第六章新概念

第六章分离变量法

分离变量法是一种求解数学物理定解问题的常用方法，它的适用范围广泛、知识基础比较

简单。用分离变量法来求解的主要步骤为：分偏为常，分别求解，合成半通解，确定特解。

§6.1齐次问题

演化问题的泛定方程包括输运方程与波动方程，待求的未知函数中既有空间变量，又有时

间变量，一般来说，对应的定解问题中既有初始条件，又有边界条件，比较复杂.我们先来研

究齐次的演化问题，即泛定方程和边界条件都是齐次的情况。

6.1.I典型问题的求解

I)定解问题

我们考虑一维均匀细杆的热传导问题，设杆长为L,取杆的一端为原点，杆身为x轴。杆

的两端固定为0度，初始温度分布为(p(x),定解问题为

ut=矿〃注，0<x<L

(6.1.1)

Ml,=0=叭X)

2)分偏为常

先假设未知函数可以写成分离变量的形式

“(x,f)=X(x)T(f)(6.1.2)

代入泛定方程后得到

X(x)T\t)=a2X'\x)T(t)(6.1.3)

将上式两边同时除以/XCOTQ),得到

T\t)X"(x)

(6.1.4)

a2T(t)~X(x)

(6」.4)式的左边为时间t的函数，右边为坐标x的函数，两边要保持相等，必须都等于一个既不

随时间变化，又不随坐标变化的常数，这个常数称为分离参数，记为4。这样，泛定方程就分

离为两个独立的常微分方程

X"(x)+/lX(x)=0,T\t)+Aa2T(t)=0(6.1.5)

将分离变量形式(6.1.2)代入边界后得到

X(0r(f)=X(L)T(f)=O(6.1.6)

显然，TQ)=O满足上式要求，但由此得到的特解〃=X(x)TQ)=O既不满足初始条件，又不

能对合成半通解作贡献，在此我们不考虑这种情况。换句话说，我们希望得到的是一个非零的

特解。因此，剩下来的可能就是

X(O)=X(L)=O(6.1.7)

这样，我们就得到了泛定方程和边界条件的分离变量形式，即

X"(x)+/lX(x)=O,

\,T")+/la2T⑺=o(6.1.8)

X(0)=X(L)=0

3)分别求解

(6.1.8)式中前一个是空间问题，后一个是时间问题。容易看出空间问题是一个斯刘型本征

值问题，求出本征函数为

Xk(x)=sin(j)kx,a)k=k兀1L,kGN*(6.1.9)

对应的本征值为

4=啰/=(A〃/L)2,kwN*(6.1.10)

将得到的本征值代入(61.8)式中后一个方程，再进行求解，得到

Tk(/)=Akexp(-a%>),kwN+(6.1.11)

4)合成半通解

将分别求解的结果(6.1.9)和(6.1.11)两式相乘，我们得到分离变量形式的特解

2+

uk(x,0=Tk(t)Xk(x)=Akexp(-a(y^/)sin(y(.x,keN(6.1.12)

这样的特解有无穷多个，它们都满足泛定方程和边界条件。但是在初始时刻t=0,(6.1.12)成为

+

uk(x,0)=Tk(0)Xk(x)=Aksina)kx,keN(6.1.13)

一般来说，不满足特定的初始条件。然而，考虑到本征函数集合的完备性，它们的叠加可以等

于任意的初始函数(p(x)。换句话说，所有分离变量形式的特解的叠加构成了定解问题(6.1.1)的一

个半通解，即满足泛定方程和边界条件的一般解

2

u(x,t)=Z4*/)=ZA*exp(-a<«jr)sincokx(6.1.14)

*=1k=i

5)确定特解

将半通解代入到保留的初始条件中，我们得到

*(x)=ZAksin(j)kx(6.1.15)

k=\

上式正好是初始函数(p(x)按本征函数完备集作广义傅立叶级数展开的表达式。利用本征函数的

正交性，立即得到展开系数

再将所得结果代回半通解，就得到了定解问题的特解。

2八

%=CTU总,0<X<7T

例6.1-1：求定解问题的特解｝L=o=O，

ul(=0=sinx(A+Bcosx)

解：假设未知函数可以写成分离变量的形式〃(x,f)=X(x)TQ),代入泛定方程和边界条件后得

到分离变量的形式

fX"(x)+2X(x)=0,

《，T\t)+Aa2T(t)^0

X(0)=X0r)=0

其中九为分离参数。上式中前一个是斯刘型本征值问题，求出本征值和本征函数为

2+

Ak=k,Xk(x)=sinkx,keN

将得到的本征值代入后一个方程，得到

22+

Tk(f)=Akexp(-akt),kEN

此可以合成特解，再叠加成定解问题半通解

u(x,t)=Z&exp(-a2Z:2r)sinfcx

k=l

将半通解代入初始条件后，得到

sinx(A+8cosx)=ZL&sinkx

Asinx+sin2x=A〕sinx+&sin2x+A3sin3x+•••

比较两边同类项的系数，得到

At=A,A2=}B,Ak>1=0

将所得系数代回半通解，得到定解问题的特解为

u(x,t)=Ae~a''sinx+lBe"4""sin2x

容易验证，这个结果完全满足泛定方程和定解条件的要求。

G,—crGa,0<x<L

例6.1-2：求热传导问题的格林函数<Gl=0,0

t=0G\X=L=

Gl,=0=S(x-x'),0<x'<L

解：问题的半通解为

2

G(x,x',t)=£A«exp(-t7^Z)sincokx,a>k=—

k=lL

将半通解代入初始条件后，得到

b(x—x')=ZL4sin0E

利用本征函数的正交性，得到展开系数

2rL2

Ak=—£sincokx8(x-x')dx=—sincokx\keN*

再将所得结果代回半通解，就得到了格林函数为

002

G(x,x\，)三小n4x'exp(-a%；f)sincokx

k=\L

6.1.2推广与应用

下面，我们将分离变量法推广应用到其它问题中。

1)第二类边界条件情况

把典型问题中的边界条件改为两端绝热，即第二类边界条件,定解问题成为

u1=a~uxx,0<x<L

<"J=0=0，"J=L=0(6.1.17)

Ml,=0=9(x)

假设未知函数可以写成分离变量的形式

u(x,t)=X(x)T(t)(6.1.18)

代入泛定方程和边界条件后分离变量，得到

X"(x)+2X(x)=0,

\,T⑺+/la2T⑺=o(6.1.19)

x(o)=xg=o

其中人为分离参数。上式中前一个是斯刘型本征值问题，求出本征值和对应的本征函数分别为

4=(^/L)2,kwN

(6.1.20)

Xk(x)=cosa)kx,①卜=k6L

将得到的本征值代入(6.1.19)式中后一个方程，再进行求解，得到

T^t)=Akexp(-a%%),kGN(6.1.21)

将分别求解的结果(6.1.20)和(6.1.21)两式相乘，我们得到分离变量形式的特解

2

uk(x,t)=Tk(t)Xk(x)=Akexp(-acoIt)coscokx,keN(6.1.22)

对所有特解进行叠加，得到半通解

op00

2

w(x,f)=£以(x")=ZA&exp(-tzco^t)coscokx(6.1.23)

A=0k=0

将所得半通解代入到初始条件中，得到

oo

9(X)=ZA-cos①kX(6.1.24)

k=0

将上式左边用本征函数展开，再与右边进行比较，立即得到展开系数

1rL2rL

4=一1)火工四，Ak=-J()co叫x・(p(x)dx,keN(6.1.25)

再将所得结果代回半通解，就得到了定解问题的特解。

2

ut=au.,0<x<7r

例6.1-3：求定解问题的特解人「=0

"l,=o=Acos2x

解：假设未知函数可以写成分离变量的形式〃(x,f)=X(x)T(f),代入泛定方程和边界条件后得

到分离变量的形式

X"(x)+/lX(x)=0

T⑺+4/7。)=。

X'(0)=X'(乃)=0

其中大为分离参数。上式中前一个是斯刘型本征值问题，求出本征值和本征函数为

2

A,k-k,Xk(x)=coskx,k€N

将得到的本征值代入后一个方程，得到

Tk(0=Akexp(-oD),keN

由此可以合成特解，再叠加成定解问题半通解

=ZA&exp(-a2Z:2r)cosZcx

k=0

将半通解代入初始条件后，得到

2

Acosx=Z；0Akcoskx

即

y71+yAcos2x=4)+4cosx+A2COS2X+A3cos3%+…

比较两边同类项的系数，得到

4=2^4=2^A=AQ2=0

将所得系数代回半通解，得到定解问题的特解为

u(x,t)=+yAe~4ir,cos2x

容易验证，这个结果完全满足泛定方程和定解条件的要求。

〃,二Q4.,0<x<L

例6.1-4：用格林函数方法求解I0=0,uI£=0

HI,=0=^(X)

G=。七网，0<x<L

解：与定解问题对应的格林函数问题为1G/LO=O，GJ、T=0

GI,=O=^(X-X'),O<X'<L

问题的半通解为

2

G(x,x',f)=Z&exp(-a(y^r)coscokx,a)k=——

*=oL

将半通解代入初始条件后，得到

3(X-X')=Z；=O4COSQ/

利用本征函数的正交性，得到展开系数

1L1

4=7,C)b(x_xWx=7

LtL

2rL2+

Ak=—coscokxo{x-x')dx=—coscokx\keN

再将所得结果代回半通解，就得到了格林函数为

1②2

G(x,x\t)=—+2一cosa)x'exp(-a2^t)cosa)x

Lk=]Lkk

代入到积分公式(5526),立刻得到

u(x,t)-fG(x,x',t)(p(x')dx'

JO

cos

=—£(p(x')dx'+Z—J。①kx*叭x')dx'•。一’「啖cosa)x

L°k=iL。k

这与我们直接用分离变量方法得到的结果完全一致。

2)第三类边界条件情况

把典型问题中的边界条件改为一端保持0度，另一端绝热，即第三类边界条件，定解问题

成为

2

w,=auxx,0<x<L

〃L=o=°，Lt=0(6.1.26)

«l,=o=(P(x)

假设未知函数可以写成分离变量的形式

u(x,t)-X(x)TQ)(6.1.27)

代入泛定方程和边界条件后分离变量，得到

X"(x)+/lX(x)=0,

,T")+/la2T⑴=o(6.1.28)

X(0)=XU)=0

其中人为分离参数。上式中前一个是斯刘型本征值问题，求出本征值和对应的本征函数分别为

2

Xk-a>k,Xk(x)=sincokx,cok-(k+^)7r/L,keN(6.1.29)

将得到的本征值代入(6.1.28)式中后一个方程，再进行求解，得到

Tk(t)=Akexp(—a%；f),keN(6.1.30)

将分别求解的结果相乘，再对所有特解进行叠加，得到半通解

PC6

2

w(x,r)=£111k(x,t)=Z&exp(-^^r)sina)kx(6.1.31)

k=0k=0

将所得半通解代入到初始条件中，得到

00

(p{x}=ZAksina)kx(6.1.32)

k=Q

将上式左边用本征函数展开，再与右边进行比较，立即得到展开系数

21

4=—]sin叫keN(6.1.33)

1-io

再将所得结果代回半通解，就得到了定解问题的特解。

G,=c12GgQ<x<L

例6.1-5：求热传导问题的格林函数|GID=0,G,1、_=0

GI,=O=^(X-X'),O<X'<L

解：问题的半通解为

G(x,x\t)=£exp(一/域。sin外乐cok二伏+2)乃

k=0L

将半通解代入初始条件后，得到

€>(x-x')=^=o4sin(yA.x

利用本征函数的正交性，得到展开系数

2

Ak=—Isina)kxo(x-x')dx=—sincokx\keN

L。L

再将所得结果代回半通解，就得到了格林函数为

002

G(x,x\z)=Z—sin例x'exp(一。之就r)sin你x

k=0L

2

ut=auxx.0<x<j7r

例6.16求定解问题的特解kLo=0，〃/r/2=0

3

ul/=0=Asinx

解：容易看出，该问题是附加第三类边界条件的热传导问题。利用已知公式(6.1.31),立即得

到该问题的半通解

=Z4及exp(一cok=2k+l

*=o

将半通解代入初始条件后，得到

Asin3x=Z：=oAsin(24+l)x

比较两边同类项的系数，得到

A)=9A,4=-1A,Ak>i=0

将所得系数代回半通解，得到定解问题的特解为

“(x,f)=?sinx-^Ae^0'1sin3x

3)波动方程情况

把典型问题中的泛定方程改为波动方程，再补充初始速度w(x),定解问题成为

w„=a~uxx,Q<x<L

<"L=o=0,w(=/,=0(6.1.34)

〃Lo=0(x),〃J=o="(x)

假设未知函数可以写成分离变量的形式

u(x,t)-X(x)T(r)(6.1.35)

代入泛定方程和边界条件后分离变量，得到

CX"(x)+/lX(x)=0,

(，T"(0+/l«W)=0(6.1.36)

X(O)=X(L)=0

其中大为分离参数。上式中前一个是斯刘型本征值问题，求出本征值和对应的本征函数分别为

4=(br/L)2,k&N+

(6.1.37)

Xk(x)=sina>kx,3k-k7r/L

将得到的本征值代入(6.1.36)式中后一个方程，再进行求解，得到

[(f)=Akcos(a>kat)+Bksin(例af),kGN*(6.1.38)

将分别求解的结果相乘，对所有特解进行叠加，得到半通解

u(x,t)-1tcos(例af)+Bksin(<»jtar)]sin3kx(6.1.39)

A=l

将所得半通解代入到初始条件中，得到

500

0(x)=ZAsin41,“(x)=纭sin?x(6.1.40)

k=\k=\

将上两式左边用本征函数展开，再与右边进行比较，立即得到展开系数

2rL21,

A=—Isina)x-(p(x)dx,a①出=—]sin七天・〃(x)dx,ksN(6.1.41)

kLokLo

再将所得结果代回半通解，就得到了定解问题的特解。

0<x<乃

例6.1-7：求定解问题的特解《"L=o=o,"L»=。

"L=o=°，uil=o-sinx(A+Z?cosx)

解：假设未知函数可以写成分离变量的形式w(x,f)=X(x)T(t),代入泛定方程和边界条件后得

到分离变量的形式

X"(x)+/lX(x)=0

T"(t)+Aa2T(t)=0

X(0)=X(1)=0

其中人为分离参数。分别求解后得到

4=k~,Xk(x)=sinkx,Tk(f)=Akcos(kat)+Bksin(to),kGN*

由此可以合成特解，再叠加成半通解

w(x,r)=cos(kat)+Bksin(kaf)]sinkx

将半通解代入初始条件后，得到

0=Z；=]4sinfcc,sinx(A+Bcosx)=£]/a4sinfcv

比较两边同类项的系数，得到

4=o,4=《A，4=±B，4)2=O

将所得系数代回半通解，得到定解问题的特解为

”(x,f)=十Asinafsinx+±Bsin2atsin2x

容易验证，这个结果完全满足泛定方程和定解条件的要求。

2

GUl=aGixx,0<x<£

例6.1-8：求波动问题的初速度格林函数,GLR=0,G,lv,-0

GJ=0=0,G=g—£),0<x'<L

解：问题的半通解为

k兀

G}(x,x\t)=2_j[Akcos(4")+纥sin(4a，)[sinqj,a)k=——

jt=iL

将半通解代入初始条件后，得到

°=Z；=4sinqx

S(x-£)=Z；=p*sinqx

利用本征函数的正交性，得到展开系数

2•L2

sincox8{x-x')dx=-------sin①keN

—南0k

a)kaL

再将所得结果代回半通解，就得到了初速度格林函数为

002

G](x,x',/)=V-------sin'sincokatsina)kx

—(okaL

4)薛定谭方程情况

根据量子力学，微观粒子的运动满足薛定谤方程。一个被束缚在长度为L的无限深势阱中,

质量为m,初始状态为夕(x)的粒子，其波函数”(x,f)满足定解问题

法%=_(而2/2〃?)匕"，0<x<L

，1=0=0,”1.=。(6.1.42)

“Lo=0(x)・

假设未知函数可以写成分离变量的形式

夕(x,f)=X(x)T(f)(6.1.43)

代入泛定方程和边界条件后分离变量，得到

X(0)=X(L)=0

其中分离参数E具有能量的量纲，称为能量本征值。上式可以改写为

X"(x)+^X(x)=0i2mE

M(t)=ETQ),匕=¥(6.1.44)

X(0)=X(L)=0

上式中前一个是斯刘型本征值问题，求出本征值和对应的本征函数分别为

与=心=(〃4〃)2,neM

(6.1.45)

Xtt(x)=sinknx

由此看到能量本征值En是不连续的，这种现象称为能量的量子化，量子化的能量称为能级。将

得到的能量本征值代入(6.1.44)式中后一个方程，再进行求解，得到

7；«)=4£叫CDn=EJh,ksN*(6.1.46)

将分别求解的结果相乘，再对所有特解进行叠加，得到半通解

CC00

"(xj)=ZA,,""%'sinA“x=ZA”(cosoj+isin(®,/)sinA“x(6.1.47)

*=i*=i

上式说明虽然薛定谓方程对时间是一阶的，但由于有一个虚单位，因此它随着时间的演化与波

动方程类似。

将所得半通解代入到初始条件中，得到

00

9(x)=Z4,sink“x(6.1.48)

n=\

将上两式左边用本征函数展开，再与右边进行比较，立即得到展开系数

A--(sinkx•(p{x}dx,neN+

nn(6.1.49)

LJ。

6.1.3问题与探究

1)类似的问题

现在，我们思考一下如何应用分离变量法解决下列问题。

问题一、波动方程、第二类边界条件，即

2

w„=auxx,Q<x<L

<%Lo=°，(6.1.50)

»Lo=0(x),"J=o=〃(x)

提示：

归纳前面的例子，不难发现半通解中的时间部分由泛定方程确定，而与边界条件无关；泛

定方程不变，时间部分就不变。而半通解中的空间部分由边界条件确定，而与泛定方程无关；

边界条件不变，空间部分就不变。

与第二类边界条件对应的空间部分为A\(x)=cos?x,?=%Tz7L,ZeN,与波动方程对

应的时间部分为或⑺=4cos(外而)+4sin(?而)。两者相乘再叠加，就得到了定解问题

(6.1.42)的半通解

a(x,f)=X；(J4cos(曲af)+4sin(曲af)]cos(y*x,3k=knlL(6.1.51)

问题二、热传导方程、第三类边界条件，如

M,=o2w„,0<x<L

“L=o=°，""=0(6.1.52)

»l,=o=叭x)

问题三、波动方程、第三类边界条件，如

utl=auXK.0<x<L

(6.1.53)

,“J=o=O，"L=L=。

ul/=0=(p(x),u,l,=0=^(x)

2)问题的推广

问题四、达朗伯方程、第一类边界条件，即

un=a〃忒+m"w,0<x<L

<"J=o=°，(6.1.54)

〃l,=o=0(x),u,Uo~中(x)

问题五、二维热传导方程、第一类边界条件，如

ut=a(〃玄+〃◎)，0<x<Lp0<y<L2

<M1=。=11L%=0,Ul,y=0=11ly=4=0(6.1.55)

ul,=0=(p(x,y)

问题六、变系数的泛定方程问题，如

2

M,=a(urr+2r'rur),r<b

(6.1.56)

，心。=/(厂)

问题七、除了上述问题之外，请你想出几个可以用分离变量方法处理的演化问题。

2)理论问题

问题八、如果泛定方程为非齐次，或者边界条件为非齐次，还能不能用分离变量方法？

提示：

如果泛定方程为非齐次，则无法分离为几个常微分方程；如果边界条件为非齐次，则无法

构成斯刘型本征值问题，也就无法确定分离参数。

问题九、是不是所有齐次问题都可以用分离变量的方法来进行求解，如果你认为是，能不

能以二元情况为例给出证明；如果你认为不是，能不能以出一个反例。

6.1.4矩形区域稳定问题

稳定问题不含时间，只有边界条件，没有初始条件。从边界的形状来说，最简单的情况为

矩形区域问题：从泛定方程来说，最简单的情况为二维齐次方程，即二维拉普拉斯方程。下面,

我们就从最简单的问题开始研究。

1)半齐次边界条件问题

矩形区域内的拉普拉斯方程问题是最简单的边值问题，如果附加的是齐次边界条件，则定

解问题成为

wu.+un,=0,0<x<L,0<y<H

<〃L=o=0,u1=乙=0(6.1.57)

»I、=O=°，MIV=H=O

不难发现，u=0就是这个问题的特解。该问题过于简单，失去了探究的价值。

在矩形区域内既简单、又有探究价值的拉普拉斯方程问题需要附加非齐次边界条件，其中

最简单的情况是附加一个半齐次边界条件，即

wu+uyy=0,Q<x<L,0<y<H

<"Lo=°，〃L=/,=0(6.1.58)

〃I、=O=9(X)，"[V=H=^(X)

下面，我们就以此为基本问题来展开讨论。

2)半齐次边界条件问题求解

我们可以把定解问题(6.1.58)中的未知函数写成分离变量的形式

u(x,y)=X(x)y(y)(6.1.59)

代入泛定方程和边界条件的齐次部分后分离变量，得到

X"(x)+/lX(x)=0

〕)，)一双。)=0(6.1.60)

X(0)=X(L)=0

再仿照演化问题的做法，先分别求解，再合成半通解，最后由边界条件的非齐次部分来确定半

通解中的叠加系数。

然而，该问题的一个更简单的解法是类比法。将定解问题(6.1.58)与波动问题(6.1.34)进行比

较，不难发现只要在波动问题中取f=yw[0,a],a=i,齐次波动方程就变成了拉普拉斯方程,

齐次边界条件就变成了定解问题(6.1.58)中边界条件的齐次部分。由于半通解不依赖于非齐次部

分，因此我们可以在波动问题的半通解中作上述变量和参数的变换，直接得到定解问题(6.1.58)

的半通解

②_k/r

〃(羽y)=£[&cos(，4y)+纥sin(i叫y)]sin例xcok=—

(6.1.61)

=Z[A«cosh(例y)+Bksinh(qj)]sincokx,Bk=/瓦

k=\

将所得半通解代入到边界条件的非齐次部分中，得到

800

(p(x)=Z&sin-(x)=cosh(47/)+线sinh(4")]sin4x(6.1.62)

k=\k=\

利用本征函数的正交性，立即得到展开系数的一个方程组

21+

Ak=­sin七x・e(x)Jx,keN

(6.1.63)

Akcosh(qH)+Asinh⑷H)sinct)1.x-1//(x)dx

解此方程组，再将所得结果代回半通解，就得到了定解问题(6.1.58)的特解。

wxv4-uyy=0,0<x<^,0<y<b

例6.1-9：求定解问题的特解%忆0=0,〃二=0

ulv=0=sinx(A+Bcosx),u\y=b=0

解：容易看出，该问题为附加一个半齐次边界条件的拉普拉斯方程问题，利用已知的半通解形

式，得到

〃(x,y)=cosh(0)+纥sinh(ky)]sin履

k=l

将所得半通解代入到边界条件的非齐次部分中，得到

sinx(A+Bcosx)=^Aksinkx

k=\

0=coshkb+Bksinhkb]sinkx

k=\

先求系数A,得到

Asinx4--jBsin2x=A】sinx+A2sin2x+A3sin3x+…

4=A,A2=jB,Ak>2=0,

先求系数B,得到

Akcoshkb+Bksinhkb=0^>Bk=-Akcothkb

--Acothb,B2=--jBcoth2b,Bk>2=0

将所得系数代回半通解，得到定解问题的特解为

M(X,y)=A(coshy-cothbsinhy)sinx+|B(cosh2y-coth2bsinh2y)sin2x

容易验证，这个结果完全满足泛定方程和边界条件的要求。

3)基本问题的推广

下面，我们考虑边界条件中的齐次部分为第三类边界条件的情况，定解问题为

0,Q<x<L,0<y<H

<〃(=0=°，MJ=£=0(6.1.64)

ui、,=o=e(x)，“L=〃=5x)

按照前面的例子，我们发现半通解(6.1.61)中与自变量x相关的部分由边界条件确定；与自

变量y相关的部分由泛定方程确定。在本问题中，与所给第三类齐次边界条件对应的本征函数

由(6.1.29)式给出

X*(x)=sin例x,a>k=(k+/L,kwN(6.1.65)

上式给出了半通解的x部分；与泛定方程对应的y部分为

Akcosh(例y)+Bksinh(«y«y)(6.1.66)

两者相乘后再叠加，就得到定解问题(6.1.64)的半通解

u(x,y)=Zcosh(4y)+Bksinh(4y)]sincokx,cok=---=—(6.1.67)

t=oL

上述结果是通过分析与猜想得到的，还必须进行验证。将半通解(6.1.67)代入到定解问题

(61.64)中，可以证明它满足泛定方程和边界条件中的齐次部分。

再将所得半通解代入到边界条件的非齐次部分中，再利用本征函数的正交性，就可以求得

半通解中的叠加系数了。

%+%=°，0<x<1,0<y<b

例6」-10：求定解问题的特解l,_o=O，HVI(-,/2=0

"L=o=O,“1M,=sin〃x

解：利用己知的半通解形式，立刻得到

u(x,y)=cosh(/y)+4sinh(/y)]sincokx.cok=(2%+1)%

r=o

将所得半通解代入到边界条件的非齐次部分中，得到

8

0=ZA*sin例x

k=0

00

sin7rx=^j[Akcoshcokb+Bksinh外/sin例/

k=0

由第一式得到系数4三0,代入第二式后得到

sinTCX-综sinhTibsinTCX+B}sinh37rbsinH—

BQ=1/sinh冗b,Bk>Q=0

将所得系数代回半通解，得到定解问题的特解为

/、sinh^y.

u(x,y)=-------sin7TX

sinhTib

容易验证，这个结果完全满足泛定方程和边界条件的要求。

4)非齐次边界条件问题

考虑边界条件中的齐次部分为y边界的情况，定解问题为

w.+%,=0,0<%<L,。<y<〃

,矶=o=/(y),wL=g(y)(6.1.68)

卬1V=o=O,w\y=H=0

将问题(6.1.68)与问题(61.58)比较，不难发现两者可以通过自变量交换x—y和参数交换

L6H相互转化，由对称性立即得到问题(6.1.68)的半通解为

：、k兀

w(x,y)=2^[Akcosh(^x)+Bksinh(①x)]sin例y,cok=——(6.1.69)

k=\H

现在，再考虑完全非齐次边界条件问题

+vy>,=0,0<x<L,0<y<//

…L=o=/(y),"L=z=g(y)(6.1.70)

5=o=e(x),ui),=H=〃(x)

根据定解问题的叠加原理，问题(6.1.70)的解等于(6.1.64)和(6.1.68)两个问题的解之和，即

u=v+wo

§6.2非齐次问题

6.2.1非齐次问题的基本求解方法

1)典型案例

前面我们研究的问题中的泛定方程都是齐次的，边界条件也都是齐次的(包括含有齐次部

分)，或者是自然的，但实际问题却不会这么简单。如果泛定方程为非齐次，则无法分离为几个

常微分方程；如果边界条件为非齐次，则无法构成斯刘型本征值问题，也就无法确定分离参数。

这类问题怎么办呢？回忆起在线性常微分方程的求解过程中，非齐次问题的通解等于任意

一个特解加上对应的齐次问题的通解。非齐次定解问题也是线性的，是否可以用类似的办法来

解决呢？我们先看一个例子。

考虑下面的非齐次热传导问题

ut=a%0<x<L

<ul=0,u(6.2.1)

t=0\X=L=/3

"Lo=e(x)

我们发现函数u=满足与问题(621)相同的泛定方程和边界条件，即

2

v=av,0<x<L

txt(6.2.2)

Vl=o=°，叫=广/

差函数w=满足齐次定解问题

叱0<x<L

5=0=0，矶u=0(6.2.3)

wl,=o=(p(x)-/3x1L

我们把象v=/?x/L这样满足(622)式的函数称为定解问题(621)的齐次化特解。由于

(622)式中不含初始条件，它的解不满足唯一性条件，因此定解问题(6.2.1)的齐次化特解有无穷

多个，我们只要求出任意一个齐次化特解，就可以把非齐次定解问题(621)转化为齐次问题来

求解了。

2)非齐次问题求解的基本方法

上面的例子具有普遍意义，它说明任何非齐次定解问题都可以通过求出齐次化特解转化为

齐次的定解问题。非齐次定解问题的解u等于齐次化特解v与相应齐次定解问题的解w之和，

即〃=u+卬。

齐次化特解满足与原问题相同的泛定方程和边界条件(在稳定场情况下为部分边界条件)，

不需要满足初始条件(或者另一部分边界条件)，是不唯一的，有许多可能的选择，通常可以选

择一种比较简单的形式来进行求解。例如，非齐次热传导问题(621)的齐次化特解满足问题

(6.2.2),由于非齐次项与时间无关,我们可以把齐次化特解的形式取为v(x,f)=V(x),母(6.2.2)

后得到

'V(0)=0，心)=£(6.2.4)

上式成为一个常微分方程的定解问题，容易解出V(x)=^x/L,这恰好是我们所预期的。

总之，非齐次问题求解的基本程序是：

一、写出齐次化特解所满足的条件；

二、求出齐次化特解V;

三、写出差函数w=u所满足的齐次问题；

四、求出该齐次问题的解w；

五、将齐次化特解v与齐次问题的解w相加，得到非齐次问题的解u。

6.2.2非齐次问题的齐次化

1)非齐次波动问题

在一般情况下，一维非齐次波动问题为

2

w„=auxx+0<x<L

<(Ku-Hu)L=o=a(f),(K'u+H".)\X=L-队t)(6.2.5)

al,=o=9(x)，"J=o=〃(x)

对应的齐次化特解满足条件

v”=a2ij+f(x,t),0<x<L

<(6.2.0)

[(Kv-Hvx)a()(KI+"I。L，=网)

差函数w=满足齐次定解问题

wn-a卬江，0<x<L

«(Kw-"%)[=。，(K'w+H'%)L=0(6.2.7)

wlf=0=夕(x)-v(x,0),wj=<)=叭x)-v,(x,0)

只要求出了齐次化特解V,非齐次波动问题(6.2.5)就可以转化为齐次波动问题(627),从而应用

分离变量方法来求解了。

例6.2-1：求下列波动问题的齐次化特解，并把它转化为齐次问题。

uu=auxx,0<x<L

=

<uL=o=a，U[X=L"

“I,=o=O,u,l,=o=O

解：显然，齐次化特解满足条件

匕,=也，0<x<L

<

yU)=a，7=广"

由于边界条件为时间的一次函数，可假定齐次化特解的形式为v(x,f)=cA(x)+"-8(x),代

入上式后得到

\4"(x)=0,8"(x)=0jA(x)=l-x/L

A(0>1,A(L)=0,8(0今0,8⑷=1^[BM=x/L

于是得到齐次化特解

v=a+-a)x/L

定义差函数vv=〃-y，它满足齐次定解问题

叱0<x<L

，卬L=o=O,W\X=L=Q

wl,=0=a(x/L-l),w,\l=0=-/3x/L

例6.2-2：求下列波动问题的齐次化特解。

2

w„=aw(v+Acosa)t,Q<x<L

<"/=。=0，

wl(=o=O,«,l,=o=O

解：显然，齐次化特解满足条件

+Acosty/,0<x<L

工=o=°，匕Lu=。

因为是第二类齐次边界条件，我们可以假设特解与x无关，即v(x,f)=VQ),代入上式后得到

V'\t)=Acosa)t

容易解出一个齐次化特解

A

V(t)=----coscot

CD

例6.2-3：求下列波动问题的齐次化特解。

u(l=a"uxx.\J<X<L

"L=o=°，〃L=Asin创

"Lo=9(x),〃J=o="(x)

解：显然，齐次化特解u满足条件

0<x<L

v\x=L=Asincot

通过观察，我们可以假设特解的形式为，即p(x/)=V(x)sin初，代入上式后得到

-arV=(TV"

V'(0)=0,丫⑷=A

容易解出通解

scCOX.CDXcoC.coxcoDcox

V=Ccos——+Dsin——,V=----sin——+---cos——

aaaaaa

代入条件后得到。=0,C=A/cos也。于是齐次化特解为

a

/xI,/x•A.cos(a)x/a)

v(x.t)=V(x)sincot=Asincot---------

COS(69L/df)

2)非齐次输运问题

在一般情况下，一维非齐次输运问题为

ut=auxx+/(x,Z),0VxeL

<(Ku-Hux)\x=Q=a(t).(K力+"'%)1曰=万。)(6.2.8)

"L=o=9(x)

对应的齐次化特解满足条件

v=au+f(x,t),0<x<L

f内YV(6.2.9)

[(Kv-Wvjlt=o=a(f),(K'v+H'vx)\X=L=0(t)

差函数VV=M-V满足齐次定解问题

%=42%0cxeL

<(Kw-Hwx)\x=0=Q,(K'w+〃’吗)1曰=0(6.2.10)

wl,=o=^(x)-v(x,O)

只要求出了齐次化特解V,非齐次波动问题(6.2.8)就可以转化为齐次波动问题(6210),从而应

用分离变量方法来求解了。

例6.2-4：求下列输运问题的齐次化特解，并把它转化为齐次问题。

-2

ut-a%,0cxeL

<5=0=a，uJL=0

wLo=o

解：显然，齐次化特解满足条件

Jv,=42%0<x<L

［丫匕0=«，

由于边界条件与时间无关，我们可以假定齐次化特解的形式为v(x/)=V(x),代入上式后解出

v=a+(/3-a)xlL

定义差函数vv=〃-y，它满足齐次定解问题

叱=〃2叩m，0<x<L

<矶=0=°，卬1'=广0

w11=0=-Q—(夕一a)x/