab上可积，则积分上限函数(xaf(t)dt在[a上连续x②可导性fx在区间[ab上连续，则积分上限函数(xaf(t)dt在[ax 上具有导数，并且它的导数是x)dx③推广

f(t)dtf(

(x)f(t)dtf((x))(x)f

例2如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半x周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)0f(t)dt.则 x

F(3)3F(2) 4F(3)3F(2) 4

F(3)5F(2)4F(3)5F(2)4【答案【分析 本题考查定积分的几何意义，以及奇、偶函数表示的变限积分函数的奇偶性3设函yfx在区间13上的图形为ff--3x则函数Fxxftdt的图形为 -3x1-3xA - B -C【答案】

2F(2F(1有 0g(x)f(x)dx0f(x)g(x)dxf【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分题型四定积分1fx xf(t)dt可导，且F(x)f(x)0

xf(t)dtx2f(t)dt00以2为周期的周期函数【评注】定积分的证明是一个难点，主要包括以下几类问题1 定积分等式的证明。一般的思路有，换元积分法、分布积分法、参数变量法，其中参 变量法是将af(x)dx化为变限积分af(t)dt2定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定3、定积分不等式的证明。一般有三种方法1利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明12将定积分的上（下）限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学2法证明33)2yxtantdt(0xs) 【答案】应填 【分析】考查平面曲线的弧长、变上限积分函数的导数和简单定积分计算3D

x1xa(a0)x轴所围成的平面图形，v

Dx轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若vy10vxa的值【答案】a 【分析】考查应用定积分求旋转体体积的计算方法。 4L的极坐标方程为rcos

6面积【答案【分析】考查在极坐标系下计算平面图形面积的方法，是一道基本题5yx2y22yy12x2y21(y12容器的容积 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为gms2，水的密度为0gm3 【答案（Ⅰ） 【分析】考查定积分的应用：一是求旋转体的体积，求容积时利用对称性可以减少计算量二是求变力做功，其关键是分段写出功的微元与直线AB及x轴围成，求区域D的面积及Dx轴旋转一周所得旋转体的体积3题型五反常积分 1x22x3【答案】8

dx 【分析】本题是一道基础题，主要考查无穷区间上反常积分的计算及换元积 x 2f(x

x0,0则xf(x)dx1【答案】【分析】主要考查反常积分的计算及分部积分法 ,1x(x例3设函数f(x) ，若反常积

f(x)dx收敛，则

x （A） （B） （C）2 （D）0【分析】考查反常积分收敛性的判定 例4 xln2【答案】应填【分析】基本第四章题型一基本概念题1f(xy)4①f(x,y)在点(x0,y0)处连续 f(xy在点(x0y0

f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0若用“PQ”表示可由性质P推出Q，则有 【答案 应选题型二多元复合函数的偏导数和全微1.设函数f(xy)可微，且对任意xy都有fxy)0

f(x,

0f(x1y1f(x2y2成立的一个充分条件是）（A）x1x2,y1（B）x1x2,y1（C）x1x2,y1【答案】选（D）x1x2,y1设函数

zxz【分析】此题主要考查多元复合函数求偏导【答案】

1y

1 zfexcos 2z2z 例3.设函数f(u)具有2阶连续导数 f(0)0f(0)0f(uf(u)1u(e2u4

满 excosy)e2x 例4.设函

f(x,

具有二阶连续偏导数，且满足等式

12

0xay,x 确定a，b的值，使等式在变

下化简

【分析】利用复合函数的链式求导法则变形原式即可【答案a a 2或 b

题型三求隐函数的偏导例1.设有三元方程xy-zlnyexz1，根据隐函数存在定理，存在点0,1,1的一个邻域， 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数zzx,yxxyxzzx,y可确定两个具有连续偏导数的隐函yyxzzzx,yxxy,x yyx,z可确定两个具有连续偏导数的隐函 【答案】应选F(xyz)xyzlnyexz1FzFxFy，再考虑在点(0,1,10， xx xxyy （C）- （D）-【答案】应选题型四多元函数的极值与最值x例1已知函数fx,y在点00的某个邻域x

fx,yxy1 x2y2点00fx,y的极值点点00fx,y的极大值点点00fx,y的极小值点根据所给条件无法判断点00是否为fx,y的极值点【答案】应选一定难度.将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。2zzxyx26