数理统计部分

数理统计部分第一页，共五十四页，2022年，8月28日专题一：方差分析与协方差分析1.单因素试验及有关的基本概念在试验中，有可能影响试验指标并且有可能加以控制的试验条件称为因素。通过试验的设计，在试验中只安排一个因素有所变化、取不同的状态或水平，而其余的因素都在设计的状态或水平下保持不变的试验称为单因素试验。

一、单因素方差分析第二页，共五十四页，2022年，8月28日可设单因素试验的因素为A，共有A1、A2、…、Ar等r个水平、分别安排了n1、n2、…、nr次重复试验，其中的第i个水平Ai安排了ni次重复试验，所得到的样本为Xi1、Xi2、…、Xini，相应的观测值为xi1、xi2、…、xini，式中的n1+n2+…+nr=n。

水平观测值A1

x11

x12…

x1n1

A2

x21

x22…

x2n2…

…

Ar

xr1

xr2…

xrnr

第三页，共五十四页，2022年，8月28日在单因素试验中，假设有r个编号为i＝1至r的正态总体，它们分别服从N(μi,σ2)分布，

第四页，共五十四页，2022年，8月28日当μi及σ2未知时，要根据取自这r个正态总体的r个相互独立且方差相同的样本检验原假设H0：各μi(i=1至r)相等，所作的检验以及对未知参数的估计称为方差分析。

μ称为总平均值,第五页，共五十四页，2022年，8月28日总离均差平方和的分解第六页，共五十四页，2022年，8月28日结论1）SST=SSE+SSA；第七页，共五十四页，2022年，8月28日第八页，共五十四页，2022年，8月28日结论2）

结论3）当H0为真时，

结论4）当H0为真时，SSE、SSA相互独立；第九页，共五十四页，2022年，8月28日结论5）当H0为真时，第十页，共五十四页，2022年，8月28日2单因素方差分析的计算dataex；doa=1to3；inputn@@；doi=1ton；inputx@@；Output；end；end；Cards；8212924222530272610202525232931242620216242228252126；proc

anova;classa;modelx=a；meansa/duncancldiff；run;第十一页，共五十四页，2022年，8月28日例1.1《切胚乳试验》用小麦种子进行切胚乳试验，设计分3种处理，同期播种在条件较为一致的花盆内，出苗后每盆选留2株，成熟后测量每株粒重(单位：g)，得到数据如下：

处理未切去胚乳切去一半胚乳切去全部胚乳

每株粒重21,29,24,22,25,30,27,2620,25,25,23,29,31,24,26,20,2124,22,28,25,21,26第十二页，共五十四页，2022年，8月28日第十三页，共五十四页，2022年，8月28日方差来源A误差总和平方和6.77223.73230.50自由度22123均方和3.3910.65F值0.32显著性N第十四页，共五十四页，2022年，8月28日例1.2《药剂处理》用4种不同的药剂处理水稻种子，发芽后观测到苗高(单位：cm)如下：

处理1234

苗高19,23,21,1321,24,27,2020,18,19,1522,25,27,22第十五页，共五十四页，2022年，8月28日dataex;doa=1to3;doi=1to5;inputx@@;output;end;end;cards;19232113212427202018191522252722;proc

anova;classa;modelx=a;meansa/duncancldiff;run;第十六页，共五十四页，2022年，8月28日第十七页，共五十四页，2022年，8月28日方差来源A误差总和平方和104118222自由度31215均方和34.679.83F值3.53显著性*第十八页，共五十四页，2022年，8月28日二、双因素方差分析（一）不考虑交互作用的双因素方差分析1.理论

通过试验的设计，在试验中只安排两个因素有所变化、取不同的状态或水平，而其他的因素都在设计的状态或水平下保持不变的试验称为双因素试验。

第十九页，共五十四页，2022年，8月28日可设双因素试验的一个因素为A，共有A、A、…、A等r个水平，另一个因素为B，共有B、B、…、B等s个水平。这两个因素的水平互相搭配各安排一次试验，其中A因素的A水平与B因素的B水平搭配安排试验所得到的样本为X，相应的观测值为x

第二十页，共五十四页，2022年，8月28日第二十一页，共五十四页，2022年，8月28日服从F(s-1,(r-1)(s-1))分布

方差来源平方和自由度均方和F值显著性AB误差总和SSASSBSSESSTr-1s-1(r-1)(s-1)rs-1MSAMSBMSEFAFB服从F(r-1,(r-1)(s-1))分布

第二十二页，共五十四页，2022年，8月28日2.不考虑交互作用的双因素方差分析的计算第二十三页，共五十四页，2022年，8月28日dataex;doa=1to4;dob=1to5;inputx@@;output;end;end;cards;5356455249475047475357635457584552424148;proc

anova;classab;modelx=ab;meansab/duncancldiff;run;第二十四页，共五十四页，2022年，8月28日第二十五页，共五十四页，2022年，8月28日第二十六页，共五十四页，2022年，8月28日（二）考虑交互作用的双因素方差分析1.理论

考虑交互作用的双因素试验可设双因素试验的一个因素为A，共有A1、A2、…、Ar等r个水平，另一个因素为B，共有B1、B2、…、Bs等s个水平。这两个因素的水平互相搭配各安排m次试验，其中A因素的A水平与B因素的B水平搭配安排试验所得到的样本为X，相应的观测值为x。第二十七页，共五十四页，2022年，8月28日第二十八页，共五十四页，2022年，8月28日服从F(r-1,rs(m-1))分布服从F(s-1,rs(m-1))分布

服从F((r-1)(s-1),rs(m-1))分布

第二十九页，共五十四页，2022年，8月28日方差来源平方和自由度均方和F值显著性ABAB误差总和

SSASSBSSABSSESSTr-1s-1(r-1)(s-1)rs(m-1)rsm-1MSAMSBMSABMSEFAFBFAB第三十页，共五十四页，2022年，8月28日考虑交互作用的双因素方差分析第三十一页，共五十四页，2022年，8月28日dataex;doa=1to4;dob=1to3;doi=1to2;inputx@@;output;end;end;end;cards;58.252.656.241.265.360.849.142.854.150.551.648.460.158.370.973.239.240.775.871.558.25148.741.4;proc

anova;classab;modelx=aba*b;meansab/duncancldiff;run;第三十二页，共五十四页，2022年，8月28日第三十三页，共五十四页，2022年，8月28日第三十四页，共五十四页，2022年，8月28日统计控制的基本概念如果在单因素、双因素或多因素试验中有无法控制的因素x影响试验的结果Y，且x可以测量、x与Y之间又有显著的线性回归时，常常利用线性回归来矫正Y的观测值、消去x的差异对Y的影响。例如，研究施肥对苹果树产量的影响，由于苹果树的长势不齐，必须消去长势对产量的影响。又如，研究饲料对动物增重的影响，由于动物的初重不同，必须消去初重对增重的影响。这种不是在试验中控制某个因素，而是在试验后对该因素的影响进行估计，并对试验指标的值作出调整的方法称为统计控制，可以作为试验控制的辅助手段。以统计控制为目的，综合线性回归分析与方差分析所得到的统计分析方法，称为协方差分析，所需要统计控制的一个或多个因素，例如苹果树的长势，又如动物的初重等等称为协变量。第三十五页，共五十四页，2022年，8月28日三、单因素协方差分析

1.理论第三十六页，共五十四页，2022年，8月28日第三十七页，共五十四页，2022年，8月28日第三十八页，共五十四页，2022年，8月28日第三十九页，共五十四页，2022年，8月28日第四十页，共五十四页，2022年，8月28日第四十一页，共五十四页，2022年，8月28日施用三种肥料的产量矫正后有极显著的差异

第四十二页，共五十四页，2022年，8月28日dataex;doa=1to3;doi=1to8;inputxy@@;output;end;end;cards;475458665363465149565666546144505254535364675862596261636364666944524858465450615970576458695366;

proc

glm;classa;modely=xa/solution;lsmeansa/stderrpdiff;run;第四十三页，共五十四页，2022年，8月28日第四十四页，共五十四页，2022年，8月28日四、双因素协方差分析（一）不考虑交互作用的双因素协方差分析方差来源平方和自由度均方和F值显著性AQAr-1MQAFABQBs-1MQBFB误差QErs-r-sMQE总和QTrs-2第四十五页，共五十四页，2022年，8月28日第四十六页，共五十四页，2022年，8月28日

dataex;doa=1to3;dob=1to5;inputxy@@;output;end;end;cards;82.85104.24123.00114.94102.88103.14124.5072.75125.84104.06123.88103.8692.82104.9492.89;proc

glm;classab;modely=xab/solution;lsmeansab/stderrpdiff;run;第四十七页，共五十四页，2022年，8月28日第四十八页，共五十四页，2022年，8月28日方差来源平方和自由度均方和F值显著性A0.604620.30232.49NB7.124541.781114.66**误差0.850270.1215总和8.579313各小区的产量矫正后没有显著的差异，各品种的产量矫正后有极显著的差异。第四十九页，共五十四页，2022年，8月28日（一）考虑交互作用的双因素协方差分析方差来源平方和自由度均方和F值显著性AQAr-1MQAFABQBs-1MQBFBABQAB(r-1)(s-1)MQABFAB误差QErs(m-1)-1MQE总和QTrsm-2第五十页，共五十四页，2022年，8月28日第五十一页，共五十四页，2022年，8月28日方差来源平方和自由度均方和F值显著性A