专题21圆锥曲线综合-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（原卷版）

专题21周锥曲线综合

画题呈现

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】已知抛物线。：％2=20，（。＞0）的焦点为尸，且尸与圆/：/+。+4）2:1上点的距离的

最小值为4.

（1）求"；

（2）若点P在"上，PAPB是。的两条切线，A6是切点，求△PAB面积的最大值.

【答案】（1）p=2；（2）20亚.

【试题解析】（1）抛物线C的焦点为尸0，T，I五M卜g+4,

所以，F与圆〃：/+（y+4）2=l上点的距离的最小值为5+4-1=4,解得p=2；

FV

（2）抛物线C的方程为f=4y,即y=、，对该函数求导得y'=],

设点A（Xi，y）、35,%）、P&，%），

直线P4的方程为y_y=5（x_%）,即y=^_y,即-2y-2y=0,

同理可知，直线PB的方程为々工一2%—2y=0,

'x.x-2y,-2y=0

由于点尸为这两条直线的公共点，则n-n八，

[马马-2y2-2%=0

所以，点A、8的坐标满足方程玉彳一2丁一2%=0,

所以，直线的方程为/x—2y—2yo=0,

'xox-2y-2yo=0

联立，x2，可得r—2%》+4%=0,

y

4

由韦达定理可得X1+%2=2玉)，X|X?=4%,

=7（X«+4）（XO-43?0）

所以，|A却

\2-4yI

点P到直线AB的距离为d='x°01,

7^4

所以,SAPAB=；|AB|.d=；J（x：+4）（x：-4%）」；，一4%）2,

22J片+42

：片一4%=1-（%+4『-4%=—N：T2为T5=—（%+6『+21，

由已知可得一5<%<—3,所以，当为=-5时，△RIB的面积取最大值202=206.

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【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函

数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

【命题意图】

(1)了解圆或抛物线的实际背景，了解圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

(2)掌握圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

(3)了解圆锥曲线的简单应用.

(4)理解数形结合的思想.

【命题方向】

解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、

定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与

椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思

想.同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.

【得分要点】

(-)求椭圆的方程有两种方法:

（1）定义法.根据椭圆的定义，确定序，加的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：

第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时

需要分类讨论）.

fv2v2x2

第二步，设方程.根据上述判断设方程为二+二=1（“＞b＞0）或上+白=1（"＞人〉0）.

ah~a-h"

第三步，找关系.根据已知条件，建立关于a1,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系02="一〃）

第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量“，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨

论或把椭圆的方程设为如？+〃y2=i（'篦＞o,n＞0.S./M牛〃）.

（二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：

根据条件确定抛物线的焦点在哪

条坐标轴上及开口方向

畲度〉~（根据焦点和开口方向设出标准方程）

＜途〉■（根据条件列出关于p的方程）

余礴＞~｛解方程，将P代入所设方程为所求）

若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.

（三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题.

（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.

（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根

与系数的关系.

（四）圆锥曲线中的定点、定值问题

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定

值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻

找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要

掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来

研究等.

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1.（2021•四川遂宁市•高三三模（理））已知椭圆C：xy=1（。＞0,匕＞0）的左、右焦点分别为《，

部+5F2,

过尸2且与X轴垂直的直线与椭圆。交于A,B两点,AAQB的面积为2近，点P为椭圆。的下顶点,

\PF2\=y[2\OP\.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过抛物线＞2=4x的焦点厂的直线/交椭圆。于加，N两点，求|丽・丽|的取值范围.

2.（2021・上海复旦附中高三其他模拟）已知过点加（日,0）的直线/与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B

两点，且砺.砺=-3，其中。为坐标原点.

（1）求〃的值；

（2）当最小时，求直线/的方程.

3.（2021•重庆高三其他模拟）已知直线/：y=Ax+4与抛物线C：y=℃2交于A、8两点，O为坐标原点，

OAA.OB.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若过点A的另一条直线/i与抛物线C交于另一点与y轴交于点N,且满足=求忸的

最小值.

4.(2021•河北高三其他模拟)已知抛物线。：：/=2〃％(9>0)的焦点为凡C上一点G到F的距离为5,

到直线x=—1的距离为5.

(1)求C的方程；

(2)过点F作与x轴不垂直的直线/与C交于A,B两点，再过点A,8分别作直线/的垂线，与x轴分别

交于点尸，Q,求四边形APB。面积的最小值.

5.(2021•浙江省杭州第二中学高三其他模拟)已知抛物线。：丁=2庶(〃>0)经过点(2,2&),尸是圆

M:(x+l)-+y2=1上一点，PA-尸3都是。的切线.

(1)求抛物线。的方程及其准线方程;

(2)求的面积的最大值.

6.(2021.湖南岳阳市.高三其他模拟)已知动圆过定点P(l,0),且与定直线/:x=-l相切，点C在/上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(2)设过点P且斜率为-6的直线与曲线M相交于A,8两点.

①问：△MC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由;

②当AA6c为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

7.（2021•浙江金华市•高三三模）如图，已知抛物线V=4x,过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛

物线于4c和民。两点，且A,。在第一象限，直线A8与x轴的交点E在原点O和尸点之间.

（1）若尸为抛物线的焦点，且IAP|=3,求点A的坐标;

\OP\

（2）若尸为动点，且ACDP的面积是AMBP面积的3倍，求房3的值.

\OE\

8.（2021•浙江嘉兴市•高三其他模拟）抛物线。：丁=2后的焦点为广，准线为/,尸是抛物线上一点，过F

的直线交抛物线于A,8两点，直线AP、8P分别交准线/于当AB/〃，点P恰好与原点。重合时,

&MNF的面积为4.

（I）求抛物线c的方程；

（2）记5“削=$5“柳=52，夕点的横坐标与48中点的横坐标相等，若S「|P可=/lS2,求;I的最小值.

9.（2021•全国高三其他模拟（理））己知抛物线C:y2=2px（〃>0）的焦点为尸，点。（/,一2）在。上，且

归耳=2|。耳（。为坐标原点）.

（1）求C的方程；

（2）若A,3是。上的两个动点，且A,3两点的横坐标之和为8,求当|A到取最大值时，直线A3的

方程.

io.（2021•四川高三二模（理））己知点F（I,O）,直线/：》=—2,p为y轴右侧或y轴上动点，且点尸至u

的距离比线段PF的长度大1,记点尸的轨迹为E.

（1）求曲线E的方程；

（2）已知直线4：x=l交曲线E于A,3两点（点A在点5的上方），C,。为曲线E上两个动点，且

ZCAB=ZDAB,求证：直线的斜