高中数学同步讲义分册选修1-2第二章

学习目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的知识点一综合法x，yx＋y＝1，求证：2x＋2y≥2x＋y＝12x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝22，2x＋2y≥22成立.思考 答案条件：x＋y＝1，结论：2x＋2y≥2思考 答案从已知条件利用基本不等式到待证结论P⇒1→1⇒2Q2Q3Qn⇒(P定理、公理等，Q表示所要证明的结论).知识点二分析法2x＋2y≥22x＋2y≥22x·2y＝22x＋y≥22，只需证2x＋y≥2，分析法的框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件知识点三综合法和分析法的综合应用思考 答案综合法是由因导果法，每步寻找的是必要条件；而分析法是执果法，每步寻找的思考 对于思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法P.P⇒Q，则结论得证.类型一例 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.证明A，B，C2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，3由①②3a，b，c可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤33与感悟综合法的证骤如下训练 在 cosB.证明中，AB＝cos证明在△ABCsinB＝cossin cossinBcosC－cosBsin类型二例

2

2

2>lga＋lgb＋lg

a＋bb＋c证明要证

2

2

2>lga＋lgb＋lgc

2·2

2a＋bb＋c只需证2·2·2a，b，c

所以2≥

2≥

2≥a＋bb＋c所以2·2·2>a·b·c与感悟训练2 求证：a－a－1<a－2－a－3(a≥3).证明方法一要证a－ 只需证a＋ 只需证( 只需证2a－3＋2 0<20<2所 方法二因为a＋ 所以a－ 类型三综合法和分析法的综合应用例3 求证：当x≥0时，sinx≤x.证明要证x≥0时，sinx≤x，x≥0时，sinx－x≤0即可f(x)＝sinx－xx≥0时，f(x)≤f(0).即证x≥0时，f(x)max≤0.∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cos∴x≥0∴x≥0∴sinx－x≤0成立，∴原不等式成立在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生3a、bx的一元二次方程0没有实数根证明要证(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根，只需证Δ<0即可.∵a、b 答案解析综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法A、B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的( 答案解析在△ABCA>Ba>b，又a＝b，∴sinA>sinBsinA>sinB

sin

sin设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系 答案6－7－7＋6＋b解析∵a2－c2＝2－(8－43)＝48－36>06－7－7＋6＋b

>1∴c>b，已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈R，数列{an}，{bn}满足1)，n∈N*.求证：数列{bn＋1}为等比数列证明

又∴{bn＋1}1为首项，2为公比的等比数列 1≤ab≤ 答案

解析a≠b

a＋b＝2>2 故 ①a2＋b2＋3≥ab＋

个B.2个C.3个D.4答案

解析a2＋b2≥2ab，a2＋3≥23a，b2＋3≥23b相加得：2(a2＋b2＋3)≥2ab＋223ba2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)，a(1－a)－1＝－a2＋a－1＝－(a－1 ，因 对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( 答案解析A项，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B项，平面内的一条直重合；D项是成立的，故选D.

x x

答案

解析f(x)定义域为

＝lg(

在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条 答案 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案B解析在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂D错.不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( 答案B 解析由已知条件，可得x2＝ab，a＝b c＝b代

①，得bb＝2bx＋y＝2b2a2＋2＋2与22的大小关系 2a22答案a2＋2＋222a 时，BD⊥A1C(写答案AC⊥BD(答案不唯一解析BD⊥A1C，BD⊥因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，BD⊥AA1CBD⊥A1C.已知sinx x∈ 3π，则

π ＝5 (2，2＝答案

解析∵sinx＝5，x∈π，3π，∴cos

2 tan∴tan

1＋tan已知在等差数列{an}中，a3，a15x2－6x－1＝0 答案解析a3＋a15＝2a9＝6a9＝3，又因为a7＋a11＝a8＋a10＝2a9，

a解x∈R 1 即a＋ex＝aex＋ae所以 x－1)＝0对一切x∈Raa－1＝0aa>0证明 1

f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋ex－ex

x1>0，x2>0所以f(x1)－f(x2)<0，

即已知 a＋b≥a＋b. bbaba证明方法一综合法：因为a>0，b>0，bbabaaba所 ＋aba

-a－b＝(

-b)＋

-a)＝a－b＋b－a＝