提技能·题组训练1

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。提技能·题组训练角平分线的性质1.如图，∠POB=∠POA，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，下列结论错误的是()=PE =OEC.∠DPO=∠EPO =OD【解析】选D.选项A，B，C都正确，选项D，根据已知不能推出PD=OD，错误.2.如图，∠C=∠D=90°，若∠DAB的角平分线AE交CD于点E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的长的大小关系是()>AD+BC =AD+BC<AD+BC D.无法确定【解析】选B.过点E作EF⊥AB于F，∵BE，AE分别为∠ABC和∠DAB的角平分线，∠C=∠D=90°，∴EC=EF=ED，∴△BCE≌△BFE，△AEF≌△AED，∴BC=BF，AF=AD，∴AB=AF+BF=AD+BC.【变式训练】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是()°°°°【解析】选A.过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF.又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°-35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°.3.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=4，∠1=∠2，则点C到AE的距离是.【解析】∵∠1=∠2，∴AC是∠EAB的平分线，∵∠B=90°，BC=4，∴点C到直线AE的距离为4.答案：4【易错提醒】角平分线上的点到角两边的距离相等，指的是到两边的垂线段的长度相等，所以点C到AE的距离等于BC的长度.4.如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长.【解题指南】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到BC的距离等于DE，然后根据△ABC的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解.【解析】∵BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，∴点D到BC的距离等于DE的长度，∵AB=18，BC=12，∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=12×18·DE+12×12·DE=∴15·DE=90，解得DE=6.【易错提醒】运用角平分线的性质的注意事项(1)距离指的是点到角的两边垂线段的长.(2)性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再证三角形全等.(3)使用该性质的前提条件是图中有角平分线、有垂直.角平分线的判定1.如图所示，OB与OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，那么∠BAO与∠CAO的大小关系为()A.∠BAO>∠CAOC.∠BAO<∠CAO【解析】选B.∵OB与OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，∴点O到AB，BC，AC的距离相等，∴点O也在∠BAC的平分线上，∴∠BAO=∠CAO.2.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在()A.在AC，BC两边高线的交点处B.在AC，BC两边中线的交点处C.在∠A，∠B两内角平分线的交点处D.在AC，BC两边垂直平分线的交点处【解析】选C.到三角形两条边的距离相等的点在这两边的夹角的平分线上，所以到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点.集贸市场应建在∠A，∠B两内角平分线的交点处.【变式训练】某地为了发展旅游业，要在三条公路上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有()处 处处 处【解析】选D.如图，度假村在三角形内部时，为三角形的内心，只有1个，在外部时，为外角平分线的交点，共有3个，所以，这个度假村的选址地点共有P1，P2，P3，P44处.【方法技巧】有关到线段距离相等的点的位置确定方法1.当点指定在三角形内部时，只要作出内角的平分线的交点即可.2.在点没有指定在三角形内部时，要注意画出内角平分线的交点和外角平分线的交点，这时交点有多个.3.如图，P在∠AOB的内部，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，PD=PC，当∠AOP=(2x-10)°，∠BOP=(x+5)°时，∠AOB=.【解题指南】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得∠AOP=∠BOP，然后列出方程求出x，从而得到∠AOP，∠BOP，再根据∠AOB=∠AOP+∠BOP计算即可得解.【解析】∵PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，PD=PC，∴∠AOP=∠BOP，∴2x-10=x+5，解得x=15，∴∠AOP=∠BOP=20°，∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=20°+20°=40°.答案：40°4.(2014·沈阳模拟)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=.【解析】过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H.∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=12答案：55°5.如图，△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线.求证：点P在∠A的平分线上.【证明】过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为M，N，Q.∵点P在∠ABC的外角∠CBM的平分线上，∴PM=PQ.∵点P在∠ACB的外角∠BCN的平分线上，∴PN=PQ，∴PM=PN，而PM⊥AB，PN⊥AC，∴点P在∠A的平分线上.【易错提醒】应用角的平分线的性质不要只看到内角平分线上的点具有到角的两边距离相等的性质，外角平分线同时也具有到角的两边的距离相等的性质，在应用时需要注意.【错在哪？】作业错例课堂实拍已知：如图所示，BF与CE相交于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E.求证：点D在∠BAC的平分线上.(1)找错：第____步出现错误.(2)纠错：___________________________________________________________________________________________________________________________