广东省湛江市幸福中学2021年高二数学理模拟试卷含解析

广东省湛江市幸福中学2021年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设满足约束条件则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D2.已知集合，，若,则实数的所有可能取值的集合为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.若关于x的不等式在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】把在区间上有解，转化为存在一个使得，解出的最大值．【详解】在区间上有解，转化为存在一个使得，设，即是的最大值，的最大值，当时取得，故选D4.设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（

）

参考答案：C5.如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（

）A．－8

B．－1

C．1

D．8参考答案：D6.执行如图的程序框图，若输入的N值为10，则输出的N值为

A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：D模拟程序的运行，可得N＝10满足条件N为偶数，N＝5不满足条件N≤2，执行循环体，不满足条件N为偶数，N＝2满足条件N≤2，退出循环，输出N的值为2．故选：D．

7.双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为y=x，由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则有=2，即有b=2a，c==a，则离心率为e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8.设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．9.设点在内部，且有，则的面积比为（

）A.1:2:3

B.3:2:1

C.2:3:4 D.4:3:2参考答案：B略10.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（

） （A）（B）

（C）

（D） 参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.M是圆x2+y2–6x+8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若|OM||ON|=150，则N点的轨迹方程是

。参考答案：3x–4y–75=012.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积

．参考答案：2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是，做出垂直的棱长和底面面积，求出体积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是，∴与底面垂直的棱长是=3，四棱锥底面的面积是∴四棱锥的体积是故答案为：213.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为__________；若S为五边形，则此时CQ取值范围__________．参考答案：解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）?=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．考点：平面的基本性质及推论．专题：数形结合；综合法；空间位置关系与距离．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案．解答：解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）?=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．14.Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为

．参考答案：15.点A（﹣2，3）关于直线l：3x﹣y﹣1=0的对称点坐标是． 参考答案：（4，1）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆． 【分析】设所求对称点的坐标为（a，b），由对称性可得，解方程组可得． 【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b）， 则，解得， ∴所求对称点的坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）． 【点评】本题考查点与直线的对称性，涉及中点公式和直线的垂直关系，属基础题． 16.某几何体的三视图如图所示，它的体积为

．参考答案：30π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】先根据三视图判断几何体为半球与圆锥的组合体，再根据球与圆锥的体积公式计算即可．【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为一圆锥与一半球的组合体．半球的半径R=3，∴，V球=πR3=×27π=18π；圆锥的高h==4，∴V圆锥=πR2h=×9×4π=12π；∴V=V半球+V圆锥=30π．故答案是30π【点评】本题考查根据几何体的三视图，求几何体的体积．V球=πR3，V圆锥=πR2h．17.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由已知条件化简变形可得：a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可得cosC，结合范围C∈（0°，180°），即可得解C的值．（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大边对大角可求角B的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）2﹣c2=3ab，变形可得：a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可得：cosC==，∵C∈（0°，180°），∴C=60°…6分（2）∵c=，b=，C=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC==，∴S△ABC=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.（本题满分12分）设函数（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）因为不等式的解集是，所以是方程的解，

………………2分由韦达定理得：，故不等式为，

…4分解不等式得其解集为．………………6分（2）据题意恒成立，则，

……10分解不等式得．∴实数的取值范围为.

……………12分略20.设点，动圆P经过点F且和直线相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．（Ⅰ）求曲线W的方程；（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）由题意可知，动圆到定点的距离与到定直线的距离相等，其轨迹为抛物线，写出其方程．（2）设出l1的方程y=kx+，联立l1和抛物线的方程，将AB的长度用k表示出来，同理，l2的方程为y=，将CD的长度也用k表示出来．再由四边形面积公式|AB|?|CD|，算出表达式，再用不等式放缩即得．【解答】解：（Ⅰ）过点P作PN垂直直线于点N．依题意得|PF|=|PN|，所以动点P的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2=6y（Ⅱ）依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为，由l1⊥l2得l2的方程为．将代入x2=6y，化简得x2﹣6kx﹣9=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6k，x1x2=﹣9．∴，同理可得．∴四边形ACBD的面积，当且仅当，即k=±1时，Smin=72．故四边形ACBD面积的最小值是72．【点评】高考中对圆锥曲线基本定义的考查仍是一个重点，本题中，对于对角线互相垂直的四边形的面积，可用两条对角线长的乘积的表示．21.某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）利用导数求利润函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L（x）=（x﹣4﹣a）（10﹣x）2，x∈[7，9]．（Ⅱ）求函数的导数L'（x）=（10﹣x）2﹣2（x﹣4﹣a）（10﹣x）=（10﹣x）（18+2a﹣3x），令L′（x）=0，得或x=10，∵1≤a≤3，∴．①当，即时，∴x∈[7，9]时，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上单调递减，故L（x）max=L（7）=27﹣9a．②当，即时，∴时，L′（x）＞0；时，L'（x）＜0，∴L（x）在上单调递增；在上单调递减，故．答：当每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为27﹣9a万元；当每件商品的售价为元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为万元．22.某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 A B C D E销售额（x）/千万元 3 5 6 7 9利润额（y）/千万元 2 3 3 4 5（1）画出销售额和利润额的散点图； （2）若销售额和利润额具有线性相关关系．用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程． 参考答案：【考点】回归分析的初步应用． 【专题】应用题；概率与统计． 【分析】（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图．由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系． （2）做