2021年内蒙古高考数学三模试卷（文科）

2021年内蒙古赤峰二中高考数学三模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合。={x|x?-2苍,0,xeN},且P±Q,则满足条件的集合P的个数（

）

A.8B.9C.15D.16

2.（5分）复数z=4-5i（其中i为虚数单位），则z+2,•的虚部为（)

A.5B.6C.7D.-3

3.（5分）在边长为2的等边&4BC中，丽=而，贝I」丽•及=（)

A.0B.-C.1D.2

2

4.（5分）已知sina=2\/^sin（a+2）,则tan2a=（）

2

D.还

7

5.（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使

用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号

的引入对不等式的发展影响深远.若。>〃>0,则下列结论错误的是（）

1111

A.-<-B.log,（«-/?）>0C.a2>b2D.3">3〃

ab

6.（5分）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的

直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组

勾股数3,4,5,则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（

）

1

A1Rr1门2

6323

7.（5分）已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线工=-1相切，则此动圆必过定

点（）

A.（2,0）B.（1,0）C.（0,1）D.（0,-1）

8.（5分）如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm,高8cm（不含杯脚），已知

水的高度是，现往杯子中放入一种直径为3”的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底,

且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）

A.98颗B.106颗C.120颗D.126颗

9.（5分）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传

入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形或涌泉.声音超大,

涌起的泉水越高.已知听到的声强机与标准声强人（〃4,均为10-2,单位：卬/加2）之比的常

用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即乙=四里，取贝尔的10倍作为响度的常用

单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满

足关系式y=2x,现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的

声强大约相当于100个8同学同时大喝一声的声强，则8同学大喝一声激起的涌泉最高高

度约为（）米.

A.0.7B.7C.50D.60

10.（5分）若直角坐标平面内A、8两点满足①点A、8都在函数/（x）的图象上；②点A、

5关于原点对称，则点（A,8）是函数/*）的一个“姊妹点对”.点对（A,B）与（B.A）可看作

x2+2x（x<0）

是同一个“姊妹点对"，已知函数/'0）=2,贝IJ/3）的“姊妹点对”有（

（X..0）

)

A.0个B.1个C.2个D.3个

11.（5分）下列说法中，正确的有（）个.

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；

②过球面上任意两点只能作球的一个大圆；

③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；

④梯形的直观图可以是平行四边形.

A.1B.2C.3D.4

12.（5分）定义在加上的函数f（x）,满足/（x）=/d）,且当时，f｛x｝=lnx,

71X7V

若函数g（x）=/（x）-or在4,乃]上有零点，则实数a的取值范围是（）

万

ln7r八】,1Inn.e1,

A.[------,0]BD.\r-7ilnn,0n]iC.[一一,]D.[——,——]

TVe2n

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）函数丫=/（幻的图象在点M（2,7（2））处的切线方程是〉=2犬-6,则*^=__

/（2）

14.（5分）A48C中，〃，b,c分别为NA,ZB,/C的对边，如果a,b,c成等差数

列，ZB=3O°,AABC的面积为3,那么〃=.

2

15.（5分）函数y=log]（f+21-3）的单调递减区间是.

2

r2v2

16.（5分）如图，双曲线C:=一%■=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为防，F2,过鸟作线

段居P与c交于点。，且。为2工的中点.若等腰4pg的底边PF2的长等于c的半焦距，

则C的离心率为.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生

都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列｛q｝是公差不为0的等差数列，4=3,01y=G-

（I）求｛4｝的通项公式明及前〃项和S“；

iii

（n）b„=—+—+...+—,求数列｛2｝的通项公式.

5$2S,

18.（12分）如图几何体中，四边形A8CO为矩形，AB=3BC=6,BF=CF=AE=DE=2,

EF=4,EF//AB,G为FC的中点，M为线段C。上的一点，且CM=2.

（I）证明：AF//面8DG；

（H）证明：面面BFC；

（III）求三棱锥F-BMC的体积V.

19.（12分）松山区教研室某课题组对“加强'语文阅读理解’训练对提高'数学应用题'

得分率作用”这一课题进行专项研究.为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加

强'语文阅读理解'训练对提高'数学应用题'得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加

强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、

乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平

均成绩（均取整数）如表所示：

60分以下61~7071-808/-909/-100

甲班（人数）36111812

乙班（人数）48131510

现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.

（I）试分别估计两个班级的优秀率：

（II）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强'语文阅

读理解’训练对提高'数学应用题‘得分率”有帮助？

优秀人数非优秀人数合计

甲班

乙班

合计

参考公式及数据:

n(ad-be)

,其中〃=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgKJ0.400.250.150.1000.0500.0250.010

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

k。

20.（12分）已知曲线E上的点到尸（0,1）的距离比它到x轴的距离大1.

（1）求曲线E的方程；

（2）过E作斜率为上的直线交曲线E于4、3两点；

①若丽=3胡，求直线/的方程；

②过A、3两点分别作曲线E的切线人、6，求证：乙、4的交点恒在一条定直线上.

21.（12分）已知函数/'（X）二-x2-3,g（x）-2xlnx-ax.

（I）若函数/（X）与g（x）在x=l处的切线平行，求函数g（x）在（1,g（1））处的切线方

程；

（II）当X€（0,+oo）时,若g（x）../（x）恒成立，求实数a的取值范围.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程1

22.（10分）直角坐标系my中，已知直线/的参数方程为21Q为参数），以原点。为

V=1+—/

2

极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为02cos26=1.直线/与曲

线C交于A,8两点.

（1）求|AB|的长；

（2）若P点的极坐标为（1,工），求AB中点版到P的距离.

2

［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分0分）

23.设函数/（x）=|x-2|+2x-3,记/（x）,,-1的解集为

（I）求M；

(II)当xeM时，证明：-x2f(x)„0.

2021年内蒙古赤峰二中高考数学三模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合。={X|X2—2%,0,xwN},且P=则满足条件的集合P的个数（

）

A.8B.9C.15D.16

【解答】解：由2羽0,解得啖上2,

又xeN,r.x=0,1,2.

.•.Q={0,1,2）,

•:PjQ,则满足条件的集合P的个数为T=8,

故选：A.

2.（5分）复数z=4-5i（其中i为虚数单位），则z+2i的虚部为（）

A.5B.6C.7D.-3

【解答】解：复数z=4-5i,则z+2i=4-5i+2i=4-3i,其虚部为-3.

故选：D.

3.（5分）在边长为2的等边AA8C中，BN=NC,则丽.前=（）

A.0B.-C.1D.2

2

【解答】解：因为等边AA8C,由丽=配可知，N为8c的中点，

所以AN，8c（等腰三角形三线合一）.

故而_L前，所以前•册=0.

故选：A.

A

4.(5分)已知sina=2&sin(a+^),则tan2a=()

2

.4夜n4夜「2夜

A.----------D.C.----------

779。・当

【解答】解：sina=2V2sin(a+—)=2>/2cosa»/.tancr=25/2,

2

2tana逑

贝!]tan2a=

1-tan2a~7~

故选：A.

5.（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使

用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号

的引入对不等式的发展影响深远.若”>〃>（）,则下列结论错误的是（）

11

-<-B.log(a-fe)>0C.后>层D.3">3"

A.Q匕2

【解答】解：令a=2,b=\,

得选项3错误，

故选：B.

6.（5分）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的

直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组

勾股数3,4,5,则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（

）

A.-B.-C.-D.-

6323

【解答】解：由这组勾股数组成没有重复数字的三位数有345,354,435,453,543,534

共6种等可能结果，

能被2整除的有354,534两种结果，

71

故概率尸=3=L.

63

故选：B.

7.(5分)已知动圆圆心在抛物线V=4x上，且动圆恒与直线x=-l相切，则此动圆必过定

点()

A.(2,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【解答】解：设动圆的圆心到直线x=-l的距离为r,

因为动圆圆心在抛物线V=4x上，且抛物线的准线方程为x=-l,

所以动圆圆心到直线x=-l的距离与到焦点(1,0)的距离相等，

所以点(1,0)一定在动圆上，即动圆必过定点(1,0).

故选：B.

8.(5分)如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6c”，高8cm(不含杯脚)，已知

水的高度是4cm,现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底,

且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠()

A.98颗B.106颗C.120颗D.126颗

【解答】解：作出轴截面如图，由题意，

4X3

OP=8,«尸=4,04=3,设则一=土，即％=

832

11Q

则放入珍珠的最大体积丫=±;TX32x8'乃x(2)2x4=21万.

332

一颗珍珠的体积是.

326

由巫=126,得最多可以放入珍珠126颗，

71

6

故选：D.

9.（5分）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传

入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形或涌泉.声音超大,

涌起的泉水越高.已知听到的声强”与标准声强%（%均为10』，单位：W/n?）之比的常

用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即乙=收二，取贝尔的10倍作为响度的常用

机0

单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满

足关系式y=2无，现知4同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的

声强大约相当于100个8同学同时大喝一声的声强，则3同学大喝一声激起的涌泉最高高

度约为（）米.

A.0.7B.7C.50D.60

【解答】解：设8同学的声强为机，喷出泉水高度为x,则4同学的声强为100机，喷出泉

水高度为70,

101g——=2x,Igm-Igm^=0.2x,

恤

,.T0/g=2x70,2+Igm—=14,

两式相减得：2=14-0.2%,

解得x=60,

故选：D.

10.（5分）若直角坐标平面内A、3两点满足①点A、3都在函数/（x）的图象上；②点A、

8关于原点对称，则点（A,3）是函数的一个“姊妹点对”.点对（48）与（B,A）可看作

x2+2x(x<0)

是同一个“姊妹点对”，已知函数/(x)=2，则/'(无)的“姊妹点对”有(

—(x.O)

)

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解答】解：根据题意可知，''姊妹点对"满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对

称.

可作出函数y=/+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=2(x..0)交点个数

ex

即可.如图所示：

当x=1时，，0<—<1

观察图象可得：它们有2个交点.

故选：C.

11.(5分)下列说法中，正确的有()个.

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；

②过球面上任意两点只能作球的一个大圆；

③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；

④梯形的直观图可以是平行四边形.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：考查所给的各个说法：

①两个同底的三棱锥构成的六面体各个面都是三角形，不是三棱锥，故错误，

②过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误，

③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确,

④因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故梯形的直观图不可以是

平行四边形，

综上可得，正确的说法有一个，

故选：A.

12.(5分)定义在二加上的函数f(x),满足/(x)=/(3，且当、€己用时，f(x)=lnx,

兀X7V

若函数g(x)=/(x)-6在上有零点，则实数a的取值范围是()

7V

Ar伉兀八】nr,八】kr1山乃】cr61.

A.[---,0JB.\-nlnn,0]C,[,----]D.[——,——]

ne7t27t

【解答】解：因为当时，/(x)=bix,

n

所以xw(l,时，—G[—,1J,所以f(―)=-Inx,此时f(x)=/(—),故/(x)=-bvc,XG(1,

X7TXX

乃].

所以/(x)在山川上的图象如图，要使函数g(x)=/(x)-ar在P㈤上有零点，只要直线

乃乃

y=ar与f(x)的图象有交点，

由图象可得，3釉0,其中心=.=-加〃万，

71

所以使函数g(X)=/(X)-办在[Li]上有零点，则实数G的取值范围是[-乃加T,0].

71

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

/(2)

13.(5分)函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程是卜=2》-6,则

;⑵

-1

【解答】解：函数y=/(x)的图象在点时(2,f(2))处的切线方程是y=2》-6,

可得/(2)=4-6=-2,f(2)=2,

所以需后一

故答案为：-1.

14.(5分)A48c中，a,b,c分别为NA,N8,NC的对边，如果a,b,c成等差数

列，NB=30°,AABC的面积为3,那么6=1+6.

2一一

【解答】解：b,c成等差数列,

2b=a+c.

平方得a2+c2=4b2-2ac.

又AA4C的面积为一，且N8=30。，

2

iii3

故由S=—acsin5=—ac・sin3O°=—ac=—,

2242

得4C=6,

a2+c2=4/72-12.

由余弦定理

4b2-12-从从—4V3

cosB=

2x64

解得b?=4+26

又・・・b为边长,

.•.人=1+百.

故答案为：1+6

15.(5分)函数〉=1081(犬+2工一3)的单调递减区间是—(1,+8)—.

2

【解答】解：由Y+2x-3>0解得x<-3,或x>l,故函数的定义域为(TO,-3)U(1,+00).

在(-oo,-3)上，函数f=x2+2x—3是减函数，由复合函数的单调性得丫=/叩1(/+2》-3)是

2

增函数.

在（1,内）上，函数f=W+2x-3是增函数，由复合函数的单调性得y=/og1，+2x-3）是

2

减函数.

故函数y=1og]（d+2X一3）的单调递减区间是（1,+8）,

2

故答案为（1,长0）.

r2v2

16.（5分）如图，双曲线C：A-2=1（“>0力>0）的左、右焦点分别为匕，F2,过E作线

ab

段F2P与C交于点Q，且。为PE的中点.若等腰△PRF2的底边PF?的长等于C的半焦距，

【解答】解：连结。耳，由条件知且|。用|=|.

由双曲线定义知|。4|=2a+|,

在即△KQ入中，（2。+]）2+（今2=QC）2,

即8/+4ac-7c2=0,

即8+4e-7e2=0

解得C的离心率e="|姮，

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生

都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列｛/｝是公差不为0的等差数列，a,=3,q•%

（I）求｛q｝的通项公式。〃及前〃项和s〃；

（II）,求数列｛2｝的通项公式.

S|S2Sn

【解答】解：（I）数列｛〃“｝是公差d不为0的等差数列，4=3,4•%=W.

所以%(4+3d)=(q+d)~,

解得d=3或0,（0舍去）,

故%=3+3("-1)=3〃.

〃(3+3n)3n2+3rl

(ID由于S“=3"+3〃,

2

所以—=|(-—),

Sn3(〃-+n)3nn+1

m1I12,111112,12n

所以“=1----F...H=—Z(1--1-------F...H-------)=—(Z1-----)=-----.

"S,S2Sn3223nn+13n+13n+3

18.(12分)如图几何体中，四边形ABC。为矩形，AB=3BC=6,BF=CF=AE=DE=2,

EF=4,EF//AB,G为FC的中点，"为线段CD上的一点，且CM=2.

(I)证明：AF//面BOG；

(H)证明：面BGM1面BFC；

(III)求三棱锥F-BMC的体积V.

【解答】解：（I）连接AC交于。点，则。为AC的中点，连接。G

•.•点G为CF中点，

OG为&4FC的中位线

OG//AF,

­/AF<£面BDG,OGu面BDG,

AF//面BOG,

(n)连接nw,

•：BF=CF=BC=2,G为C尸的中点，

BG±CFCM=2,

DM=4vEF/1AB,ABC。为矩形，

EF//DM,

又•；EF=4,

.•.EfMD为平行四边形

：.FM=ED=2,

：.\FCM为正三角形，

MG1CF,

■.■MG^\BG=G,

CFlffiBGM,

,/CFu面BFC,

：.面BGM1面BFC.

X

(III)Vp_BMC=V/_BMG+*^BMGFC=—XSBMGX2

•/GM=BG=&,BM=2应

^BMG=2X2''^X]=

.v_22V2

…VF-BMC—§“)ABAfG-—~'

三棱锥F-BMC的体积V=孚.

19.（12分）松山区教研室某课题组对“加强'语文阅读理解'训练对提高'数学应用题'

得分率作用”这一课题进行专项研究.为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加

强'语文阅读理解'训练对提高'数学应用题'得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加

强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、

乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平

均成绩（均取整数）如表所示：

60分以下61-7071-808/-909/-100

甲班（人数）36111812

乙班（人数）48131510

现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.

（I）试分别估计两个班级的优秀率；

（II）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强'语文阅

读理解’训练对提高'数学应用题'得分率”有帮助？

优秀人数非优秀人数合计

甲班

乙班

合计

参考公式及数据：

亡=两端筌E'其中

丽.与）0.400.250.150.1000.0500.0250.010

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

【解答】解：（I）由题意可得：甲乙两班的人数均为50人,

甲班优秀人数为30人，优秀率为：—=60%；

50

乙班优秀人数为25人，优秀率为：—=50%；

50

（II）由以上统计数据填写下面2x2列联表,

优秀人数非优秀人数合计

甲班302050

乙班252550

合计5545100

2n(ad-bc)2100x(30x25-20x25)2100

K=----------------------=-------------------------«1.010<2.706.

(a+h)(c+d)(a+cXh+d)50x50x55x4599

故没有75%的把握认为“加强'语文阅读理解’训练对提高'数学应用题’得分率”有帮

助.

20.(12分)已知曲线E上的点到尸(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.

(1)求曲线E的方程；

(2)过E作斜率为〃的直线交曲线E于A、5两点；

①若丽=3可，求直线/的方程；

②过4、3两点分别作曲线E的切线4,求证：4、4的交点恒在一条定直线上.

【解答】解：(1)设曲线E上的点P(x,y),由题可知：P到尸(0,1)的距离与到直线y=-l的

距离相等，

所以，P点的轨迹是以尸(0,1)为焦点，y=-l为准线的抛物线，

E的方程为：x2=4y.

(2)设：过尸的斜率为k的直线方程为：y=kx+\

①由］消)'可得V-4丘-4=0.令A&,y),B(w，y2)

：.x]+x2=4k.....①，x]x2=-4......②

由题可知：BF=3FA,即：(—x291-y2)=3(%,y,-1),即得:—w=3芭.....③

由①②③消去斗，W得：公V，

..Z=±f

3

所求直线/的方程为：y=±^-x+l.

2

y111

证明②由题知：y=—,y=—x,令4%，-xf),A(X2,-^2)»设/[与4相交于点

/|方程为：片=|x1(x-x1),

/)方程为：丁一；考二；马(工一七)’

相减得：1=土也=24,代入相加得：

2

2y=k(x]+x2)—；(d+¥)=4/_；[(xI+/产-2^/]=4〃+8)=-2,

:.y=-\,

Q(2D，

.,I、(的交点恒在一条定直线y=T上.

21.(12分)已知函数f(x)=—%2—3,g(x)=2xlnx-ax.

(I)若函数/(冗)与g(©在X=1处的切线平行，求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方

程；

(II)当X£(0,+8)时，若g(x)../(X)恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解:(I)/(%)=-f-3的导数为ff(x)=-2x,

可得函数f