2023届高三数学二轮复习冲刺提分作业第三篇多维特色练大题标准练压轴解答题（二）理

压轴解答题(二)时间:30分钟分值:50分1.点M在椭圆G:+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程;(2)假设斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.2.函数f(x)=xlnx+ax,a∈R,函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)求证:ex>f’(x).3.F1,F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆E上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆E的方程;(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在常数λ,使得,λ,成等差数列?假设存在,求出λ的值,假设不存在,请说明理由.4.函数f(x)=+alnx.(1)当a>0时,假设曲线f(x)在点(2a,f(2a))处的切线过原点,求a的值;(2)假设函数f(x)在其定义域上不是单调函数,求a的取值范围;(3)求证:当a=1时,ln(n+1)>++…+(n∈N*).答案精解精析1.解析(1)∵2a=4,∴a=2.又点M在椭圆上,∴+=1,解得b2=4,∴椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),那么x0==-,y0=x0+m=.∵AB是等腰△PAB的底边,∴PE⊥AB.∴PE的斜率k==-1,解得m=2.此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0,∴y1=-1,y2=2,∴|AB|=3.此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d==,∴△PAB的面积S=|AB|·d=.2.解析(1)由题意知,f'(x)=lnx+1+a,且f(x)的图象在x=1处的切线的斜率k=2,∴f'(1)=ln1+1+a=2,∴a=1.∴f'(x)=lnx+2,当x>e-2时,f'(x)>0,当0<x<e-2时,f'(x)<0,∴函数f(x)的单调递增区间为(e-2,+∞),单调递减区间为(0,e-2).(2)设g(x)=ex-f'(x)=ex-lnx-2,x>0,∵g'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=e-1>0,g'=-2<0,∴g'(x)在上存在唯一的零点t,使得g'(t)=et-=0,即et=.当0<x<t时,g'(x)<g'(t)=0,当x>t时,g'(x)>g'(t)=0,∴g(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,∴x>0时,g(x)≥g(t)=et-lnt-2=-ln-2=t+-2≥2-2=0,又<t<1,∴上式等号取不到,∴g(x)>0,即ex>f'(x).3.解析(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,a=2,∴椭圆E:+=1.将P代入可得b2=3,∴椭圆E的方程为+=1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时,+=+=;②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),那么x1+x2=-,x1·x2=.|AC|=|x1-x2|==.∵直线BD的斜率为-,∴|BD|==.∴+=+=.综上,2λ=+=,∴λ=.故存在常数λ=,使得,λ,成等差数列.4.解析(1)解法一:因为f'(x)=-+(x>0),所以f'(2a)=.又f(2a)=+aln2a=a,故切线方程为y-a=(x-2a).又切线过原点,所以-a=×(-2a),即ln2a=0,解得a=.解法二:因为f'(x)=-+(x>0),所以f'(2a)=.又切线过原点,所以切线方程为y=x.当x=2a时,y=.把点代入函数f(x)=+alnx,得=+aln2a,解得a=.(2)因为f'(x)=-+=(x>0),当a=0时,f'(x)=0,此时f(x)=0,显然f(x)在(0,+∞)上不是单调函数;当a<0时,因为x>0,所以x-a>0,故f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.当a>0时,由f'(x)>0得x-a>0,即x>a.故f(x)在(0,a)上是单调递减函数,在(a,+∞)上是单调递增函数,即f(x)在(0,+∞)上不是单调函数,综上可知a的取值范围是[0,+∞).(3)证明:当a=1时,f(x)=+lnx,由(2)知f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以当x>1时,f(x)=+lnx