2023届高三数学第75练古典概型与几何概型练习

第75练古典概型与几何概型训练目标(1)理解古典概型的概念、会求古典概型的概率；(2)会利用几何概型的计算公式求几何概型的概率．训练题型(1)求简单古典概型的概率；(2)与其他知识交汇求古典概型的概率及古典概型的应用；(3)长度型、面积型、体积型几何概型；(4)几何概型的应用．解题策略对于古典概型：读懂题目，抓住解决问题的实质，即确定根本领件个数及所求事件包含根本领件的个数．对于几何概型：(1)理解并会应用计算公式；(2)利用图形的几何性质求面积、体积，复杂图形可利用分割法、补形法.一、选择题1．(2023·亳州质检)集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，那么直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)2．(2023·青岛一模)如下图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，假设直角三角形中较小的锐角θ＝eq\f(π,6).现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，那么飞镖落在小正方形内的概率是()A.eq\f(2－\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)3.(2023·长沙调研)如图，矩形OABC内的阴影局部由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，假设该点落在阴影局部的概率为eq\f(3,16)，那么a的值为()A.eq\f(7π,12) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)4．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作A1A2的垂线交椭圆的于点P，那么使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))<0的点M的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2\r(6),3) D.eq\f(\r(6),3)5．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k≥－eq\f(1,2)的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)6．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷〞．5名“超级体育迷〞中有2名女性，假设从中任选2名，那么至少有1名女性的概率为()A.eq\f(7,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)7.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上．假设在矩形ABCD内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)8．(2023·昆明一模)小明从某书店购置5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．假设将这5本书随机排并摆放在书架的同一层上，那么同一科目的书都不相邻的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)二、填空题9．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，那么这七个数的中位数是6的概率为________．10．正月十六登高是“中国石刻艺术之乡〞、“中国民间文化艺术之乡〞四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．11．平面区域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2<0}．在区域D1内随机选取一点M，假设点M恰好取自区域D2的概率为p，且0<p≤eq\f(1,8)，那么k的取值范围是______________．12.如下图，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，那么点P到原点O的距离小于1的概率是__________.答案精析1．C[易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的情况无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).]2．A[易知小正方形的边长为eq\r(3)－1，故小正方形的面积为S1＝(eq\r(3)－1)2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－2\r(3),4)＝eq\f(2－\r(3),2).]3．B[由题意知，阴影局部的面积为eq\i\in(0,a,)sinxdx＝(－cosx)＝－cosa＋cos0＝1－cosa，根据几何概型的概率计算公式知eq\f(1－cosa,a·\f(8,a))＝eq\f(3,16)，即cosa＝－eq\f(1,2)，而a∈(0，π)，故a＝eq\f(2π,3)，应选B.]4．D[设P(x，y)，那么eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))<0⇒(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)<0⇒x2－3＋y2<0⇒x2－3＋1－eq\f(x2,4)<0⇒|x|<eq\f(2\r(6),3)，故所求的概率为eq\f(\f(4\r(6),3),4)＝eq\f(\r(6),3).]5．D[记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能的取值有36种．由直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k＝－eq\f(b,a)≥－eq\f(1,2)，知eq\f(b,a)≤eq\f(1,2)，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9种，所以所求概率为eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).]6．A[用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.记“选出的2名全都是男性〞为事件A，“选出的2名有1名男性1名女性〞为事件B，“选出的2名全都是女性〞为事件C，那么事件A包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个根本领件，事件B包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个根本领件，事件C包含(b1，b2)，共1个根本领件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C，所以所求事件的概率为eq\f(6＋1,3＋6＋1)＝eq\f(7,10).]7．B[依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影局部的面积S阴影＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝eq\f(S阴影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4)，应选B.]8．B[语文、数学只有一科的两本书相邻，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝48(种)摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(种)摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)摆放方法．故所求概率为1－eq\f(48＋24,120)＝eq\f(2,5).应选B.]9.eq\f(1,6)解析十个数中任取七个不同的数共有Ceq\o\al(7,10)种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有Ceq\o\al(3,6)种情况，于是所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).10.eq\f(3,4)解析设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，∴全部根本领件构成的区域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，))符合题意的区域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤y－x≤2，))如下图，由几何概型可知，所求概率为P＝1－eq\f(2×\f(1,2)×2×2,16)＝eq\f(3,4).11．[－1,0)∪(0,1]解析如下图，平面区域D1是由边长等于4的正方形内部的点构成的，其面积为16，直线kx－y＋2＝0恒过定点P(0,2)．由于原点必在区域D2外，且图中每个阴影三角形的面积与大正方形的面积之比均为eq\f(1,8)，故当k>0