北京市某中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.一元二次方程x2+x+l=0的根的情况是（）.

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.以上说法都不对

2.某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9,7,8,7,9,7,6,则各代表队得分的中位

数是（）

A.9分B.8分C.7分D.6分

3.若关于x的一元二次方程"2一》+4=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.<16B.k<—C.k<—，且左H0D.女<16,且攵工0

1616

_4

4.如图，已知。O是等腰R3ABC的外接圆，点D是AC上一点，BD交AC于点E,若BC=4,AD=y,则AE的长是

（）

5.如图，AB是。0的直径，弦CDJ_AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是（）

6.如图，在A4BC中，CA=CB=4,cosC=-,贝!Is加3的值为（）

B

屏

A.-M-----RB.------C.-----nD.-V--i--o-

2344

7.如图，一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡的坡度为（）

12131312

8.下列命题错误的是（）

A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

C.矩形的对角线相等

D.对角线相等的四边形是矩形

9.如图所示，下列条件中能单独判断△ABCs^ACD的个数是（）个.

ACAB

①NABC=NACD；②NADC=NACB；③——=—；©AC2=AD«AB

CDBC

C.3D.4

10.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.5x+5=2x-1B.y2-7y=0

C.ax2+Z>c+c=0D.2x2+2x=x2-l

11.如图，圆内接四边形A5C。的边A5过圆心。，过点C的切线与边AO所在直线垂直于点M,若NABC=55。，则

N4C。等于（）

M

B.35°C.40°D.55°

12.如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A,B的坐标分别为（-2,0）,（0,-1）,点C,D分别

在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）

A.V5B.46C.475D.20

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知袋中有若干个小球，它们除颜色外其它都相同，其中只有2个红球，若随机从中摸出一个，摸到红球的概率

是,，则袋中小球的总个数是

4

14.如图，。。直径CD=20,48是。。的弦，ABA.CD,垂足为M,若OM：0C=3：5,则弦A3的长为.

16.在平面直角坐标系中，点A（0,1）关于原点对称的点的坐标是.

17.已知关于x的方程/+（2々+1）8+公=。有两个实数根，则实数k的取值范围为.

18.如图，AB是。。的直径，4?=4,点M是。4的中点，过点M的直线与。。交于C、。两点.若NCM4=45。,

则弦CD的长为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知A5是。。的直径，点C在。。上，40垂直于过点C的切线，垂足为O,且N8AO=80。，求

NZMC的度数.

20.（8分）如图，已知矩形ABCO的边AB=6,BC=4,点P、。分别是AB、8c边上的动点.

（1）连接AQ、PQ,以PQ为直径的。。交AQ于点E.

①若点E恰好是AQ的中点，则NQPB与NAQP的数量关系是

②若8E=BQ=3,求5P的长；

（2）已知AP=3,52=1,。。是以P。为弦的圆.

①若圆心0恰好在CB边的延长线上，求。。的半径：

②若与矩形A8C。的一边相切，求。。的半径.

备用图1

21.（8分）如图1所示，A8,C,瓦厂六个小朋友围成一圈（面向圈内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不

得传给左手边的人.若游戏中传球和接球都没有失误.

图1

（1）若由B开始一次传球，则C和尸接到球的概率分别是、;

（2）若增加限制条件：“也不得传给右手边的人”.现在球已传到A手上，在下面的树状图2中

画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到A手上的概率.

第一次传球E___________

第二次传球八^八^

结果A

E

A

图2

22.(10分)(1)如图1,已知NACB=NDCE=90。，AC=BC=6,CD=CE,AE=3,ZCAE=45°,求AD的长.

(2)如图2,已知NACB=NDCE=90。，ZABC=ZCED=ZCAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.

图1D图2F

23.(10分)如图，AB是0。的直径，NCA8=45°,BC=B，4,连接OC交。。于点o.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)若AB=2,求CD的长.

B

24.(10分)如图1是实验室中的一种摆动装置,8C在地面上，支架4BC是底边为BC的等腰直角三角形，AB=6

摆动臂AQ可绕点A旋转，AD=6.

(1)在旋转过程中

①当A、D、B三点在同一直线上时，求BO的长,

②当A、D、3三点为同一直角三角形的顶点时，求3。的长.

(2)若摆动臂顺时针旋转9()。，点D的位置由AABC外的点2转到其内的点。?处，如图2,此时ZAD2C=135。,

CD？=1,求BO2的长.

2

BC

图2

（3）若连接（2）中的A2,将（2）中A4A2的形状和大小保持不变，把A492绕点A在平面内自由旋转，分

别取CD?、8c的中点M、P、N,连接MP、PN、NM、M随着AMAN绕点A在平面内自由旋转,

AMPN的面积是否发生变化，若不变，请直接写出&WPN的面积；若变化，AMPN的面积是否存在最大与最小?若存

在，请直接写出AMRV面积的最大值与最小值，（温馨提示6义也=右/=回）

图3

25.（12分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛.如图，无人机从A处观测得某建筑物顶点。时俯角为30。,

继续水平前行10米到达8处，测得俯角为45。，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结

果保留根号）

26.如图，AB是。O的直径，点D在。O上，NDAB=45。，BC/7AD,CD〃AB.

（1）判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由；

（2）若。O的半径为1,求图中阴影部分的面积（结果保留兀）.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】先计算出根的判别式的值，根据d的值就可以判断根的情况.

【详解】A=b2-4ac=l-4xlxl=-3

V-3<0

•••原方程没有实数根

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解.

2、C

【解析】分析：根据中位数的定义，首先将这组数据按从小到大的顺序排列起来，由于这组数据共有7个，故处于最

中间位置的数就是第四个，从而得出答案.

详解：将这组数据按从小到大排列为：6<7<7<7<8<9<9,故中位数为：7分，

故答案为C.

点睛：本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，

如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据

的平均数就是这组数据的中位数.

3、C

【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式且kWl,据此列不等式求解.

【详解】根据题意，得：

4=146&21且

解得：k<—且上#1.

16

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意ZWL

4、A

【解析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定AADE和ABCE

边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可.

【详解】解：,••等腰R3ABC,BC=4,

JAB为。O的直径，AC=4,AB=40,

:.ZD=90°,

4

在RtAABD中，AD=y,AB=4夜,

VZD=ZC,ZDAC=ZCBE,

/.AADE^ABCE,

4

VAD：BC=-：4=1：5,

5

•••相似比为1:5,

设AE=x,

/.BE=5x,

.28

..DE=­-5x>

5

/.CE=28-25x,

VAC=4,

Ax+28-25x=4,

解得：x=l.

故选A.

【点睛】

题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道

综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练.

5、B

【解析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC,在RTAOCE中应用勾股定理即可.

【详解】试题解析：由题意连接OC,得

OE=OB-AE=4-1=3,

CE=CD=VOC2-OE2=77>

CD=2CE=20,

故选B.

【解析】过点A作45_LBC,垂足为D,在RAACD中可求出AD,CD的长，在mAABD中，利用勾股定理可求

出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值.

【详解】解：过点A作垂足为D,如图所示.

在&AACD中，CD=CAcosC=^[,

：.AD=yjAD2-CD2=V15；

在RtAABD中，BD=CB-CD=3,AD=y/15,

：.AB=7BD2+AD2=2s/6，

【点睛】

考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD,AB的长是解题的关键.

7、A

【解析】试题解析：•••一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,

,这个斜坡的水平距离为：713O2-5O2=10m,

,这个斜坡的坡度为：50：10=5：1.

故选A.

点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义.坡度是坡面的铅直高度h和水平

宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=l:m的形式.

8、D

【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案.

【详解】A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，命题正确，不符合题意；

B、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，命题正确，不符合题意；

D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大.

9、C

【分析】由图可知AABC与AACD中NA为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.

【详解】有三个

①NABC=N4C。，再加上N4为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；

②NAOC=NAC8,再加上NA为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；

③中NA不是已知的比例线段的夹角，不正确

④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；

故选C

【点睛】

本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键

10、D

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

【详解】解：A、是关于x的一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、是关于y的一元二次方程，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、只有当a#0时，是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；

D、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键.

11、A

【解析】试题解析：•.•圆内接四边形ABCD的边AB过圆心

O,.,.ZADC+ZABC=180°,ZACB=90°,/.ZADC=180°-ZABC=125°,ZBAC=90°-ZABC=35°,•过点C的

切线与边AD所在直线垂直于点

M,，NMCA=NABC=55°,ZAMC=90°,VZADC=ZAMC+ZDCM,.,.ZDCM=ZADC-ZAMC=35°,AZA

CD=ZMCA-ZDCM=55°-35°=20°.故选A.

12、C

【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长.

【详解】•••点A,B的坐标分别为（-2,0）,（0,-1）,

.•.OA=2,OB=1,

•■­ABVOA+OB?=物+12=5

菱形ABCD的周长等于4AB=4K.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、8个

【解析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中小球的总个数.

【详解】袋中小球的总个数是：2v-=8（个）.

4

故答案为8个.

【点睛】

本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键.

14、1.

【详解】解：连接OA,

OO的直径CD=20,

则。。的半径为10,

即OA=OC=10,

又,.,OM：OC=3：5,

.*.OM=6,

VABXCD,垂足为M,

在Rt^AOM中，AM=7102-62=8-

.*.AB=2AM=2x8=L

故答案为：1.

【分析】根据二元一次方程组的解法解出即可.

x+y=5①

【详解】解:

'2x-y=4②

①+②得:

3x=9,

x=3,

把x=3代入①得：y=2,

x=3

x=3

故答案为：。.

b=2

【点睛】

本题考查解二元一次方程组，关键在于熟练掌握解法步骤.

16、(0,-1)

【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可解得.

【详解】•••关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数

:.点A关于原点对称的点的坐标是(0,-1)

故填：(O,T).

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

,1

17、k>——

4

【分析】根据一元二次方程有两个实数根，可知ANO,列不等式即可求出k的取值范围.

【详解】•.•关于x的方程/+（2k+1）x+左2=0有两个实数根

.••△=（2%+1）2-4520

解得"

故答案为

【点睛】

本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是掌握判别式与一元二次方程根的情况之间的关系.

18、V14

【分析】连接OD,作OEJ_CD于E,由垂径定理得出CE=DE,证明AOEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出

OE=—OM=—,在RtZkODE中，由勾股定理求出DE=^^,得出CD=2DE=而即可.

222

【详解】连接OD,作OEJ_CD于E,如图所示：

贝!JCE=DE,

•；AB是。O的直径，AB=4,点M是OA的中点,

.,.OD=OA=2,OM=1,

VZOME=ZCMA=45°,

/.△OEM是等腰直角三角形，

.'.OE=_OM=—,

22

在RtAODE中，由勾股定理得：DE=

.,.CD=2DE=V14；

故答案为JiZ.

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出DE是解决问

题的关键.

三、解答题(共78分)

19、40°

【解析】连接OC,根据切线的性质得到OC_LCD,根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到NDAC=NCAO,得

到答案.

【详解】如图：连接OC,

是。。的切线，

：.OC1.CD,XVADXCD,

：.OC//AD,

：.ZDAC=Z.ACO,

'：OA=OC,

：.^CAO=AACO,

1

J.NZMC=NC4,O=-ZB4D=40°,

2

【点睛】

本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

20、(1)①NQP8=2ZAQP；②1.5；(2)①5；②,、5-速~，35-6而、5.

33

【解析】(1)①根据直径所对的圆周角是直角判断4APQ为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理

证明；②证明△PBQSAQBA,由对应边成比例求解：

(2)①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分0。与矩形ABC。的四边分别相切，画出图形，利用切线性质，由

勾股定理列方程求解.

【详解】解：(1)①如图，PQ是直径，E在圆上，

AZPEQ=90°,

.,.PE±AQ,

VAE=EQ,

APA=PQ,

，NPAQ=NPQA,

工ZQPB=ZPAQ+ZPQA=2ZAQP,

VZQPB=2ZAQP.

②解：如图，・・・BE=BQ=3,

AZBEQ=ZBQE,

VZBEQ=ZBPQ,

VNPBQ=NQBA,

.,.△PBQ^>AQBA,

.BP_BQ

••诙-M'

BP3

--=一,

36

.•.BP=1.5;

(2)①如图，BP=3,BQ=1,设半径OP=r,

在RtZkOPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2

.,.32+(r-l)2=r2,

/.r=5,

；•GO的半径是5.

D

A

八、\B

,0

②如图，。。与矩形ABC。的一边相切有4种情况,

如图1,当0。与矩形ABCD边BC相切于点Q,过O作OK_LAB于K,则四边形OKBQ为矩形,

设OP=OQ=r,贝！|PK=3x,

由勾股定理得，产=12+（3卬）2,

解得,r=g,

二。。半径为

如图2,当与矩形ABCD边AD相切于点N,延长NO交BC于L,则OLJLBC,过P作PS±NL于S,

设OS=x,贝！JON=OP=OQ=3+x,设PS=BL=y,

)(x+3)-=x2+y2

由勾股定理得,

：(x+3『=(3-xj+(y-

解得看=2+半（舍去），9=2-竿

■z-半,

二。。半径为5-型.

3

如图3,当。。与矩形ABCD边CD相切于点M,延长MO交AB于R,则OR_LAB,过O作OH_LBC于H,

设OH=BR=x,设HQ=y,则OM=OP=OQ=4-l-y=3-y,

}(3-y)2=x2+y2

由勾股定理得，r\,,,

f(3-y)-=(3-x)-+(^+l)-

解得玉=-金/拓-32(舍去)，=6730-32,

.\OM=35-6回，

二。。半径为35-6730.

如图4,当。0与矩形ABCD边AB相切于点P,过O作OGJ_BC于G,则四边形AFCG为矩形，

设OF=CG=x,,贝!]OP=OQ=x+4,

由勾股定理得(X+4)2=32+(X+3)2,

解得，x=l,

.,.OP=5,

,。。半径为5.

综上所述，若。。与矩形ABCD的一边相切，为。。的半径|,5一手,35-6回，5.

【点睛】

本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化

繁为简是解答此题的关键.

21、(1)0,一；(2)—

43

【分析】(1)根据题目要求，球不得传给自己，也不得传给左手边的人，C在B的左手边，因此传给C的概率为0,B的

右手边有四个人，因此传给F的概率为1；

4

(2)结合题目要求画出树状图即可求解.

【详解】解：(1)；C在B的左手边

•••C接到球的概率为0；

VB的右手边有四个人

•••F接到球的概率为

(2)如图所示:

第一次传球ED

第:次传球

结果AAAAAAAAA

EEEDDDCCC

ABCFABEFA

,:两次传球的全部可能情况有9种，球又传到A手上的情况有3种,

31

二故球又传到A手上的概率为一=-.

93

【点睛】

本题考查的知识点是用画树状图法求事件的概率问题，读懂题意，画出树状图是解题的关键.

22、(1)AD=9；(2)AD=—V3

3

【分析】(1)连接BE,证明AACDgABCE,得到AD=BE,在RtABAE中，AB=6夜，AE=3,求出BE,得至lj答

案；

(2)连接BE,证明AACDS/^BCE,得到42=46=@,求出BE的长，得到AD的长.

BEBC3

【详解】解：(1)如图b连接BE,

VZACB=ZDCE=90°,

二ZACB+ZACE=ZDCE+ZACE,即ZBCE=ZACD,

XVAC=BC,DC=EC,

在小ACD和ABCE中，

AC=BC

,ZBCE=ZACD,

DC=EC

.,.△ACD^ABCE,

.♦.AD=BE,

VAC=BC=6,

；.AB=6夜，

'：NBAC=NCAE=45°,

.•.ZBAE=90°,

在RtABAE中，AB=6夜，AE=3,

，BE=9,

.•,AD=9；

(2)如图2,连接BE,

在R3ACB中，ZABC=ZCED=30°,

tan30。*海

BC3

VZACB=ZDCE=90°,

.•.NBCE=NACD,

.'.△ACD^ABCE,

.ADAC百

•・----=-----=----9

BEBC3

VZBAC=60°,ZCAE=30°,

AZBAE=90°,XAB=6,AE=8,

/.BE=10,

.•.AD="

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

23、（1）证明见解析；（2）CD=75-1.

【分析】（1）根据题意先由BC=BA求出NACB=NCAB,再根据三角形内角和求出NABC=90°,即可得出结论;

（2）根据题意先求出半径OD,再根据勾股定理即可求出OC,进而得出CD.

【详解】解：（1）证明：•・•3C=B4,ZG4B=45°,

.­.ZACB=ZC4B=45°,

ZABC=180°-45°-45°=90°,

即因此3c是的切线.

（2）由（1）可知，ZABC^90°,

QAB是O。的直径，

:.OD^OB^-AB^\,BC=2,

2

:.OC=\l2i+i2=V5，

:.CD=OC-OD=^-l.

【点睛】

本题考查圆的切线的判定和等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，并据此进行推理计算是解决

问题的关键.

24、（1）①石-亚或石+&；②BO长为百或"；（2）BD?=布;（3）AMRV的面积会发生变化；存在，

最大值为：|（7+2V10）,最小值为：：（7-2河）

【分析】（1）①分两种情形分别求解即可；

②显然NAB0不能为直角；当为直角时，根据+友〉=AB?计算即可；当的£>为直角时，根据

4笈+A。？=§£>2计算即可；

（2）连接A4，OC，证得MDR为等腰直角三角形，根据SAS可证得WgACAR,根据条件可求得

NDRC=90。,根据勾股定理求得。〃=石，即可求得答案；

（3）根据三角形中位线定理，可证得APMN是等腰直角三角形，求得SSMN，当BO?取最大时，\PMN

面积最大，当BO?取最小时，APMN面积最小，即可求得答案.

【详解】（1）①80=AB-AD<-垃,

或BD=A6+A£）=逐+血；

②显然NABQ不能为直角；

当NADB为直角时，AD2+BD2=AB2>

即诋2+BJ）2=诋2,

解得：BD=A/35

当/胡。为直角时，AB2+AD2=BD2>

即（非）2+«¥=BD?,

BD=y/l；

综上：BD长为6或"；

(2)如图，连接A3，QC,

根据旋转的性质得：A4A2为等腰直角三角形，

:.D\D?=&AD\=2,NA22=45。，

AD、=AD2,AB^AC,NBAC=ND2AA=90°,

ZBAD2+ZD2AC=NCADi+ZD2AC,

.1,ZBAD2=NCAD],

在MBD2和AAC£)]中，

AB=AC

<NBAD?=ACAD,,

AZ),=AD,

\BAD2/ACAD,(SAS),

BD-,=CD1,

又NAZ)2c=135。，

ZDID2C=ZAD2C-ZAD2Dt=135°—45°=90°,

CD,=7CDf+£>,Df=Vl2+22=V5,

BD»-CD1--\/5；

(3)发生变化，存在最大值和最小值,

理由：如图