北京某中学高考数学二轮复习知识梳理三角函数的概念

三角函数的概念

【考纲要求】

1.了解任意角的概念和弧度制概念,能进行弧度与角度的互化.

2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.

3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限

中的符号、特殊角的三角函数值.

4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题.

【知识网络】

x象限角的集合：{夕|%+2以■<夕<万+2以■，女eZ}

第四象限角的集合：{切节+2后"<4<2%+2k兀,keZ}

终边在轴上的角的集合:叫/3=k兀,k"

终边在轴上的角的集合:也邛=k"gkeZ}

终边在坐标轴上的角的集合：源|夕==,女eZ}

要点诠释：

要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定

相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.

考点二、弧度制

1.弧长公式与扇形面积公式：

弧长/=冏"，扇形面积S扇形=；＞=；/囹(其中是圆的半径，是弧所对圆心

角的弧度数).

2.角度制与弧度制的换算：

180°=不;V=—rat/=0.01745raJ；\rad=(―)°=57.30°=57°18'

1807i

要点诠释：

要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.

考点三、任意角的三角函数

1.定义：在角上的终边上任取一点P{x,y),记r=|。4=

.yxyxrr

贝miUlsma=二，costz=—,tan6z=—,cola=—,seca=—,csca=一.

rrxyxy

2.三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做的正弦线,

余弦线，正切线.

3.三角函数的定义域：y=sina,y=（：05。的定义域是。6/?;y=tana,

y=seca的定义域是aR左乃+Z};y=cota,y=esca的定义域是

{a\a^kju,keZ].

4.三角函数值在各个象限内的符号：

sinaescacosaseca.

要点诠释：

①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则

三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可

以得到牢固掌握.利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进

行分情况讨论.

②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某

些繁杂的三角问题形象直观地表达出来.有关三角函数值的大小比较问题、简单三角

不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形

结合思想在三角中的具体运用.

考点四、同角三角函数间的基本关系式

1.平方关系：

sin2a+cos2a=1;sec2a=l+tan2a；esc2a=1+cot2a.

c注*，sina,cosa

2.商数关系：tana=-----;cota=-------.

cosasina

3.倒数关系：tana-cota=1;sinaesca=1;cosaseea=1

要点诠释：

①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三

角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.

②三角变换中要注意"1"的妙用，解决某些问题若用"1"代换，如

1=sin-oc+cosa,

1=sec2a-tan?a=tan45。=…，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用

“化弦法"、消去法及方程思想的运用.

考点五、诱导公式

1.2k兀+Z）,-a,乃士a,2万-a的三角函数值等于的同名三角函数值，前面

加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.

2.-±a,网士a的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时

22

原函数值所在象限的符号.

要点诠释：

诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为0,口90角的三角函数值，本节公式较

多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用"奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是

工的奇数倍、偶数倍）"这个口诀进行记忆.

2

【典型例题】

类型一、角的相关概念

例1.已知。是x象限角,求角与的终边所处的位置.

2

【答案】g是x或第四象限角

2

3万

【解析】方法一：是x象限角，即〃"+乃<e<2Z；r+=,k€Z,

2

：.k7V+—<—<k7V+-,keZ,

224

当攵=2〃时，Inn+—<—<2n兀+—,/?eZ,

224

.,二是x象限角，

2

当攵=2〃+1时，2〃〃+二<—<+Z,

224

・・.乌是第四象限角，

2

.•《是x或第四象限角.

2

方法二：

2

由图知：g的终边落在二，四象限.

2

【总结升华】(1)要熟练掌握象限角的表示方法.本题容易误认为g是x象限角，

其错误原因为认为x象限角的范围是(万，芳).解决本题的关键就是为了凑出2万

的整数倍，需要对整数进行分类.

(2)确定"分角"所在象限的方法：若6是第k(1、2、3、4)象限的角，利用单

位圆判断日,(neN*)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并

n

从X正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4,再循环，直到填满

n

为止，则有标号k的区域就是角2N*)终边所在的范围。如：k=3,如下图中标

n

n

有号码3的区域就是？终边所在位置.

2

y4

举一反三：

【变式1】已知。是X象限角,求角g的终边所处的位置.

【答案】,是X或X或第四象限角

3

【解析】方法一：:8是X象限角，即2k兀+%<e<2k兀+兀，kwZ,

2

k、兀9k、7t,

—2TCH—<一<—27rH—,kGZ,

36333

当k=3〃时，2〃4+工<曰<2/?乃+工，攵wZ,

633

°

・•.三是x象限角,

3

当攵=3/7+I时，2n7U+—<—<2fl7T+兀，ksZ,

63

•・二是x象限角，

3

当上二3九+2时，2〃4+至<‘v2〃万+留，％£Z,

233

°

.•.Z是第四象限角，

3

是X或X或第四象限角.

方法二：

k=2,如下图中标有号码2的区域就是三终边所在位置.

由图知：幺的终边落在一，二，四象限.

3

【高清课堂：三角函数的概念xxxxxx例2]

【变式2】已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径

（精确到1cm）.

【答案】29cm.

类型二、任意角的三角函数

例2.若sin8cos6>0,则角。在象限.

【答案】X或X

【解析】

--fsin6>0—fsinJcO

方法一：由sin6»cos8>0知(1)<八或(2)<

cos>0［cos9<0

由(1)知。在x象限,由(2)知。在x象限，

所以，在x或x象限

方法二:由sinScos。〉。有sin2e>0,

所以2k兀<26<2k/r+兀(keZ),

TT

即而<e<z〃+5(Aez)

当％=2〃(〃€2)时，8为x象限，当々=2"+l(neZ)时，。为x象限

故。为x或x象限.

方法三：分别令6=［、］万、:兀、士兀，代入sinGeos。〉0,

6666

717

只有6=工、，=公》满足条彳牛，

66

所以为X或X象限

【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选

择题或填空题.

举一反三：

【变式1】确定tan(—3)：in5的符号

COS1

【答案】原式小于零

【解析】因为-3,5,1分别是x、第四、x象限的角,所以tan(-3)>0,sin5<0,

cos1>0,

所以原式小于零.

【变式2】已知tana-cosa>0,咽2<0,则是第象限角.

sma

【答案】二

【解析】•••竺吧=」一<0,「.cosacO,tana<0，则是x象限角.

sinacosa

【高清课堂：三角函数的概念XXXXXX例4]

【变式3】求卫+包+网上的值

|sinx|cosx|tanx|

【答案】当为x象限角时，值为3；当为X、三、四象限角时，值为-L

例3.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边为射线

4x+3y=0(x>0),贝！Jsina(sina+cota)+cos2a的值是()

634

【答案】C

【解析】在角的终边上任取一点43,-4），则有/=5,

-4-4398

则原式=—・(—+—)+—=-，故选C.

55—4255

举一反三：

【变式】已知角的终边过点（a,2a）（aH0）,求sina、cosa、tana的值

【解析】r=&2+（2a）2=回回

2/7

(1)当。>0时，r-y/5a,/.sina=----，cosa=叵,tana=2；

55

2石cosa=-逅•，tan6T=2.

(2)当〃<0时，F——\j-5ci,sin(X-.....

55

类型三、诱导公式

例4.已知cos(女—a)=走，求cos(L+a)-sin2(a—3的值.

6366

2+73

【答案】-

3

[解析]cos(—K+a)-sin2(a--)=cos[〃-a)]-sin2[-(—-a)]

6666

=-cos(^_a)-sin2(专一a)=_cos(^-a)-[I-cos2(^-a)]

出,12+V3

=--------1+—=-----------

333

举一反三：

【变式1】计算：sin330°+cos240°

【答案】-1

【解析】原式=sin(3600-30°)+cos(l80"+60°)=-sin30°-cos60u=-l.

,jrJr

【变式2】化简sin(a—)+cos(an—).

44

【答案】0

兀TC

【解析】原式=sm(a/)+c°s畀-》sin(a----)-sin(a----)=0.

444

类型四、同角三角函数的基本关系式

例5,已知sin夕+cos/=(，且0＜尸＜乃.求sin/cos夕、sin/J-cos4的值；

【答案】我12;I7

【解析】方法一：由sin/?+cos/?=g可得：sin2yff+2sinpcos(3+cos2，

112

即l+2sin1cos尸=5-#.\sin^cosy5=--

112

,.,sin+,sin/3cos/3="^

i17

.,.sin夕、cos夕是方程4--x——=0的两根,

525

.々43

sinp=—sin[3=--

§3或,

04

cosP=cosp=—

."<B<兀1/.sin^>0,

43

「•sin/?=M,cos/3=--,

7

」.sin/?-cos/?=—

方法二：由sin，+cos夕=g可得：sin21+2sin/cos°+cos21=£，

112

即l+2sin夕cos/二不，二sin'cos夕=一不

,.*0<p<K,.,.sin/?>0,/.cos/?<0,.,.sin/?-cos/?>0

1249

由(sin-cosP)2=1-2sin0cos/?=l+2x—=—

7

.'•sin/7-cos^=—

举一反三：

11

【变式】已知sina+cosa=——，求的值.

2

【答案】16

【解析】由sina+cosa=——可得：

2

sin2a+2sinacosa+cos2a=1+2sinacosa=,

2

于是sinacosa=」

4

11sin?a+cos2a

1=—16.

si•n~2-a----c-o2s---a----•sin2crcos2~a

例6.已知2sina+cosa=0,求下列各式的值

(i)4sina3ccsa；(2)2sin2a-3sinacosa-5cos2a

2sina+5cosa

【答案】-25T12

45

【解析】由2sina+cosa=0得tana=，

2

4sina-3cosa

(1)原式=。.cosg—=4tana-3=_5；

2sma+5cosa3tana+54

cosa

(2)原式

112

=cos26r(2tan2a-3tana-5)=-----------(2tan2a-3tana-5)=-----

l+tan~a5

举一反三：

【变式】已知tana=-2,求值

/1、sina+cosa,,、、I

(])~1(2)——；J

sina-cosa2sinacosa+cosa

【答案】:；~

33

【解析】

sina+cosa

cosatana+1_I

(I)原式二

sina-cosatan-13

cosa

(2)原式二-----------------------

/2smacosa+cosa、

cos-7a(-------------z-----------)

cos~a

1+tan2a_5

2tana+l3

三角恒等变换

【考纲要求】

1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、

余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，

但对这三组公式不要求记忆）.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、两角和、差的正、余弦公式

士

sin(a±4)=sinecos/?cosasin/3(S(a±>?))

cos(a±/?)=cosacos/干sinasin1(。(a±夕))

tana±tan(3、

tan(a±4)=

1-tanatan^

要点诠释：

1,公式的适用条件(定义域)：前两个公式，a土m，C(a±m对任意实数a，B都成立，这

表明该公式是R上的恒等式；公式③中a,6eR,且

jr

a、。、a士/W]+k乃(keZ)

2.正向用公式S(a±m，。(。士⑶，能把和差角(a±夕)的弦函数表示成单角a,B的弦函数；

反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角(a±4)的弦函数。公式正向

用是用单角的正切值表示和差角(a±4)的正切值化简。

考点二、二倍角公式

1.在两角和的三角函数公式S(a+,),Cm0,7；a+仍中，当a=4时，就可得到二倍角的

三角函数公式Zz，Ga，4a：

sin2a=2sin«cosa_(S2£f);

22

cos2a=cosa-sina(C2a);

.2tana

tan2a=-------—(7；)

1-tan-aao

要点诠释：

1.在公式S2a，G.中，角。没有限制，但公式匕中，只有当

++Z)时才成立；

2.余弦的二倍角公式有三种：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=

l-2sin2a;解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分

别起缩角升鬲和扩角降鬲的作用。

3.二倍角公式不仅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，

乡是4的二倍，3a是四的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，

242

才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。

考点三、二倍角公式的推论

降幕公式：sinacosa=—sin2a;

.21-cos2a

sm，a二--------

2

21+cos2a

cosa=-------------

2

=卬八一.c2tana

万能公式：sin2a=--------；—

1+tan~a

1-tan2a

cos2a=

1+tan2a

半角公式：sm枭土1-COS6Z

2

其中根号的符号由涉在的象限决定

要点诠释：

⑴半角公式中正负号的选取由乌所在的象限确定；

2

⑵半角都是相对于某个角来说的，如迫3a可以看作是3a的半角，2a可以看作是4a的

2

半角等等。

⑶正切半角公式成立的条件是ar2kn+Ti(keZ)

正切还有另外两个半角公式：

tan—=sin°(&*2k兀+%)，tan—=-~竺2("牛k储,keZ,这两个公式不用

21+cosa2sina

考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦

的表达式。

考点四、三角形内角定理的变形

由A+6+C=%,知人="一(8+C)可得出：

sinA=sin(B+C),cosA=—cos(B+C).

—A7t(B+C)=.\(B+C)A.(B+C)

而一=----------,有：sin—=cos-------,cos—=sin------.

2222222

【典型例题】

类型一：正用公式

_.21

例1.已知：sina=§,cosP=——,求cos(a-0的值

【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.

【解析】由已知可求得cosa=±Vl-sin2a-+^-,sinB=±Jl-cos2B=士'叵.

34

当在x象限而夕在x象限时，

cos(a-万)=cosacos万+sinasin/3=+~~,

当在X象限而夕在X象限时，

,小51、2Z岳、2V15+V5

cos(a-=-(--)+--(---)=----------

当在x象限而夕在X象限时，

/4/6/k2V152V15+V5

cos(a-/?)=(--)(--)+y—=---•

当在X象限而/在X象限时，

/m/卮/1、2/岳、2V15-V5

cos(a一4)=(---)(--)+--(―--)=----------

【点评】例1是对公式的正用.当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.

举一反三：

兀4

【变式1】已知工£(——,0)cosx=—，则tan2x=.

2z5

【答案】若24.

【变式2】已知tan*+乙)=2,则如上=_________.

4tan2x

【答案】-

9

【变式3】已知1211。和1@11/7是方程2『+九一6=0的两个根，求tan(a+£)的值.

【答案】

【解析】由韦达定理，得tana+tan4=-g,tana-tan/3=-3,

/c、tana+tanQ1

tan(6Z+p)=-----------=一一.

1-tan6T-tan/?8

【高清课堂：三角恒等变换397881例1]

【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1)sin213°+cos2170-sin13°cos17°

(2)sin215°+cos2150-sin15°cosl5°

(3)sin218°+cos2120-sinl80cosl20

(4)sin2(-18°)+cos2480-sin(-l8°)cos48°

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos55°

I试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

II根据(I)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.

【解析】I.选择⑵式计算如下

13

sin**915°+cos72150-sinl50cosl5°=1——sin30°=—

24

H.证明：sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)

=sin2a+(cos30°cosa+sin30°sina)2-sina(cos30°cosa+sin30°sina)

.232V3.1.2V3.1.2

=sina+—cos~a+——sinacosa+—sma----smacosa——sina

42422

D•)D23

=—sin-a+—cosa--

444

例2.已知(<〃<夕<'|万，cos(a-/)=t，sin(a+0=-《，求sin2a的值

【思路点拨】注意到2a=(a+/?)+(a—0,将(a+夕),(a—1)看做一个整体来运

用公式.

【解析】,：^-<B<a<-7v,:.O<a-B<a+B<—,

2442

sin(a-B)=-^/l-cos2(a-^)=,

cos(a+£)=-Jl-sin2(a+J)=-^l-(-|)2=-1,

sin2a=sin[(a+£)+(&-/)]

=sin(a+/)cos(a-/?)+cos(a+0)sin(a-£)

56

65

【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于

“变角”，例2中应用了2a=。+/?)+(&-/?)的变换，体现了灵活解决问题的能力，

应着重体会，常见的变换技巧还有夕=(a+0—a,,a=；[(a+4)+(a—〃)],

24=(a+£)—(a一4)，2+a=]_(?_a)等.

2、已知某一个(或两个)角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本

的解题策略是从〃角的关系式〃入手切入或突破.角的关系主要有互余(或互补)关系，

和差(为特殊角)关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运

用.

举一反三：

3

【变式1】已知sina=不，是x象限角，且tan(a+/?)=l,求tan2/?的值

【答案】一，7

24

33

【解析】由sina=—且是x象限角，得tana二一一

54

v(oc+0)—(X—(5

・。Itan(a+£)-tana「

・♦tan£=tan[(a+3)-a]=-------------------=7.

1+tan(a+/?)tana

2tan，_7

tan2〃=

1-tan2[524

【变式2】函数y=2百sin(70°+x)-2cos(10°+x)的最大值为()

A.2V3B.C.D.2+2百

【答案】C;

【解析】；70°+x=60'+(l(y+x),

二.原式=2百]sin60°cos(l0°+尤)+cos600sin(l0°+x)]-2cos(l0°+x)

=cos(l0°+x)+Jisin(l0°+x)

=2sin(40u4-x)

所以其最大值为2,故选C.

【变式3】已知3(。咱=q,且恭。＜兀，求cos3+样的值

31V2

【答案】

50

【解析】角的关系式：2分铲2("刍+?(和差与倍半的综合关系)

*.*cos(0_iL—<0<7i.*.sin(^-—)=—

1252r125

c/八兀、兀、/C71、24

.*.sin2(^--)=2sin(^--)cos(^-—)=一石

cos2(^-—)=2cos2(^-—)-l=—

121225

.'.cos(20+—).=cos[2(0-—)+—]=

12124

-y-[cos2(6一2一sin2(6-各]

0,724、31V2

=----(-----1----)=-------

2252550

【变式4]已知X<。<3万,0</3<—,cos(--a)=-,sin(~7r+]3)=—，求

44445413

sin(a+£)的值。

【答案】fl

【解析】•——<——a<0,「.sm(—a)=——,

2445

33312

•'—<—^r+/37C,--cos(—+/?)=~0

7T

・•・sin(a+/?)=_cos[—+(a+夕)]

37T

--cos[(—+夕)一(二一a)]

44

37r37r

=-[cos(一乃+£)cos(----(X)+sin(—兀+0)sin(-----a)]

4444

1235,4、56

=-x-------x(——)=—

13513565

类型二：逆用公式

例3.求值：

(1)sin43°cos13°-cos43°sin13°;

(2)V2cosx-V6sinx;

,c、1+tan15°

3)---------;

l-tanl50

(4)(sin23°cos8°+sin670cos980)(sin4TSO7-cos4.

【思路点拨】逆用两角和(差)正(余)弦公式，正切公式.

【解析】

(1)原式=sin(43°-13°)=sin30°=；；

(2)原式

=2\/2(—cosx-^-sinx)-2V2(sin300cosx-cos300sinx)=2后sin(30°-x)；

tan45°+tan15°…、…r-

(3)原式=---------------=tan(45+15)=tan60=J3;

1-tan45°-tan150

(4)原式

=(sin23°cos8°-cos23°sin80)(sin27"30'+cos2V3O^sin27°30,-cos27°30')

=-sin(23°-8°)(cos27°30'-sir?7。30')

=—sin15。cos15"=--sin30°=——.

24

【点评】

①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和(差)正(余)弦公式，二倍

角公式等，即所谓"逆用公式"。

②辅助角公式：asina+bcosa=+从sin(a+。)，其中角在公式变形过程中

自然确定.

举一反三：

【变式1］化简sin1式°sin2230+sin2530sin313°.

【答案】:

2

3

【变式2】已知sin(a-0cosa-cos(a-4)sina=w，那么cos24的值为

)

A718.718

A.—B1.1—rC.-----D.

25252525

【答案】A；

【解析】

ccccc3

sin(a-(3)cosa-cos(a一2)sina=sin[(a-/3)-a]=sin(-yff)=-sin/3=—,

7

・'.cos2/?=l-2sin2.

例4.求值：

423

(1)cos36°cos72°;(2)cos—cos—%cos—"

777

【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以x个角的正弦值.

【解析】

，、sin36°cos36°cos7201sin72°cos7201sin144°1

(1)原式二------------s----------=-x-------------------=-x---------r=-；

sin362sin364sin364

(2)cos—cos-cos(^----cos—cos-cos-

777777

.717124

sincos-cos兀cos一兀

_7777

.兀

sin

7

4

.22

sin一力'cos—%cos7-

77

2sin—

7

.8

sin一乃

7

8sin

7

2

8

【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍;

③最大角的2倍与最小角的和与差是兀。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看

到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，

则可考虑采用这个方法。

举一反三：

【变式】求值：

(1)cos20°cos40°cos80°;(2)sin10°sin30°sin50°sin70°.

【答案】(1)：；(2)J

816

【解析】

.,、2sin20cos20cos40cos80

(1)原式二---------一一二/--------------

2sin20

_2sin400cos400cos80°_2sin80°cos80°

2x2sin20°~~8sin20°

_sin160°_1

-8sin200

(2)

sin10°sin30°sin50°sin70°=cos80"­—•cos40°cos200=—cos20°cos40°cos80°=—

2216

类型三：变用公式

例5.求值：

(1)tan20°+tan40°+拒tan20°tan40°;(2)

(1+tan10)(1+tan2°)…(1+tan43°)(1+tan44°)

【思路点拨】通过正切公式tan(a+£)='ana+tan),注意到

1-tanatanp

tana+tan/?,tanatan0与tan(a+/?)之间的联系.

【解析】

八、“co、tan20°+tan40°/r

(1)tan60=tan(20+40)=------------------------=J3,

1-tan20°tan40°

tan200+tan400=同-tan20°tan400)

原式=一tan20°tan40°)+Gtan20°tan400=73.

(2);a+£=45°,”=tana+ta”，

1-tanatanft

(1+tana)(l+tan/?)=2,

(1+tana)(l+tan/)=2

(1+tan1°)(1+tan44°)=2,(1+tan2°)(1+tan430)=2,…

.•.(l+tanl°)(l+tan2°)---(l+tan43°)(1+tan44°)=222.

【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出

tan(a+/)三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式"解决问题；变用公式在一

些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要

而采取的办法，如：tan45。=1,sin2a+cos2a=1.

举一反三：

【变式1］求值：tan22°+tan23°+tan220-tan23°=.

【答案】1

【变式2］在AABC中，tanB+tanC+etantanC=百，

>/3tan+V3tanB+1=tanA-tanB，试判断AA3C的形状.

【答案】等腰三角形

【解析】由已知得tanB+tanC=^3(1-tanS-tanC),

百(tanA+tanB)=-(1-tanA-tanB),

„.tanB+tanCrztanA+tanB百

即r-------------=73,--------------------=-------,

1-tanB-tanC1-tanA-tanB3

tan(B+C)=V3,tan(A+£?)=-^~,

3

■.-0<B+C<7r,0<A+B<7U,.-.B+C=-,A+B=—,

36

又4+8+。=)，故4=三，3=。=2，

36

故A4BC是顶角为丝27r的等腰三角形.

3

类型四：三角函数式的化简与求值

例6.化简:

(1)sin50o(l+V3tanl0°)；(2)---------2cos0-1----

2tan(军-a)sin2(—+a)

44

【思路点拨】(1)中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；(2)中有平方，而

且角度之间也有关系，(2-a)+(至+a)=2,所以要用二倍角公式降次.

442

【解析】

(1)原式=sin5(r(l+妤叱0：)

cos10

=疝5。。31。°+勺出10。

cos10°

2sin50。.Sin30°cosl0°+c;s30°sinl0。

cos10°

sin40°2cos40°sin40"

=2sin500•

cos10"cos10°

sin80°cos10°.

---------=----------=1

cos10°cos100

cos2a

(2)原式

2tan(7_a)sin2一(；一a)]

cos2a

2sin(—-«r)

4cos2(--a)

cos(£-a)4

cos2a

2sin(--a)cos(--a)

44

cos2a_cos2a

sing_2a)一co,2g

1

【点评】

①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角(如和差角，倍半角等)

的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度

及角度关系进行观察。

②三角变换中一般采用"降次”、"化弦"、"通分"的方法；在三角变换中经

常用到降幕公式：cos2a=l+£^2a.2l-cos2a

sina--------------.

2

举一反三：

【变式1】化简：

⑶备一福1

(1)tan150+cot15°(3)+tan10°

cos50°

【答案】

sinl5°cos150sin215°+cos21502

_____I______=_____________=_____

cos15°sin15°cosl5