2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：模拟试卷(一) Word版含解析

2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2017年江西南昌二模)已知集合A＝{x|y＝lg(3－2x)}，B＝{x|x2≤4},则A∪B＝()A.B．{x|x<2}C.D．{x|x≤2}2．(2017年北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)3．(2017年广东茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤4．(2017年北京)某三棱锥的三视图如图M11，则该三棱锥的体积为()图M11A．60B．30C．20D．105．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是()A．3B．4C．5D．66．(2017年山东)执行两次如图M12所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a值分别为()图M12A．0,0B．1,1C．0,1D．1,07．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M13，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是()图M13A．10B．11C．12D．138．(2017年浙江)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是()A．[0,6]B．[0,4]C．[6，＋∞)D．[4，＋∞)9．(2017年广东惠州三模)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为()A．25B．5C．－15D．－2010．(2016年天津)已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()A.C.B.D.∪∪11．(2017年新课标Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝112．(2017年广东茂名一模)已知f(x)＝|xex|，又g(x)＝f2(x)－tf(x)(t∈R)，若满足g(x)＝－1的x有4个，则t的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.14．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．15．(2017年广东广州综合测试二)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．16．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2017年广东深圳一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝csinA－acosC.(1)求C；(2)若c＝，求△ABC的面积S的最大值．18．(本小题满分12分)(2017年广东梅州一模)某集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：井号I坐标(x，y)/km(2,30)钻探深度/km出油量/L123456(1，y)10(4,40)4(5,60)5(6,50)6(8,70)82407011090160205(1)1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y＝6.5x＋a，求a，并估计y的预报值；(2)现准备勘探新井7(1,25)，若通过1,3,5,7号井计算出的，的值(，精确到0.01)相比于(1)中b，a的值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6(1，y)，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？(参考公式和计算结果：＝，＝－，＝94，＝945)(3)设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)(2017年江西南昌二模)如图M14，已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，SB＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.(1)求实数λ的值；(2)求二面角SBEF的余弦值．图M1420．(本小题满分12分)(2017年天津)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝exf(x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数y＝g(x)和y＝ex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线．①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0－1，x0＋1]上恒成立，求b的取值范围．21．(本小题满分12分)(2017年广东韶关二模)已知动圆P过定点M(－，0)且与圆N：(x－)2＋y2＝16相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点D(3,0)且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在第22～23两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程(2017年广东调研)已知曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ－3＝0.(1)分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于P，Q两点，求△POQ的面积．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲(2017年广东梅州一模)设函数f(x)＝(1)求证：f(x)≥8恒成立；＋|x－2m|(m>0)．(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围．2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)1.D解析：因为A＝{x|y＝lg(3－2x)}＝{x|3－2x>0}＝故选D.，B＝{x|－2≤x≤2}．所以A∪B＝{x|x≤2}．2．B解析：(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1.3．A解析：依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列性质，得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.4．D解析：该四棱锥体积为××3×5×4＝10.5．B解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2<.所以6≤t5<4.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<4矛盾，故正整数n的最大值是4.6．D解析：第一次x＝7,22<7，b＝3,32>7，a＝1；第二次x＝9,22<9，b＝3,32＝9，a＝0.故选D.7．C解析：由题意，得＝88，m＝3，n＝9.所以m＋n＝12.故选C.8．D解析：如图D204，可行域为一开放区域，所以直线过点A(2,1)时取最小值4，无最大值．故选D.图D2049．C解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5，含有x2项的构成为－20x2＋5x2＝－15x2.故选C.10．D解析：f(x)＝＋－＝sin，f(x)＝0⇒sin＝0，所以x＝因此ω∉∉(π，2π)，(k∈Z)．∪∪∪…＝∪⇒ω∈∪.故选D.11．B解析：双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，椭圆中：a2＝12，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝9，c＝3.即双曲线的焦点为(±3,0)．据此可得双曲线中的方程组：解得a2＝4，b2＝5.则双曲线C的方程为－＝1.故选B.12．B解析：令y＝xex，则y′＝(1＋x)ex.由y′＝0，得x＝－1.当x∈(－∞，－1)时，y′<0，函数y单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，y′>0，函数y单调递增．作出y＝xex的图象，利用图象变换得f(x)＝|xex|的图象如图D205，令f(x)＝m，图D205当m∈当m∈时，f(x)＝m有3个根；时，f(x)＝m有1个根；因此，当关于m的方程m2－tm＋1＝0两根分别在，时，满足g(x)＝－1的x有4个．令h(m)＝.故选B.m2－tm＋1，由h(0)＝1>0和h＝－t＋1<0，解得t>13．2解析：a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴.解得m＝2..∴＝＝14.解析：根据双曲线的对称性，不妨设F(c,0)，虚轴端点为(0，b)，从而可知点(－c,2b)在双曲线上，有－＝1，则e2＝5，e＝.15.解析：令n＝1，得a1＝S1＝k－1；令n＝2，得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4.所以Sn＝4n2－1，＝＝＝.则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.16.解析：由正弦函数的图象与性质知，当x∈∪时，sinx≤.所以所求概率为＝.17．解：(1)由已知及正弦定理，可得2sinA＝sinCsinA－sinAcosC，在△ABC中，sinA>0，∴2＝sinC－cosC.∴sinC－cosC＝1.∴sin∵0<C<π，∴－<C－<.∴C－＝.∴C＝.＝1.(2)方法一，由(1)知C＝，∴sinC＝.∵S＝absinC，∴S＝ab.∵cosC＝，∴a2＋b2＝3－ab.∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．∴S＝ab≤.∴△ABC的面积S的最大值为.方法二，由正弦定理可知＝＝＝2，∵S＝absinC，∴S＝sinAsinB.∴S＝sinAsin.∴S＝sin－.∵0<A<，∴<2A＋<.∴当2A＋＝，即A＝时，S取最大值.18．解：(1)因为＝5，＝50.回归直线必过样本中心点(，)，则a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.故回归直线方程为y＝6.5x＋17.5.当x＝1时，y＝6.5＋17.5＝24，即y的预报值为24.(2)因为＝4，＝46.25.又＝94，＝945，所以＝＝≈6.83.＝－＝46.25－6.83×4＝18.93.即＝6.83，＝18.93，b＝6.5，a＝17.5.≈5%，≈8%，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井6(1,24)．(3)由题意，1,3,5,6这4口井是优质井，2,4这两口井是非优质井，∴勘察优质井数X的可能取值为2,3,4，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.XP234E(X)＝2×＋3×＋4×＝.19．解：(1)如图D206，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG.则平面SAC∩平面EFB＝FG.∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG.∵△GEA∽△GBC，∴＝＝.∴＝＝⇒SF＝SC.∴λ＝.图D206(2)∵SA＝SD＝，∴SE⊥AD，SE＝2.又∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝.∴SE2＋BE2＝SB2.∴SE⊥BE.∴SE⊥平面ABCD.以EA，EB，ES所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，S(0,0,2)，平面SEB的法向量m＝＝(1,0,0)．设平面EFB的法向量n＝(x，y，z)，则n⊥⇒(x，y，z)·(0，，0)＝0⇒y＝0，n⊥⇒n⊥⇒(x，y，z)·(－1,0,2)＝0⇒x＝2z，令z＝1，得n＝(2,0,1)，∴cos〈m，n〉＝＝.即所求二面角的余弦值是.20．(1)解：由f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，可得f′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]，令f′(x)＝0，解得x＝a，或x＝4－a.由|a|≤1，得a<4－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)(a,4－a)(4－a，＋∞)f′(x)f(x)＋↗－↘＋↗所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(4－a，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a)．(2)①证明：因为g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，由题意知所以解得所以f(x)在x＝x0处的导数等于0.②解：因为g(x)≤ex，x∈[x0－1，x0＋1]，由ex>0，可得f(x)≤1.又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，所以x0为f(x)的极大值点．由(1)知x0＝a.另一方面，由于|a|≤1，故a＋1<4－a.由(1)知f(x)在(a－1，a)上单调递增，在(a，a＋1)上单调递减，故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[a－1，a＋1]上恒成立，从而g(x)≤ex在[x0－1，x0＋1]上恒成立．由f(a)＝a3－6a2－3a(a－4)a＋b＝1，得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1.令t(x)＝2x3－6x2＋1，x∈[－1,1]，所以t′(x)＝6x2－12x.令t′(x)＝0，解得x＝2(舍去)，或x＝0.因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，故t(x)的值域为[－7,1]．所以b的取值范围是[－7,1]．21．解：(1)设动圆P的半径为r，由圆N：(x－)2＋y2＝16及点M(－，0)知点M在圆N内，则有从而|PM|＋|PN|＝4>|MN|＝2.所以点P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆．设曲线C的方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4,2c＝2＝2.所以a＝2，b＝1.故曲线C的方程为＋y2＝1.(2)依题意可设直线AB的方程为x＝my＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x整理，得(4＋m2)y2＋6my＋5＝0.所以则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋6＝x1·x2＝