2023版高中数学第一章立体几何初步1.2.2第1课时平行直线、直线与平面平行学案（含解析）新人教B版必修2

1.2.21.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理.(重点)2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题.(重点)3.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题.(难点)[根底·初探]教材整理1公理4及等角定理阅读教材P39～P39“例题〞以上内容，完成以下问题.1.公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.符号表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.AB∥PQ，BC∥QR，假设∠ABC＝30°，那么∠PQR等于()A.30° B.30°或150°C.150° D.以上结论都不对【解析】因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补.因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.【答案】B教材整理2直线与平面的平行阅读教材P42～P43的内容，完成以下问题.位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)假设直线与平面不相交，那么直线与平面平行.()(2)过一点有且只有一条直线与直线平行.()(3)直线l上有无数多个点，在平面α外，那么l∥α.()(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行.()【解析】(1)错误.假设直线与平面不相交，那么直线在平面内或直线与平面平行.(2)错误.当点在直线上时，不存在过该点的直线与直线平行，故(2)错.(3)错误.直线l也可能与平面α相交.(4)错误.在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与平面平行的直线有无数条，故(4)错.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×教材整理3直线与平面平行的判定及性质阅读教材P42～P43的内容，完成以下问题.定理条件结论图形语言符号语言判定不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行这条直线和这个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊄α，,m⊂α，,l∥m))⇒l∥α性质一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交这条直线和这两个平面的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝m))⇒l∥m以下条件中能确定直线a与平面α平行的是()A.a⊄α，b⊂α，a∥bB.b⊂α，a∥bC.b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD.b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD【解析】由直线与平面平行的判定定理知选A.【答案】A[小组合作型]公理4、等角定理的应用如图1­2­15，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.图1­2­15(1)求证：四边形BB1M(2)求证：∠BMC＝∠B1M1【精彩点拨】(1)欲证四边形BB1M【自主解答】(1)∵ABCD­A1B1C1D1∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M∴四边形AMM1A1∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M(2)法一由(1)知四边形BB1M∴B1M1∥BM同理可得四边形CC1M∴C1M1∥CM∵∠BMC和∠B1M1∴∠BMC＝∠B1M1法二由(1)知四边形BB1M∴B1M1＝BM同理可得四边形CC1M∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C∴∠BMC＝∠B1M11.空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.2.求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.[再练一题]1.如图1­2­16，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.图1­2­16(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)假设四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.【证明】(1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，那么EH∥FG.故E，F，G，H四点共面.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.直线与平面的位置关系以下说法正确的选项是()【导学号：45722042】A.如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B.如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C.如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥bD.如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α【精彩点拨】解答此题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断.【自主解答】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，应选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，应选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确.应选D.【答案】D空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.,在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，防止疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，防止凭空臆断.[再练一题]2.以下说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，那么另一条一定与这个平面平行.A.0 B.1C.2 D.3【解析】易知①正确，②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误.选C.【答案】C[探究共研型]直线与平面平行的判定与性质探究1如图1­2­17，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？图1­2­17【提示】平行.探究2假设直线l∥平面α，那么l平行于平面α内的所有直线吗？【提示】不是.探究3假设a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？【提示】假设a∥α，那么过a且与α相交的平面有无数个.这些平面与α的交线与直线a之间相互平行.如图1­2­18，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB)，求证：MN∥平面SBC.图1­2­18【精彩点拨】要证MN∥平面SBC，只需证明MN与平面SBC内的一条直线平行即可，证明时注意平行线分线段成比例定理及其逆定理的应用.【自主解答】法一连接AN并延长交BC于G，连接SG，由题意AD∥BC，所以eq\f(DN,NB)＝eq\f(AN,NG).因为eq\f(DN,NB)＝eq\f(AM,SM)，所以eq\f(AN,NG)＝eq\f(AM,SM)，那么MN∥SG.又因为MN⊄平面SBC，SG⊂平面SBC，所以MN∥平面SBC.法二过M作ME∥AB交SB于E，过N作NF∥CD交BC于F，连接EF，由于AB∥CD，有ME∥NF.(*)又由ME∥AB知eq\f(SM,SA)＝eq\f(ME,AB)，由NF∥CD知eq\f(BN,BD)＝eq\f(NF,CD)，又因为eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB)，得eq\f(SM,SA)＝eq\f(BN,BD)，所以eq\f(ME,AB)＝eq\f(NF,CD).因为AB＝CD，所以ME＝NF.由(*)式知，四边形MNFE为平行四边形，所以MN∥EF，因MN⊄平面SBC，EF⊂平面SBC，所以MN∥平面SBC.1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与直线平行的直线.2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.[再练一题]3.求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.【导学号：45722043】【解】直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明如下图，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c，那么b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.1.以下命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.A.1个 B.2个C.3个 D.4个【解析】由公理4及等角定理知，只有②④正确.【答案】B2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交【解析】直线a∥平面α，那么a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.【答案】D3.角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，假设α＝45°，那么β＝________.【解析】由等角定理可知β＝135°.【答案】135°4.假设a、b是两条异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是________.【解析】如