Matlab-PDE工具箱有限元法求解偏微分方程

Matlab-PDE工具箱有限元法求解偏微分方程在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。偏微分方程，再加上边界条件、初始条件构成的数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展，采用数值计算方法，可以得到其数值解。偏微分方程基本形式1.椭圆型—V-(cVu)+an=/.抛物型d-V-+=/初始条件F"仆=取(〃).双曲型d--%-V(cVu)+au=f日广初始条件工谭。=界(如*8=•'(%)4-本征值方程-V-(eVu}+au-zdu而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。PDE工具箱

PDE工具箱的使用步骤体现的基本思路，包括如下基耳1）建立几何模型2）定义边界条件3）定义PDE类型和PDE系4）三角形网格划分5）有限元求解6）解的图形表达以上步骤充分体现在PDE□具栏顺序上，如下

如下首先需要选择应用模式，工坦川74日攵击中：

Setf&rmiGerte^ie¥2》1占『Genitric'Syftem目mrpQii"Wagnrtostatic5心算1的心xiPDEToolbox-[Untiled]DrawB9u-ndar7POtMtsfiSolve-PlotWindowHeSp/\XK=/极口1SKisrit!Scalar或者直接在工具栏上选择，如下口.田O①I》啕哂|△!电=|4Setf&rmiGerte^ie¥2》1占『Genitric'Syftem目mrpQii"Wagnrtostatic5心算1的心xiPDEToolbox-[Untiled]DrawB9u-ndar7POtMtsfiSolve-PlotWindowHeSp/\XK=/极口1SKisrit!Scalar或者直接在工具栏上选择，如下口.田O①I》啕哂|△!电=|4；气［国会EditQo^cfflE豌~wm基oumdLavyPjJEMl&gk^okwJ^rdowH』p列表框中各应用模式的意义为:TurnoffTi>&lbarHdppOiMfte5^n4m*1KWr*aMl*r24ACs^we^EHe¥K^riegn4«eiCanduzWtHecMCCH旧腌方,g事WDfffusc^一般标量模式（为默认选AxesLimiu...AxesEqum；Stf-u:ctLiralMe-chanic?,PlaneStrcs;55tructuralMecti^nic5.F!aneStrainACPowerE/ckann自[eetit弓CandiurtiveMediaDCHe占也TV*rH『+rDi^u5ior-①GenericScalar：项）。ApphcadorRefneth②GenericSystem：一般系统模式。③StructuralMech.，PlaneStress：结构力学平面应力。StructuralMech.,PlaneStrain：结构力学平面应变。Electrostatics：静电学。Magnetostatics：电磁学。AcPowerElectromagnetics：交流电电磁学。⑧ConductiveMediaDC：直流导电介质。HeatTranfer：热传导。Diffusion：扩散。可以根据自己的具体问题做相应的选择，这里要求解偏微分方程，故使用默认值。此外，对于其他具体的工程应用模式，此工具箱已经发展到了ComsolMultiphysics软件，它提供了更强大的建模、求解功能。另外，可以在菜单Options下做一些全局的设置，如下OptionsDrawBoundary[d]GridGridSpacing...《SnapAxesLimits...Axes.EqualTurnoffToolbarHelpZoomApplication卜RefreshlGrid：显示网格lGridSpacing…：控制网格的显示位置lSnap：建模时捕捉网格节点，建模时可以打开lAxesLimits…：设置坐标系范围lAxesEqual：同Matlab的命令axesequal命令建立几何模型使用菜单Draw的命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型的建立，如下E田由冈各项代表的意义分别为l绘制矩形或方形；l绘制同心矩形或方形；l绘制椭圆或圆；l绘制同心椭圆或圆；

l绘制多义线。这里只绘制一个圆如下定义边界条件选择Boundary菜单下的SpecifyBoundaryConditions…，如下定义PDE类型和PDE系数选择PDE菜单下的PDESpecifications…，如下三角形网格划分选择Mesh菜单下的InitializeMesh初始化三角形网格，再选择RefineMesh改进初始网格并细化网格，如下初始化网格

细化网格

另外还可以进一步选择JiggleMesh微调网格。最后可以选择DisplayTriangleQuality显示三角形网格的质量图，其中1表示质量最好，0表示最差，如下有