极限的概念与性质

极限的概念与性质第一页，共三十七页，2022年，8月28日自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。引言第二页，共三十七页，2022年，8月28日正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.1416割圆术割圆术就是极限思想在几何上的应用第三页，共三十七页，2022年，8月28日微积分是一门以变量为研究对象、应用极限方法研究各类变化率问题应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到以极限方法作为研究工具的数学学科：曲线的切线问题，微小量无穷积累的问题，和几何学中就产生了微分学；就产生了积分学。第四页，共三十七页，2022年，8月28日一、数列极限的定义按照一定规律排列的一列数数列可视为定义在自然数集上的函数：称为一个数列。称为数列通项，数列简记为。第五页，共三十七页，2022年，8月28日趋向于某个确定的数xyO...........不趋向于某个确定的数第六页，共三十七页，2022年，8月28日定义：设数列极限存在的数列称为收敛数列。极限不存在的数列称为发散数列。如果通项记作当项数无限增大时，则称的极限。为数列或无限趋近于某个常数第七页，共三十七页，2022年，8月28日例如,趋势不定收敛发散第八页，共三十七页，2022年，8月28日若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作即或则称该数列的极限为a,几何解释:只有有限项(至多N项)在邻域之外。数学定义：

ε英文注音epsilon中文注音伊普西龙第九页，共三十七页，2022年，8月28日例1.已知证明数列的极限为1.

证明:欲使即只要因此,取则当时,就有故第十页，共三十七页，2022年，8月28日例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由1.N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取2.利用不等式的放缩.第十一页，共三十七页，2022年，8月28日例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.第十二页，共三十七页，2022年，8月28日例4.证明：记易知当时，取则当时，有由于故时，当正整数于是正整数第十三页，共三十七页，2022年，8月28日所以第十四页，共三十七页，2022年，8月28日刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:第十五页，共三十七页，2022年，8月28日柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,第十六页，共三十七页，2022年，8月28日第一章1、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:2、左极限、右极限主要内容:二、函数的极限3、自变量趋于无穷大时函数的极限第十七页，共三十七页，2022年，8月28日定义1.

在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:1、自变量趋于有限值时函数的极限设函数()第十八页，共三十七页，2022年，8月28日例1.

证明证:故取当时,必有因此(注意x=1无定义)第十九页，共三十七页，2022年，8月28日例2.

证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有第二十页，共三十七页，2022年，8月28日2.左极限与右极限(单侧极限)左极限:当时,有右极限:当时,有定理1.第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日例3.

给定函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理1.因为显然所以不存在.第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日例4.

求解:因为所以设第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日定义2

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线.A为函数3、自变量趋于无穷大时函数的极限第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日例5.

证明证:取因此注:就有故欲使只要第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日直线y=A仍是曲线y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日三、函数极限的性质1.唯一性类似于数列极限的唯一性（反证法）2.局部有界性(性质适用于函数的所有极限过程)若函数极限存在，则函数极限唯一。第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日3.局部保号性定理2.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论1.分析:第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日推论2.

若在的某去心邻域内,且则思考:

若定理2中的条件改为是否必有不能!如(反证法,证明略)第三十页，共三十七页，2022年，8月28日4.

函数极限的两边夹定理定理3.且(仿照数列极限的两边夹定理证明)第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日5.函数极限与数列极限的关系定理4.有定义,有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日例6.

证明不存在.证:取两个趋于0的数列及有由定理4知不存在.第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定有第四节？第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日内容小