无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计方法

无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计方法第一页，共一百七十二页，2022年，8月28日概述:

许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。数字滤波器——线性时不变系统。第二页，共一百七十二页，2022年，8月28日数字滤波器的设计步骤：1）按照任务要求确定滤波器的性能要求。2）用一个因果稳定的离散线性时不变系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求，即求H(z)或h(n)的表达式。确定系数、或零极点、，以使滤波器满足给定的性能要求——第四章、第五章讨论

3）数字滤波器的实现。包括选择运算结构，确定运算和系数存储的字长，选用通用计算机及相应的软件或专用数字滤波器硬件实现这一系统。

选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第六章)。第三页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.1滤波器的基本原理滤波：滤除信号中不需要的分量，保留有用的分量。离散系统的数字模型：离散系统的系统函数：离散系统的单位脉冲响应：第四页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.1.1滤波器的分类

模拟

递归系统IIR

数字

非递归系统FIR从功能上：低通LPlowpass高通HPhighpass带通BPbandpass带阻BSbandstop第五页，共一百七十二页，2022年，8月28日模拟低通滤波器AFLP模拟高通滤波器AFHP模拟带通滤波器AFBP模拟带阻滤波器AFBS第六页，共一百七十二页，2022年，8月28日数字低通滤波器DFLP数字高通滤波器DFHP数字带通滤波器DFBP数字带阻滤波器DFBS第七页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.1.2可实现滤波器的特性11-δ1δ2ωc0ωrπ通带过渡带阻带ω第八页，共一百七十二页，2022年，8月28日通带波动最小阻带衰耗第九页，共一百七十二页，2022年，8月28日

设计方法：

1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。

第十页，共一百七十二页，2022年，8月28日2）最优化设计方法分两步：

a)

确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性（与所要求的理想频率响应的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，

b)

在此最佳准则下，求滤波的系数和通过不断地迭代运算，改变、，直到满足要求为止。第十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日

以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。

第十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日

模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。∴不难看出4.2模拟滤波器设计方法第十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日定义幅度平方函数

式中Ha(s)—模拟滤波器系统函数

Ha(jΩ)—滤波器的频率响应

|Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应又S=jΩ，Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ第十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日问题：由A(-S2)→Ha(S)

对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。第十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.1设已知，求对应的解：第十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日第十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日N为滤波器阶数其幅度平方函数：特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特性单调↘。4.2.1巴特沃思(Butterworth)滤波器第十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日

巴特沃思滤波器振幅平方函数第十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。Ω/Ωc<1时,(Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。Ω/Ωc>1时，(Ω/Ωc)2N

》1,Ω增加，A(Ω2)快速减小。Ω=Ωc,，,幅度衰减，相当于3dB衰减点。

第二十页，共一百七十二页，2022年，8月28日振幅平方函数的极点：令分母为零，得Butterworth滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。第二十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日三阶A(-S2)的极点分布第二十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日

考虑到系统的稳定性，知AF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP1，SP2，SP3）组成的，它们分别为：系统函数为：令，得归一化的三阶BWAF：如果要还原的话，则有第二十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日归一化的三阶BWAF：归一化的二阶BWAF：归一化的一阶BWAF：第二十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日补充：确定除数N及Ωc1.确定N(已知通带边频Ω1、通带波动δ、阻带边频Ωr、阻带最小衰耗At)第二十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日第二十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日2.确定Ωc若已知衰减为3dB的频率点，此频率点即为Ωc第二十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.2.2切比雪夫（chebyshev）滤波器

特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。

第二十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日振幅平方函数为—有效通带截止频率—与通带波纹有关的参量，大，波纹大。

0<<1

VN（x）—N阶切比雪夫多项式，定义为第二十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日

如图1,通带内变化范围1~Ω＞Ωc，随Ω/Ωc↗，→0(迅速趋于零)当Ω=0时，

N为偶数，，min，

N为奇数，，max，第三十页，共一百七十二页，2022年，8月28日

切比雪夫滤波器的振幅平方特性

第三十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日

给定通带波纹值分贝数后，可求。有关参数的确定:a、通带截止频率Ωc

，预先给定

b、通带波动为第三十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日c、阶数N—由阻带的边界条件确定。（、A事先给定）第三十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日第三十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.2.3椭圆（Elliptic）滤波器特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为

RN（Ω，L）—雅可比椭圆函数

L—表示波纹性质的参量第三十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日N=5，的特性曲线

可见，在归一化通带内（-1≤Ω≤1），在（0，1）间振荡，而超过ΩL后，在间振荡。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。第三十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日

下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数

椭圆滤波器的振幅平方函数

图中ε和A的定义同切比雪夫滤波器ΩrΩr第三十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日当Ωc、Ωr、ε和A确定后，阶次N的确定方法为：式中为第一类完全椭圆积分第三十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日

上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。以上讨论了由A（Ω2）→Ha(s),下面讨论由Ha(s)→H(Z)的变换设计法。第三十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.2.4模拟高通、带通及带阻滤波器的设计设计过程：1）将模拟滤波器的参数指标通过频率变换转化成原型模拟低通滤波器的参数指标。2）设计满足指标要求的原型模拟低通滤波器。3）通过频率变换将原型模拟低通滤波器的系统函数变换为其他类型（高通、带通和带阻）的模拟滤波器。第四十页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.2.5用MATLAB设计模拟滤波器1.巴特沃思模拟滤波器设计1）求巴特沃思滤波器的阶数[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)Wp,Ws：通带、阻带边界频率(rad/s)Rp,Rs：通带波动、最小阻带衰减(dB)N：阶数Wn：3dB点频率’s’：表示模拟域第四十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日2）给定阶数计算滤波器的零极点和增益因子[z,p,k]=buttap(N)z：零点，实际是一个空向量p：归一化(3dB的边界频率为1)的N个极点N：阶数k：增益因子第四十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日3）给定阶数和边界频率设计滤波器[B,A]=butter(N,Wn,’type’,’s’)Wn：3dB点边界频率；若Wn=[W1,W2]，则设计2N阶带通或带阻B：系统函数分子的系数设计低通和带通，’type’可缺省，高通’high’，带阻’stop’A：系统函数分母的系数第四十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日2.切比雪夫模拟滤波器设计1）计算滤波器的阶数[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)Wp,Ws：通带、阻带边界频率(rad/s)Rp,Rs：通带波动、最小阻带衰减(dB)N：阶数Wn：通带边界频率’s’：表示模拟域第四十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日2）计算滤波器的零极点和增益因子[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)3）给定阶数和指标参数设计滤波器[B,A]=cheby1(N,Rp,Wn,’type’,’s’)第四十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日3.椭圆模拟滤波器设计1）计算滤波器的阶数[N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)2）计算滤波器的零极点和增益因子[z,p,k]=ellipap(N,Rp)3）给定阶数和指标参数设计滤波器[B,A]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’type’,’s’)第四十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.频率变换1）低通到高通变换[B,A]=lp2hp(num,den,w0)num,den：低通滤波器系统函数分子分母的系数w0：高通滤波器的通带边界角频率B,A：高通滤波器系统函数分子分母的系数第四十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日2）低通到带通变换[B,A]=lp2bp(num,den,w0,Bw)w0：带通滤波器的中心角频率Bw：带通滤波器的通带带宽(rad/s)3）低通到带阻变换[B,A]=lp2bs(num,den,w0,Bw)w0：带阻滤波器的中心角频率Bw：带阻滤波器的阻带带宽(rad/s)第四十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.2设计满足下列指标的模拟低通滤波器，分别采用巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器。第四十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日clear;fc=1000;fr=2000;rp=1;rs=40;wc=2*pi*fc;wr=2*pi*fr;[N,wn]=buttord(wc,wr,rp,rs,'s');[B,A]=butter(N,wn,'s');omega=[0:200:10000*pi];h=freqs(B,A,omega);gain=20*log10(abs(h));plot(omega/(2*pi),gain);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB')title('巴特沃思滤波器')grid第五十页，共一百七十二页，2022年，8月28日巴特沃思滤波器：N=8B=[0,0,0,0,0,0,0,0,6.2187×1030]A=[1,3.6222×104,6.5603×108,7.7093×1012,6.4060×1016,3.8498×1020,1.6360×1024,4.5108×1027,6.2187×1030]第五十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日第五十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日切比雪夫滤波器：N=5B=[0,0,0,0,0,1.2028×1018]A=[1,5.8862×103,6.6672×107,2.4170×1011,9.0479×1014,1.2028×1018]第五十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日第五十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日椭圆滤波器：N=4B=[0,0,0,0,0.5017×1014]A=[1,5.9008×103,5.9759×107,1.9936×1011,5.6301×1014]第五十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日第五十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.3根据模拟滤波器设计IIR滤波器

利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器系统函数Ha(s)设计数字滤波器系统函数H(z)，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：

1）H(z)的频响与Ha(s)的频响保持一致，即s平面的虚轴必须映射到z平面的单位圆上。

2）因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定H(z)。也就是s平面的左半平面Re[s]＜0应该映射到z平面的单位圆以内|z|<1。第五十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.3.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即

h(n)=ha(nT),T为采样周期。如以Ha(s)及H(z)分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的z变换，即

Ha(s)=L[ha(t)],

H(z)=Z

[h(n)]

第五十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日计算H(z):脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N＞M，则可表达为部分分式形式；

其拉氏反变换为：

单位阶跃

对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列

第五十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，

必有所以有

第六十页，共一百七十二页，2022年，8月28日根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系第六十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日s平面与z平面的映射关系第六十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日当时，这表明s平面的虚轴映射为z平面的单位圆。当时，这表明s左半平面映射为z平面的单位圆内部，而s右半平面则映射为z平面的单位圆外部。由于，所以，当自0至变化时，的对应值为0至

。第六十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日S平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:

每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段,都对应于绕单位圆一周。第六十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日S平面Z平面第六十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，首先对Ha(s)作周期延拓，然后映射为H(z)第六十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器频响函数的关系第六十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日

正如第二章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2以内，

这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）

第六十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

第六十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日如果是Ha(s)是稳定的，即其极点全部都在s左半平面内，对应的H(z)的极点也全部都在z平面的单位圆内，所以H(z)也是稳定的。2.Ha(s)的虚轴映射到H(z)的单位圆上，逼近程度在-π/T≤Ω≤π/T的范围内是好的，ω=ΩT。3.由于频率混叠效应，所以脉冲响应不变法只适用于带限的模拟滤波器，如，LP、BP，HP、BS不宜采用脉冲响应不变法第七十页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.3将一个具有如下系统函数

的模拟滤波器数字化。解：

第七十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日第七十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日模拟滤波器的频率响应为:第七十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日数字滤波器的频率响应为:

显然与采样间隔T有关,T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计

第七十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日第七十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.3.2双线性变换法脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。第七十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日s平面s1平面z平面双线性变换法的映射关系第七十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日

为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T到π/T一段上，可通过以下的正切变换实现：这里C是待定常数，可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点有对应关系。经过这样的频率变换，当Ω由时,Ω1由-π/T经过０变化到π/T，即S平面的整个jΩ轴被压缩到S1平面的2π/T一段。第七十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日通常取C=2/T,再将S1

平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到S平面到S1平面的映射关系：第七十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日最后得S平面与Z平面的单值映射关系：双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。第八十页，共一百七十二页，2022年，8月28日

现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的基本要求：第八十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日第八十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日

即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图

双线性变换的频率非线性关系

第八十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日小结

1)与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：可见，ω和Ω为非线性关系，如图2。第八十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日

双线性变换的频率非线性关系

由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢， (ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。第八十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日

2)双线性变换缺点：Ω与ω成非线性关系，导致：

a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器第八十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。第八十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日

虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。

第八十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日

例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)，双线性变换后，得到的H(z)在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。第八十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日预畸变：

即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。

利用关系式：

将所要设计的数字滤波器临界频率点，变换成对应的模拟域频率，利用此设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频率正是。如图所示。第九十页，共一百七十二页，2022年，8月28日双线性变换时频率的预畸第九十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日

３)计算H(z)

双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。置换过程:

频响：第九十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日第九十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日

这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。第九十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.3.3用MATLAB设计IIR滤波器1.脉冲响应不变法[BZ,AZ]=impinvar(B,A,Fs)BZ,AZ：数字滤波器系统函数的系数Fs：采样频率2.双线性变换法[BZ,AZ]=bilinear(B,A,Fs)第九十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.4设采样周期(采样频率)，分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个三阶巴特沃思滤波器，其3dB边界频率为N=3;fc=1000;fs=4000;T=1/fs;wc=2*pi*fc*T;%脉冲响应不变法Wc1=wc/T;[B,A]=butter(N,Wc1,'s');[num1,den1]=impinvar(B,A,fs);[h1,w]=freqz(num1,den1);1）低通滤波器设计第九十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日%双线性变换法Wc2=2/T*tan(wc/2);[B,A]=butter(N,Wc2,'s');[num2,den2]=bilinear(B,A,fs);[h2,w]=freqz(num2,den2);%画图f=w*fs/(2*pi);plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-');grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值')axis([0,fs/2,0,1])第九十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日运行结果：num1=00.58130.21140den1=1.0000-0.39840.2475-0.0432num2=0.16670.50000.50000.1667den2=1.0000-0.00000.3333-0.0000第九十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日第九十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.5设计一切比雪夫数字高通滤波器，它的通带为400~500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1000Hz，clearfc=400;d=0.5;fr=317;At=19;fs=1000;T=1/fs;%先求模拟高通滤波器的边界频率wc=2*pi*fc/fs;wr=2*pi*fr/fs;Wc=2/T*tan(wc/2);Wr=2/T*tan(wr/2);2）高通滤波器设计第一百页，共一百七十二页，2022年，8月28日%设计切夫雪夫模拟高通滤波器[N,wn]=cheb1ord(Wc,Wr,d,At,'s');[B,A]=cheby1(N,d,wn,'high','s');%用双线性变换法设计数字滤波器[num,den]=bilinear(B,A,fs)[h,w]=freqz(num,den);%画图f=w/pi*fs/2;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,fs/2,-80,10]);grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB');第一百零一页，共一百七十二页，2022年，8月28日运行结果：num=0.0154-0.04620.0462-0.0154den=1.00001.99001.57150.4583第一百零二页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百零三页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.6设计一巴特沃思带通滤波器，其3dB边界频率分别为和，在阻带处的最小衰减大于10dB，采样频率%第4章例4.6带通滤波器的设计clear;fc=[90,110];d=3;fr=[80,120];At=10;fs=400;T=1/fs;wc=2*pi*fc/fs;wr=2*pi*fr/fs;3）带通滤波器设计第一百零四页，共一百七十二页，2022年，8月28日Wc=2/T*tan(wc/2);Wr=2/T*tan(wr/2);[N,wn]=buttord(Wc,Wr,d,At,'s');[B,A]=butter(N,wn,'s');[num,den]=bilinear(B,A,fs)[h,w]=freqz(num,den);f=w/pi*fs/2;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([40,160,-30,10]);grid;xlabel('频率/kHz');ylabel('幅度/dB');第一百零五页，共一百七十二页，2022年，8月28日运行结果：num=0.02710.0000-0.05410.00000.0271den=1.0000-0.00001.4838-0.00000.5920第一百零六页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百零七页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.7一数字滤波器采样频率，要求滤除100Hz的干扰，其3dB的边界频率分别为95Hz和105Hz，采用一阶巴特沃思滤波器。clear;fc=[95,105];fs=1000;T=1/fs;N=1;wc=2*pi*fc/fs;Wc=2/T*tan(wc/2);4）带阻滤波器设计第一百零八页，共一百七十二页，2022年，8月28日[B,A]=butter(N,Wc,'stop','s')[num,den]=bilinear(B,A,fs)[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*fs;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([50,150,-30,10]);grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB');第一百零九页，共一百七十二页，2022年，8月28日运行结果：num=0.9695-1.56950.9695den=1.0000-1.56950.9391第一百一十页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百一十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.4从模拟滤波器低通原型到各种

数字滤波器的频率变换模拟原型模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟-模拟频率变换模拟原型数字低通、高通带通、带阻模拟-数字频率变换模拟-数字频率变换第一百一十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日一．低通变换通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。脉冲响应不变法双线性变换法3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s)4）把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器系统函数）第一百一十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日解：例4.8指标要求同例4.4，采样频率，用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思滤波器，其3dB边界频率为。 数字滤波器的边界频率为：模拟滤波器的边界频率为：归一化模拟滤波器的系统函数为：(1)脉冲响应不变法第一百一十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日得模拟滤波器的系统函数为：得数字滤波器的系统函数为：第一百一十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百一十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日一阶：第一百一十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日

可见，H(z)与采样周期T有关，T越小，H(z)的相对增益越大。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H(z)后，再乘以因子T,使H(z)只与有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。例如，与的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。最后得：第一百一十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百一十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日解：例4.9设计指标与脉冲响应不变法的例4.8相同，即

，，采用双线性变换法，设计一个三阶巴特沃思低通滤波器。 数字滤波器的边界频率为：模拟滤波器的边界频率为：归一化模拟滤波器的系统函数为：(2)双线性变换法第一百二十页，共一百七十二页，2022年，8月28日得模拟滤波器的系统函数为：得数字滤波器的系统函数为：第一百二十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百二十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.4.2高通变换由于模拟低通滤波器至模拟高通滤波器的变换就是s变量的倒量模拟低通滤波器与数字高通滤波器的变量关系第一百二十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日高通原型变换

第一百二十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.10同例4.5设计一切比雪夫数字高通滤波器，它的通带为400～500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1000Hz。

解：归一化第一百二十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百二十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百二十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日频率/Hz

切比雪夫高通滤波器幅度/dB第一百二十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日解：例

设计

，的三阶巴特沃思高通滤波器。 数字高通滤波器的边界频率为：模拟低通滤波器的边界频率为：归一化模拟低通滤波器的系统函数为：第一百二十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日得模拟低通滤波器的系统函数为：得数字高通滤波器的系统函数为：第一百三十页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.3.3带通变换

模拟低通如果数字频域上带通的中心频率为，则带通变换的目的是将:第一百三十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百三十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日（频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性）。

即将S的原点映射到，而将点映射到，满足这一要求的双线性变换为：第一百三十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日设计：设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率作为设计要求。为了应用以上变换，首先要将上下边带参数换算成中心频率及模拟低通截止频率。为此将代入变换关系式：第一百三十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.11同例4.6，设计一巴特沃思带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=110kHz,f1=90kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。采样fs=400kHz求中心频率：解：确定数字频域的上下边带的角频率第一百三十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日求模拟低通的通带截止频率与阻带边界频率：第一百三十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日归一化的系统函数：第一百三十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日巴特沃兹带通滤波器频率/kHz幅度/dB第一百三十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.3.4带阻变换把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。

给定第一百三十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日例4.13同例4.7，一数字滤波器采样频率fs=1kHz，要求滤除100Hz的干扰，其３dB的边界频率为95Hz和105Hz，原型归一化低通滤波器为解：第一百四十页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百四十一页，共一百七十二页，2022年，8月28日第一百四十二页，共一百七十二页，2022年，8月28日4.5从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z平面变换法）

上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行。

DF低通原型函数这种变换是由所在的Z平面到H(z)所在的Z平面的一个映射变换。为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示：

各种DF的H(z)第一百四十三页，共一百七十二页，2022年，8月28日于是，DF的原型变换可表为：第一百四十四页，共一百七十二页，2022年，8月28日为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以分别表示u平面和Z平面的单位圆，则且必有，其中是的相位函数，即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。函数的特性：1)是的有理函数。2)希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。3)必须是全通函数。第一百四十五页，共一百七十二页，2022年，8月28日全通函数的基本特性：任何全通函数都可以表示为：其中为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。的所有零点都是其极点的共轭倒数N：全通函数的阶数。

变化时，相位函数的变化量为。

不同的N和对应各类不同的变换。第一百四十六页，共一百七十二页，2022年，8月28日

4.5.1数字低通——数字低通（LP）

LP-LP变换（有对称性）第一百四十七页，共一百七十二页，2022年，8月28日LP→LP的变换中，和都是低通函数，只是截止频率互不相同（或低通滤波器的带宽不同），因此当时，相应的，根据全通函数相位变化量为的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且满足以下两条件：

第一百四十八页，共一百七十二页，2022年，8月28日其中是实数，且。

满足以上要求的映射函数应为第一百四十九页，共一百七十二页，2022年，8月28日

频率特性:

呈线性关系，其余为非线性。当时，，带宽变窄，当