2023年第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题解答_第1页
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第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题(每小题3分,共3０分）1．＝1／6．2．设连续，在处可导，且满足则曲线在处的切线方程为y=２x－2.3.设,则-２.４．设函数可导且，二元函数满足,则.5．设是由曲线和直线,所围成的区域，是连续函数,则－2.6..7.数项级数的和-1+cos1+ｌn2.8.计算积分=１/２．9.已知入射光线的途径为，则此光线通过平面反射后的反射线方程为．10．设曲线的长度为L,则.二、(10分)设在上二阶可导,且而当时，证明在内，方程有且仅有一个实根．证明由于当时,因此单调减，从而,于是又有严格单调减.再由知，最多只有一个实根．下面证明必有一实根．当时,，即，上式右端当时，趋于,因此当充足大时，，于是存在,使得，由介值定理存在,使得．综上所述,知在有并且只有一个实根．三、(1０分)设有二阶连续偏导数,，且,证明在取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值.解，由全微分的定义知.Ａ=，,,且，故是极大值.四、(10分)设f(x)在［０,１]上连续,f(0）=f(１）,求证：对于任意正整数n，必存在,使.证明令于是有所以故存在使．五、（1０分)六、(１0分)设函数具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简朴闭曲面上,积分的值恒为同一常数．(1)证明:对空间区域内的任意光滑简朴闭曲面,有；（2)求函数满足的表达式.（1)证明:如图，将分解为,另做曲面围绕原点且与相接，则＝０.(２）由（1）可知,，其通解为，由,得,故七、(10分)如图,一平面均匀薄片是由抛物线及轴所围成的,现规定当此薄片认为支点向右方倾斜时,只要角不超过,则该薄片便不会向右翻倒,问参数最大不能超过多少?yM解M倾斜前薄片的质心在,点与点的距离为,薄片不翻倒的临界位置的质心在点,此时薄片底边中心在点处,有，解得,故最大不能超过..八、(10分)讨论是否存在[0,2]上满足下列条件的函数，并阐述理由:f(x）在[0，２]上有连续导数,f(0)=f（2)=1,解不存在这样的函数.当时,由

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