数学基础脉冲函数和卷积

数学基础脉冲函数和卷积第一页，共二十五页，2022年，8月28日§1-2脉冲函数d-Function

一、定义(续)0xd(x)110xd(x,y)yd-函数的图示:定义3:设任意函数f(x)在x=0点连续,则 f(x)称为检验函数.第二页，共二十五页，2022年，8月28日§1-2d-函数

二、性质1.筛选性质sifting(由定义3直接可证)

设f(x)在x0点连续,则证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习)推论:d(x)是偶函数2.缩放性质scaling与普通函数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.第三页，共二十五页，2022年，8月28日§1-2d-函数

二、性质(续)3.乘积性质

设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)

任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数练习：计算sinc(x)d(x) 2.sinc(x)d(x-0.5) 3.sinc(x)d(x-1) 4.(3x+5)d(x+3)第四页，共二十五页，2022年，8月28日§1-2d-函数

三、d-函数的阵列--梳状函数comb(x)表示沿x轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.间隔为t的脉冲系列:定义:

n为整数第五页，共二十五页，2022年，8月28日§1-2d-函数

三、d-函数的阵列--梳状函数comb(x)梳状函数与普通函数的乘积:f(x)0x=x0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.xy二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)xcomb(x)0第六页，共二十五页，2022年，8月28日例题1.已知连续函数f(x)，若x0>b>0,利用d函数可筛选出函数在x=

x0+b的值，试写出运算式。解：第七页，共二十五页，2022年，8月28日例题2.f(x)为任意连续函数，a>0,求函数

g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)]并作出示意图。解：g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)]=f(x)d(x+a)-f(x)d(x-a)=f(-a)d(x+a)-f(a)d(x-a)第八页，共二十五页，2022年，8月28日例题3.已知连续函数f(x)，a>0和b>0。求下列函数：

(1)h(x)=f(x)d(ax-x0) (2)g(x)=f(x)comb[(x-x0)/b]解:(1)h(x)=f(x)d(ax-x0)第九页，共二十五页，2022年，8月28日例题3.（2）第十页，共二十五页，2022年，8月28日例题4画函数图形(1)(2)第十一页，共二十五页，2022年，8月28日

用宽度为a的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x)

扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。§1-3卷积convolution

一、概念的引入(Ⅰ)第十二页，共二十五页，2022年，8月28日卷积 概念的引入(Ⅰ)探测器输出的光功率分布axf(x)1/f0x卷积运算第十三页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

一、概念的引入(II)设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)第十四页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

一、概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x第十五页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

二、定义若f(x)与h(x)有界且可积,定义*:卷积符号

g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x-x).需要对任何可能的x求和.g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:第十六页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

三、计算方法--借助几何作图th(t)1/5590f(t)1/346t0f(t)1/346t0th(-t)1/5-9-50xh(x-t)

x-9x-5t4601.用哑元t画出函数f(t)和h(t);2.将h(t)折叠成h(-t);3.将h(-t)移位至给定的x,

h[-(t-x)]=h(x-t);4.二者相乘;5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x).步骤:xh(x-t)

x-9x-5t4609111315

g(x)

x02/15第十七页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

三、计算方法--几何作图法练习:计算rect(x)*rect(x)-101

g(x)

x11.用哑元t画出二个rect(t)2.将rect(t)折叠后不变;3.将一个rect(-t)移位至给定的x,

rect[-(t-x)]=rect(x-t);4.二者相乘;乘积曲线下面积的值即为g(x).rect(t)1t-1/201/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t-1/201/2

x-1/2x

x+1/2rect(t)1t-1/201/2rect(x)*rect(x)=tri(x)卷积通常具有(1)加宽(2)平滑的作用第十八页，共二十五页，2022年，8月28日卷积 概念的引入：

回到前面的例题探测器输出的光功率分布:af(x)1/f0xx第十九页，共二十五页，2022年，8月28日计算这个卷积:f(x)=2+cos(2pf0x)第二十页，共二十五页，2022年，8月28日练习若证明：令x-x=x’证:第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日作业1-8若证明：第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

四、性质1.卷积满足交换律CommutativeProperty

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)推论:卷积是线性运算Linearity

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷积满足分配律DistributiveProperty [v(x)+w(x)]*

h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)

3.卷积满足结合律AssociativeProperty

[v(x)*

w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*

h(x)]第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

四、性质(续)4.卷积的位移不变性Shiftinvariance

若f(x)*h(x)=g(x),则

f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)

或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷积的缩放性质Scaling

若f(x)*h(x)=g(x),则 第二十四页，共二十五页，2022年，8月28日§1-3卷积convolution

五、包含脉冲函数的卷积即任意函