2023届高二数学3月份学习效果监测试卷(A)及答案

楚雄天人中学2023届高二年级下学期3月学习效果监测

数学试卷A（答案在最后）

（考试时间：120分钟，满分：150分）

制卷：保密时间：3月31日7时00分前

一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的）

1.已知集合4=可1。82"“<013={1|》<3},则（^406=（）

A.(F,1)B.(2,3)C.(2,3]D.(^O,1]VJ[2,3]

2.复数z满足(1—i)z=3+2i(i为虚数单位)，则』=()

Al+5il-5i八7+5ic->-5i

A.---DB.----C.---------u.-

2222

3.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()

A.3、种B.15种C.53种D.8种

4.下图为2021年上半年中国火锅消费频率扇形图及地域分析条形图根据所给统计图，下列

结论中不正确的是（）

2021年上半年中国火锅消费频率与地域分析

2021年上半年中国消费者吃火锅频率分析2021年上半年中国各区域消费者吃火锅频率统计

A.2021年上半年中国消费者每天都要吃火锅的占比为5.0%

B.2021年上半年中国消费者每月都要吃火锅的超过70%

C.2021年上半年西南与华东地区消费者每周吃两次及以上的超过70%

D.2021年上半年七个区域中国消费者每周吃两次及以上频率的平均数超过25%

5.已知半，则sin26的值为（）

7c7八2

A.-B.—C.-D.—

9999

6.立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种

水果.李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，物猴桃4种水果.小华可以在两个老师的果篮

里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有（）

A.7种B.6种C.12种D.11种

7.设厂为抛物线C：y2=8x的焦点，点尸（如方）为C上一点，过尸作），轴垂线，垂足为/,

若四=3|叫则闻=（）

A.4&B.4C.272D.2

8.函数/（同=如2+?（帅工0）的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当4=6=1时，函数f（x）的

大致图象为（）

VV

已知函数/(xXGsinxcosx+sin。,则下列结论中错误的是（

（1，-切是函数/（x）图象的一个对称中心

A.函数/（x）的最小正周期为兀

C.X=g是函数/(x)图象的一条对称轴

D.将函数/(x)的图象向左平移联■个单位长度，即可得到函数尸sin2x+g的图象

22

10.已知椭圆C:=+与=l(a>6>0)的左、右焦点分别是线，K，直线y="(kxO)与椭

ab2

圆C交于48两点，若|AB|=|4用，且四边形4耳8鸟的面积为(c是椭圆C的半焦距)，

则椭圆C的离心率是()

A.逅B.3C.-D.-

3234

11.已如4,8,C是表面积为16万的球。的球面上的三个点，且AC=AB=1,ZABC=3O°,

则三棱锥O-ABC的体积为()

A.—B.3C.-D.在

121244

Ax>()

12.己知"X)=,若关于X的方程“x)=4有3个不同的实根，则实数。的取

3X-X3,X<0

值范围为()

A.1行)B.(-2,0)C,卜2,J口.[of

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

]_工2<]1

13.设函数/。)=2']，，则〃7右)的值为

x+x-2,x>\/(3)

14.已知向量4=(加,2),石=(〃,1),且£〃凡7石=4，贝!1〃2=.

15.已知人(-c,0)，6(c,0)(c>0)分别为双曲线C：-，=l(a>(U>0)的左、右焦点，过耳的

直线与圆V+y2=/相切于点加，与C的右支交于点N,。为坐标原点，若IONI-C,则C

的离心率为

16.如图，《是一块半径为2a的半圆形纸板，在4的左下端剪去一个半径为。的半圆后得

到图形8,然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪

掉半圆的半径）得图形A，鸟，…，P“，…,记第”块纸板与的

面积为5“，则（1）S4=.

（2）如果3?eN*,使得S.〈亍成立，那么。的取值范围是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）己知函数y=x2Inx.

（1）求这个函数的图象在x=l处的切线方程；

（2）若过点（0,0）的直线/与这个函数图象相切，求/的方程.

18.（本小题满分12分）设数列｛%｝的前”项和为S“，

从口数列｛%｝是公比为2的等比数列，%,%，%-4成等差数列；aSn=2a,-2;□

S,,=2向-2.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

（1）求数列｛巴｝的通项公式；

（2）若勿=1+1°g---,求数列也｝的前〃项和刀,•

19.（本小题满分12分）函数y（x）=xlnx--l）（aDR）,已知x=e是函数/（x）的一个极小值

点.（1）求实数a的值；

（2）求函数兀0在区间［1,3］上的最值.（其中e为自然对数的底数）

20.(本小题满分12分)在△ABC中，角力，B,C的对边分别为b,c,且

sin2A+sin2C=sin28+sinAsinC.⑴求B；

(2)若点M在4c上，且满足5例为NA8C的平分线，BM=2,cosC=@,求BC的长.

7

21.(本小题满分12分)如图一，等腰直角三角形A8C的底边43=4,点。在线段AC上,

于E,现将AADE沿。E折起到

△PDE的位置(如图2).

(1)求证：DELPB；

(2)若PEA.BE,直线PD与平面PBC所成

的角为30。，求平面PDE与平面P8C所成

角的余弦值.

22.(本小题满分12分)已知函数/(x)=e'+aln(—x)+l,f(x)是其导函数，其中aeR.

(1)若/(x)在(F,0)上单调递减，求。的取值范围；

⑵若不等式/(x)4/'(x)对Vxe(Yo,0)恒成立，求a的取值范围.

楚雄天人中学2023届高二年级下学期3月学习效果监测

数学试卷A

（考试时间：120分钟，满分：150分）

制卷：李永芹审核：李朝秀保密时间：3月31日7时00分前

一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的）

1.【解析】由集合A={即吗（万一1）<0}={加<》<2},则04=（—JU⑵+s）,又

8={小43},所以aAcB=（e,l]32,3],

故选：D

3+2i(3+2i)(l+i)l-5i

2.【解析】由题设,z=—□z

1-i(l-i)(l+i)2

故选：B

3.【解析】每封信均有3种不同的投法，□依次把5封信投完，共有3x3x3x3x3=3-5种投法.

故选：A.

4.【解析】对于A,由扇形图可知2021年上半年中国消费者每天都吃火锅的占比为5.0%,

故A正确；

对于B,2021年上半年中国消费者每月都要吃火锅的占比为

5.0%+22.9%+49.1%=77.0%>70%,故B正确：

对于C,设2021年上半年西南与华东地区消费者分别为x人，y人，则2021年上半年西南

与华东地区消费者每周吃两次及以上的占比为397%X+31"%）'<70%,故c错误；

x+y

对于D,由平均数定义得2021年上半年七个区域中国消费者每周吃两次及以上频率的平均

皿「39.7%+31.0%+28.4%+27.0%+21.29%+20.5%+19.4%“皿」》八十段

数为--------------------------------------------------x26.8%>25%,故D正确.

7

故选：C

5.【解析】由sin]。-?上半

得sin（，-；）=cos?sine-sin?cos，=^^（sin〃-cose）=3^,

即sine-cos6=g,等式两边同时平方，得l-sin2，=?,所以sin2e=-.

故选：B.

6.【解析】王老师有3种水果，李老师有4种水果.其中苹果是重复的.所以应该先分类后

分步.

第一类，如果小华在王老师那里拿到苹果，

那么在李老师那里只能从剩下3种水果中拿，共有1x3=3(种)情况.

第二类，如果小华在王老师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，

在李老师那里有4种情况，共有2x4=8(种)情况.

根据分类加法计数原理，得小华拿到两种不同水果总共有3+8=11(种)情况.

故选：D

7•【解析】根据抛物线的定义，可知|PF|=%+5=x0+2,即有题+2=3%,解得％=1,所

以1%1=2夜,

故选：C.

8.【解析】

当。=。=1时，f(x)=x2+~,

X

函数的定义域为卜|"0},贝r(x)=2x-4="二，

XX

令/'(x)>。，得x>23；令/'(x)<0,得xvO或0<x<23,

_!_2

所以函数在(Y°，°)和923)上单调递减，在(2，，+8)上单调递增.

故选：A.

9.【解析】函数/(x)=6sinxcosx+sin2x=*sin2x-gcos2x+；

/吟1

=sm2x---,

I6J2

所以函数的最小正周期为T=*故A正确；

因为sinf2x-^-^+l=l所以函数的一个对称中心为倍，1］，故B错误；

因为sin(2x(-£|+g=si吟+g=T，所以*三是函数/(x)图象的一条对称轴，故C正

确；

将函数f(x)的图象向左平移专个单位长度，即可得到函数

y=sin+?=sin2x+：的图象，故D正确.

\12J6J22

故选：B

10•【解析】由椭圆的对称性可知四边形"；8乙是平行四边形.因为|48|=恒可，所以平行

四边形4耳8鸟是矩形.

m2+n2=4c2,

m+n=2a,整理得4c?+2c?=4/,所以《二，解得£=",

设恒娟=根\AF2\=n,则，

，a23a3

mn=c,

故椭圆c的离心率为好.

3

故选：A.

11.【解析】设球的半径为R,外接圆的半径为一，

在△ABC中，由AC=AB=1,ZABC=30°,贝ljNR4c=120。

得2r=———=2,所以r=1,

sinZ.ABC

因为球。的表面积为16万,

则4万店=16%，解得R=2,

所以球心0到4ABe的距离d==6，

即三棱锥0-ABC的高为百，

邛,

所以三棱锥。―ABC的体积%Mc='x且xG=：

0-MC344

故选：C.

12.【解析】因为xNO时，〃力=£，则/(幻=?，令/'。)=0,贝b=1,所以xe(O,l)

时，f'M>0,则/*)单调递增；x«l,T8)时，f'M<0,则/*)单调递减；且/(0)=0,

/(1)=-,xf+8时，/(x)->0；

e

x<0时，f(x)=3x-x3,则/(x)=3-3x?,令尸(x)=0,则x=-l,所以xe(-l,0)时,

r(x)>0,则/*)单调递增；x1)时，r(x)<0,则/(x)单调递减；且/(0)=0,

/(-1)=-2,xf-时，/(%)->+<»；

作出/(x)在R上的图象，如图：

由图可知要使=a有3个不同的实根，则0<“<L

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

1_y2尤<]

13.【解析】因为/(*)=2':，，

x~+x-2,x>\

所以八3)=32+3-2=10,

所以〃，)=/仕]=1_上『=2

/(3)UoJI10J100

99

故答案为：---

100

14.【解析】因为々〃人所以机=2〃，又因为75=4,所以加?=2,联立方程组

解得M3.

故答案为：1

15.【解析】因为|ON|=c,所以|ON|=gw6l,所以NF；，NK.

又直线足耳与圆f+y2=42相切于点“，所以。知，样，所以。M〃叫.

又。为月外的中点，所以QM为百6的中位线，所以|叫|=2|OM|=2a.

根据双曲线的定义可知INK|-|叫1=2a,

所以|情|=4以

在RtZS/E中,|哂『+|町|2=|耳层|2,即(4a『+(2a)2=(2c)2,得R=5/,

所以e=£=石,

a

故答案为：逐.

16.【解析】由题意可知，依次剪去一个更小的半圆，其半径为前一个半圆半径的一半,

故每次剪去的半圆的面积组成了首项为个‘公比反的等比数列,

第〃块纸板4是剪了〃-1次后得到的，

4

232

故⑴S4=2^«[|+1X(1)]=^|^；

33432

(2)3neN*,使得S,成立，

故只需"〈&,解得/＜4,而。＞0,

33

所以0＜。＜2,

故答案为：记万(°，2)

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.【解析】⑴令y=/(x),则/(x)=x21nx,

函数fM的定义域为(0,+8),f'(x)=2xInx+x,

所以广⑴=21nl+l=l,又/(1)=O,

所以函数在x=l处的切线方程为y=x-l；

(2)设切点为(Xo，x；In%),

由⑴知，f\x0)=2x0\nx0+x0,

又直线/的斜率为k,=至3=/In』,

不

有2天111%+/=Xoln%,解得

所以勺=-二，

所以直线/的方程为y=-：x.

18.【解析】(1)选工因为牝，4，%-4成等差数列，

所以2a3=4+4—4,

又因为数列｛。,,｝的公比为2,所以2qx22=2《+4X23-4,

即84=24+84-4,解得4=2,

所以为=2x21=2”.

选□:因为5“=2。〃-2，

当〃=1时，S[=2q-2,解得4=2.

当"22时，S,i=2a,i-2,

所以q=S,—S,T=(2q—2)—(2*—2)=2%

即q=2%(〃N2).

所以数列｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列.

故g=2X2"T=2".

选」：因为S"=2"'-2,所以当〃=1时，£=q=2,

当“22时，S“T=2"-2,

所以q=S“一S'-=（2向—2）—（2"-2）=2",

当〃=1时，4=21=2依然成立.

所以4=2".

⑵由⑴知“一，，则"匕地』匕第2=券,

a〃22

234.77+1

所以＜=5+合+就+1+^-，

1_23n〃+1

31n二级+石+…+三+^"'

□一」得,口J/之j+谆1+声1+TL+酒11|-〃广+1

所以北=3-〃罗+3•

所以数列出｝的前〃项和7；=3-耍.

19.【解析】(l)n/(x)=xhir-Q(X-1),□/'(x)=lnx+1-a,e是函数./）的一个极小值

点，

□/'(e)=2-a=0,解得：a=2；

当a=2时，/'(x)=\nx—1,

当OVxVe时，/'(x)VO,/(x)单调递减，

当x>e时，/'（x）>0,./）单调递增，出=e时.危）的极小值点.

a=2.

(2)由(1)得：兀v)=xlnx-2x+2,

且")在[I,e)递减,在(e,3]递增,

而人1)=0,义3)=31n3-4V0,故f(x)111ax/⑴=0,/(x)mi„=/e)=2-e.

20.【解析】(1)在AABC中,sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC,

由正弦定理得：a2+c2=b2+ac.

由余弦定理得：cosB=d/」

2ac2

因为8«0,1)，所以8=半

(2)因为cosC=式0,兀)

jrjr

因为8=丁，为NA8C的平分线，所以NM8C=z.

36

所以sinNBMC=sin["一Z.MBC—ZC]

=sin(AMBC+ZC)=sinZMBCcosZC+cosAMBCsinZC

，应+旦迈=通

272714

在AM3C中，由正弦定理得：黑=即巧=可，解得：BC*

714

21.【解析】(1)依题意，DELPE.DELBE,

因为P£c8£=E,

所以£>£'_!_平面户BE,

又因为P3u平面尸8E,所以PB_L£)E

(2)因为DEJ.PE,DEL