2023版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案新人教B版必修3

3.3.1几何概型1.理解几何概型的定义及特点.(重点)2.了解古典概型与几何概型的区别.(重点)3.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难点)4.几何概型中几何度量确实定及计算.(难点)[根底·初探]教材整理几何概型阅读教材P109，完成以下问题.1.定义图3­3­1如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图3­3­1所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝eq\f(μA,μΩ)，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.1.判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.()(2)在射击中，运发动击中靶心的概率在(0,1)内.()(3)几何概型的根本领件有无数多个.()【答案】(1)√(2)×(3)√2.在区间[－1,2]上随机取一个数x，那么|x|≤1的概率为________.【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)[小组合作型]与长度有关的几何概型某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10min的概率.【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的5min之内到达车站，等车时间会超过10min.【尝试解答】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，那么线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如下图.记“等车时间超过10min〞为事件A，那么当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生.∴P(A)＝eq\f(T1T的长度,T1T2的长度)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，即该乘客等车时间超过10min的概率是eq\f(1,3).在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.[再练一题]1.一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见以下三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮.【解】在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型.(1)P＝eq\f(红灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).(2)P＝eq\f(黄灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15).(3)P＝eq\f(不是红灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(黄灯亮或绿灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5)，或P＝1－P(红灯亮)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).与面积有关的几何概型设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4eq\r(3)cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.【精彩点拨】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.【尝试解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如下图，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，那么等边三角形的边长为4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3)，由几何概率公式得：P(A)＝eq\f(\f(\r(3),4)2\r(3)2,\f(\r(3),4)4\r(3)2)＝eq\f(1,4).几何概型的特点是根本领件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.[再练一题]2.如图3­3­2，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色局部).假设在此三角形内随机取一点P，那么点P落在区域M内的概率为________.图3­3­2【解析】由题意知题图中的阴影局部的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影局部面积为eq\f(π,2)，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M的面积为2－eq\f(π,2).故所求概率为eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).【答案】1－eq\f(π,4)与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“平安飞行〞，求蜜蜂“平安飞行〞的概率.【精彩点拨】利用体积之比求概率.【尝试解答】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.那么满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).与体积有关的几何概型问题的解决：1如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么其概率的计算公式为：PA＝eq\f(构成事件A的体积,试验的全部结果构成的体积).2解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.[再练一题]3.本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于eq\f(1,3)的概率.【解】到A点的距离小于eq\f(1,3)的点，在以A为球心，半径为eq\f(1,3)的球内部，而点又必须在正方体内，那么满足题意的A点的区域体积为eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,8).所以P＝eq\f(\f(4,3)π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(3)×\f(1,8),33)＝eq\f(π,2×37).[探究共研型]几何概型与古典概型的异同探究1古典概型和几何概型有何异同点？【提示】相同点：古典概型与几何概型中每一个根本领件发生的可能性都是相等的.不同点：古典概型要求随机试验的根本领件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的根本领件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.探究2P(A)＝0⇔A是不可能事件，P(A)＝1⇔A是必然事件是否成立？【提示】(1)无论是古典概型还是几何概型，假设A是不可能事件，那么P(A)＝0肯定成立；假设A是必然事件，那么P(A)＝1肯定成立.(2)在古典概型中，假设事件A的概率P(A)＝0，那么A为不可能事件；假设事件A的概率P(A)＝1，那么A为必然事件.(3)在几何概型中，假设事件A的概率P(A)＝0，那么A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，那么其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，假设事件A的概率P(A)＝1，那么A也不一定是必然事件.(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率.【导学号：00732091】【精彩点拨】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y，组成有序数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解.【尝试解答】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，共计25个，其中满足x2＋y2≤4的在圆上或圆内共计13个(如下图)，∴P＝eq\f(13,25).(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如下图)，S阴＝π×22＝4π，∴P＝eq\f(4π,16)＝eq\f(π,4).古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的根本领件总数是有限的，而几何概型的根本领件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.[再练一题]4.以下概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1cm的概率.A.1B.2C.3D.4【解析】①中的概率模型不是几何概型，虽然区间[－10，10]上有无数个数，但取到“1〞只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相同.【答案】B1.转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是()【解析】D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A，B，C中要大，故指针指到的概率最大.【答案】D2.如图3­3­3，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).假设在该矩形区域内随机地选一地点，那么该地点无信号的概率是()图3­3­3A.1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)－1C.2－eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)【解析】由题意得无信号的区域面积为2×1－2×eq\f(1,4)π×12＝2－eq\f(π,2)，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).【答案】A3.在半径为1的圆中随机地投一个点，那么点落在圆内接正方形中的概率是()A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(\r(2),π)D.eq\f(3,π)【解析】点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，那么正方形的边长为eq\r(2).∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝eq\f(2,π).【答案】B4.函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，那么任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为________.【解析】依题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x\o\al(2,0)＋2x0≥0，,－1≤x0≤3，))解得0≤x0≤2，所以任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率P＝eq\f(2,3－－1)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)5.在长为12