方程组与不等式组

方程组与不等式组第一页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃一次方程(组)及其应用第二页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃考点聚焦考点聚焦考点1等式的概念与等式的性质相等第三页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃考点聚焦考点2方程及相关概念方程的概念含有未知数的等式叫做方程方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫它的根解方程求方程解的过程叫做解方程第四页，共八十一页，2022年，8月28日考点3一元一次方程的定义及解法第6讲┃考点聚焦定义只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程一般形式

________________一

一

ax＋b＝0(a≠0)

第五页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃考点聚焦解一元方程的一般步骤(1)去分母在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘

(2)去括号注意括号前的系数与符号

(3)移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号

(4)合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式

(5)系数化为1方程两边同除以x的系数，得x＝的形式

第六页，共八十一页，2022年，8月28日考点4二元一次方程组的有关概念第6讲┃考点聚焦第七页，共八十一页，2022年，8月28日考点5二元一次方程组的解法第6讲┃考点聚焦代入法定义在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法防错提醒在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数加减法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法第八页，共八十一页，2022年，8月28日考点6一次方程(组)的应用第6讲┃考点聚焦列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意，分清题中的已知量、未知量2.设设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数3.列根据题意寻找等量关系列方程4.解解方程(组)5.验检验方程(组)的解是否符合题意6.答写出答案(包括单位)第九页，共八十一页，2022年，8月28日考点7常见的几种方程类型及等量关系第6讲┃考点聚焦第十页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例归类示例►类型之一等式的概念及性质命题角度：1.等式及方程的概念；2.等式的性质．例1如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与________个砝码C的质量相等．

图6－1

图6－1

2

第十一页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例第十二页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例

(1)当天平的左右两边质量相等时，天平处于平衡状态，即为等量关系；(2)利用等式性质，等式两边同除以同一个数时，一定要注意此数不为0.第十三页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之二一元一次方程的解法命题角度：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．第6讲┃归类示例例2[2011·滨州]

第十四页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例分式的基本性质

等式性质2

等式性质1

去括号法则或乘法分配律

移项合并同类项系数化为1

等式性质2

第十五页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之三二元一次方程(组)的有关概念

第6讲┃归类示例C命题角度：1．二元一次方程(组)的概念；2．二元一次方程(组)的解的概念例3第十六页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例第十七页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之四二元一次方程组的解法命题角度：1．代入消元法；2．加减消元法．第6讲┃归类示例例4[2012·南京]

第十八页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例第十九页，共八十一页，2022年，8月28日

(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．(2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．第6讲┃归类示例第二十页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之五利用一次方程(组)解决生活实际问题命题角度：1．利用一元一次方程解决生活实际问题；2．利用二元一次方程组解决生活实际问题．第6讲┃归类示例例5[2012·无锡]

某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.第二十一页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．(1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？

(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元．

第二十二页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例第二十三页，共八十一页，2022年，8月28日第6讲┃归类示例第二十四页，共八十一页，2022年，8月28日用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组则需要两个等量关系．第6讲┃归类示例第二十五页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃一元二次方程及其应用第二十六页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形一元二次方程定义含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程一般形式________________防错提醒在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一

2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

第二十七页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开平方法

适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程

因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0

方法规律常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解

第二十八页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃考点聚焦第二十九页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃考点聚焦配方法定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方解方程第三十页，共八十一页，2022年，8月28日考点3一元二次方程的根的判别式第7讲┃考点聚焦两个不相等

两个相等

没有第三十一页，共八十一页，2022年，8月28日考点4一元二次方程的根与系数的关系第7讲┃考点聚焦第三十二页，共八十一页，2022年，8月28日考点5一元二次方程的应用第7讲┃考点聚焦应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价第三十三页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．例1已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(

)A．－1B．0C．1D．2A

[解析]把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A

第三十四页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．因式分解法．第7讲┃归类示例例2解方程：2（x-3)=3x(x-3)第三十五页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃归类示例第三十六页，共八十一页，2022年，8月28日利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．第7讲┃归类示例第三十七页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之三一元二次方程根的判别式第7讲┃归类示例命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例3[2012·绵阳]

已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

第三十八页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃归类示例第三十九页，共八十一页，2022年，8月28日

(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件

第7讲┃归类示例第四十页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之四一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b；2．用一元二次方程解决商品销售问题．

第7讲┃归类示例例4[2012·乐山]菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

第四十一页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃归类示例

[解析](1)设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2元列出一元二次方程求解即可；(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2.解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)，方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)．∵14400<15000，∴小华选择方案一购买更优惠．

第四十二页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃回归教材根的判别式作用大

回归教材教材母题人教版九上P43T14无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．第四十三页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃回归教材第四十四页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃回归教材[点析]解一元二次方程有配方法、公式法或因式分解法，一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．

第四十五页，共八十一页，2022年，8月28日第7讲┃回归教材中考变式[2012·广安]

已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(

)A．a＞2B．a＜2C．a＜2且a≠1D．a＜－2C[解析]Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，∴a＜2且a≠1.故选C.

第四十六页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃分式方程及其应用第四十七页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃考点聚焦考点聚焦考点1分式方程分式方程概念分母里含有________的方程叫做分式方程增根在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为________，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为________未知数零零第四十八页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃考点聚焦考点2分式方程的解法分式方程的解法基本思想把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程直接去分母法方程两边同乘各分式的________，约去分母，化为整式方程，再求根验根公分母第四十九页，共八十一页，2022年，8月28日考点3分式方程的应用第8讲┃考点聚焦列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．第五十页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃归类示例归类示例►类型之一分式方程的概命题角度：1．分式方程的概念；2．分式方程的增根．例1[2012·攀枝花]1第五十一页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃归类示例第五十二页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之二分式方程的解法命题角度：1．去分母法；2．换元法．第8讲┃归类示例例2解方程：第五十三页，共八十一页，2022年，8月28日解分式方程常见的误区：(1)忘记验根；(2)去分母时漏乘整式的项；(3)去分母时，没有注意符号的变化．第8讲┃归类示例第五十四页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之三分式方程的应用第8讲┃归类示例命题角度：1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．例3[2012·泰安]一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．(1)甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？第五十五页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃归类示例第五十六页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃回归教材工程问题有规律回归教材教材母题人教版八下P32T5

张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时清点完另一半图书．如果李强单独清点这批图书需要几小时？第五十七页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃回归教材中考变式[2012·扬州]为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？

第五十八页，共八十一页，2022年，8月28日第8讲┃回归教材第五十九页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃一元一次不等式(组)及其应用第六十页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃考点聚焦考点聚焦考点1不等式不等式的概念不等式一般地，用不等号连接的式子叫做不等式不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解不等式的解集能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集第六十一页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃考点聚焦不等式的基本性质

性质1

不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__________性质2不等式两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向________性质3不等式两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向__________不变不变改变第六十二页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃考点聚焦考点2一元一次不等式一元一次不等式及其解法定义只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)解一元一次不等式的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1第六十三页，共八十一页，2022年，8月28日考点3一元一次不等式组第9讲┃考点聚焦一元一次不等式组的概念含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组不等式组的解集的求法解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集第六十四页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃考点聚焦第六十五页，共八十一页，2022年，8月28日考点4利用不等式(组)解决日常生活中的实际问题第9讲┃考点聚焦目的通过不等式(组)对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力方法这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用列不等式(组)的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等关系，从不等式(组)的解集中寻求正确的符合题意的答案第六十六页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃考点聚焦重要提醒(1)根据题目所给信息，运用不等式知识建立数学模型，再对可能出现的各种情况进行分类讨论而获解；(2)列不等式(组)解应用题的步骤大体与列方程(组)解应用题相同，应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词．注意分析题目中的不等量关系，能准确分析题意，列出不等量关系式，然后根据不等式(组)的解法求解第六十七页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃归类示例归类示例►类型之一不等式的概念及性质命题角度：1．不等式、不等式的解和解集等概念；2．不等式的性质．例1[2012·凉山]设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图9－1所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是(

)

A．c＜b＜aB．b＜c＜a

C．c＜a＜bD．b＜a＜cA[解析]依题意得b＝2c，a＞b.所以a＞b＞c.故选A.

第六十八页，共八十一页，2022年，8月28日

(1)运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘或者除以一个负数，不等式的方向要改变；(2)生活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意数与形的有机结合．第9讲┃归类示例第六十九页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之二一元一次不等式命题角度：1．一元一次不等式的概念；2．一元一次不等式的解法．第9讲┃归类示例例2[2012·连云港]

图9－2第七十页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之三一元一次不等式组第9讲┃归类示例命题角度：1．一元一次不等式组的概念和解集；2．一元一次不等式组的解法．例3解不等式组：第七十一页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之四与不等式(组)的解集有关的问题第9讲┃归类示例命题角度：1．求不等式组的整数解；2．根据解的情况求相关字母的值．例4B第七十二页，共八十一页，2022年，8月28日第9讲┃归类示例第七十三页，共八十一页，2022年，8月28日已知不等式组的解集求字母(或有关字母代数式)的值，一般先求出已知不等式(组)的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系．第9讲┃归类示例第七十四页，共八十一页，2022年，8月28日►类型之五一元一次不