2015～2016学年人教B版高中数学必修5全册同步学案含答案

人教B版高中数学必修5

全册学案

目录

4-1.L1正弦定理（1）学案

上1.1.1正弦定理（2）学案

*1.1.2余弦定理（1）学案

41.1.2余弦定理（2）学案

11.2应用举例（1）学案

工1.2应用举例（2）学案

上第一章解三角形章末回顾学案

4-2.1.1数列（1）学案

+2.1.1数列（2）学案

4-2.1.2数列的递推公式（选学）学案

+2.2.1等差数列学案

工2.2.2等差数列的前n项和（1）学案

42.2.2等差数列的前n项和（2）学案

上2.3.1等比数列学案

上2.3.2等比数列的前n项和（1）学案

上2.3.2等比数列的前n项和（2）学案

土第二章数列章末回顾学案

上3.1不等关系与不等式学案

，3.2均值不等式（1）学案

13.2均值不等式（2）学案

上3.3一元二次不等式及其解法（1）学案

II

上3.3一元二次不等式及其解法（2）学案

工3.4不等式的实际应用学案

上3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域学案

43.5.2简单线性规划（1）学案

工3.5.2简单线性规划（2）学案

上第三章不等式本章回顾学案

III

第一章解三角形

§1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理(一)

自主学习

□知识梳理

1.一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,6,c叫做三角形的.已

知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.

2.在RtZXZBC中，C=90。，则有：

(1)/+8=,0°<T4<90°,0°<5<90°；

(2)/+*=(勾股定理)；

(3)sinA=,cosA=,tan4=,

sinB=zfcos,tan；

wsinJ-------------'sinB~-------------'sinC~-------------'

3.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即

,这个比值是.

a自主探究

已知△N8C的三个内角/、B、C及对应的三边a、b、c,试用向量法证明正弦定理.

对点讲练

知识点一已知两角和一边解三角形

【例1】在△48C中,。=5,8=45。，C=105。，解三角形.

总结已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可

以求解其余的三个量.

变式训练1在△4BC中，已知〃=26，4=30。，8=45。，解三角形.

知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形

【例2】在△/8C中，a=2小,6=6,A=30°,解三角形.

总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦

值，根据该正弦值求角时，需对甭的情况加以讨论.

变式训练2在△Z8C中，角2、B、C所对的边分别为人b、c,已知/=60。，a=小,

6=1,则c等于()

A.1B.2C.y[3~lD.小

知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数

【例3】不解三角形，判断下列三角形解的个数.

(l)o=5,6=4,4=120°：

(2)°=9,6=10,J=60°；

(3)c=50,6=72,C=135°.

总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情

况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大旃定理，也可作图判断.

变式训练3不解三角形，判断下列三角形解的个数.

(1)0=7,6=14,4=30°；

(2)。=30,6=25,4=150°；

(3)。=7,b=9,4=45°.

⑥课堂小结

1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.

2.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复

杂，可能无解，可能一解或两解.例如：已知°、b和应用正弦定理求8时的各种情况.

a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba2b

力为锐角

无解一解（直角）两解（一锐角，一钝角）一解（锐角）

aWba>b

A为直角或钝角

无解一解（锐角）

课时作业

一、选择题

1.在△/8C中，下列等式中总能成立的是（）

A.osin4=6sin8B.bsinC=csinA

C.absinC=bcsinBD.asinC=csinA

2.在中，已知。=18,A=16,4=150。，则这个三角形解的情况是（）

A.有两个解B.有一个解

C.无解D.不能确定

3.在△4BC中,已知a=8,8=60。，C=75。，则6等于（）

32

A.4啦B.4V5C.4^/6D.y

4.在△48C中，角Z、B、。所对的边分别为。、b、c,如果8=30。，那么

角。等于（）

A.1200B.105°C.90°D.75°

5.在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A.6=10,4=45。，C=70°

B.。=30,6=25,4=150。

C.a=7,6=8,4=98。

D.a=14,b=l6,A=45°

二、填空题

6.在中，AC=WBC=2,8=60。，则C=.

7.在△N2C中，已知八b、c分别为内角/、B、C的对边，若b=2a,8=4+60。，

贝UA=.

8.在△/8C中，a=x,6=2,8=45。，若三角形有两解，则x的取值范围是

三、解答题

9.在△ZBC中，若。=2小，/=30。，讨论当b为何值时（或在什么范围内），三角形有

一解，有两解或无解？

10.在锐角三角形/8C中，A=2B,a.b、c所对的角分别为4B、C,求得的取值范

围.

第一章解三角形

§1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理(一)

知识梳理

1.元素解三角形

2.(1)9。。(2)°?碇32W5(4)。。。

3乐*嬴三角形外接圆的直径2R

自主探究

证明(1)若AABC为直角三角形，不妨设C为直角.

如图所示，根据正弦函数的定义，

a.b.„

-=smAA,~=sinB,

cc

所以UX=^=C=2R（2R为外接圆直径）.

VC=90°,：.sinC=1,^T；=C=2R.

sinC

abc

・・~sin~A7=si.nB0=si•n7C=2R.

(2)若aABC为锐角三角形，过A点作单位向量iJ_k,则有:

i-AB=i(CB-G4)=i-CB-iCA,

'：i±AC,：.i-CA=O,：.i-AB=iCB,

即ccos(90°-A)=acos(90°-Q,

・・csinA=asmC,.~7=~~K

sinAsinC

同理可证.—^―=——=

回些sin4sinB9sin5sinC

.ab£

•・sin/sinBsinC

(3)若△/BC为钝角三角形，可仿(2)证明.

对点讲练

【例"解由三角形内角和定理知4+8+。=180。,

所以4=180。一(8+C=180°-(45°+105°)=30°.

由正弦定理，=''=.(

卬」仁士sin4sin8sinC

,日，sinBsin45°r-

付"EL而赤=5隹

sin。<sin105。sin(60。+45。)

'"sin%sin30°sin30°

sin60°cos450+cos60°sin45°=1（玳+的.

,sin30°

变式训练解

isinAsinBsmC

3巧x也

,asinB2啦sin45072

,•八高7=sin300=—1—=4.

2

VC=180°-(^+5)=180°-(30°+45°)=105°,

asinC2msm105°也产=2+24

sinAsin30°

【例2】解a=2-^3,b=6,cKb,A=30°<90°.

又因为AsinA=6sin30°=3,a>bsinA,

所以本题有两解，由正弦定理得：

.cbsin46sin30°小”,△】一

smB=~~—=2小=2"故台=60或120°.

当8=60。时，C=90。，0=或2+7=4小;

当8=120。时，C=30°,c=a=25.

所以8=60。,C=90°,<?=4小或8=120。,C=30°,c=2小.

变式训练2B[由正弦定理肃T福，

可得点常焉,•1-sinS=2>故NB=30。或150。.

由a>b,得N4>NB,

：.ZB=30°,故NC=90。,由勾股定理得c=2]

【例3】解(l)sin8=《sin120。=^X坐0^,

所以三角形有一解.__

(2)sin5=^sin60°=取坐二零而坐明,

所以当B为锐角时，满足sinB=-^-的角有60。<8<90。,

故对应的钝角B有90°<B<120°,

也满足N+B<180。，故三角形有两解.

小.D加inC72..「应

(3)sinB=―--=京sinOsinC=亍，

所以原>45。,所以8+0180。，故三角形无解.

变式训练3解(1〃=30。，a=bsinA,故三角形有一解.

(2)J=150°>90°,a=30>6=25,故三角形有一解.

(3)4=45。,bsin45°<a<b,故三角形有两解.

课时作业

1.D2.B

3.C［方法一根据三角形内角和定理，/=180。-(8+0=45。.根据正弦定理，b=

osinB_8sin60°丘

sinA=sin45°=4^6,

方法二如图，过点C作CZ)_L/8,由条件可知Z=45。，而由CO=4Sin6()o=bsin45。,

得b=4佝

4.Ac=y[ia,/.sinC=y[isinA

=V3sin(l80°-30°-Q=小sin(30°+Q=小(坐sinC+|cosC),即sinC=-在cosC.

，tanC=又CG(0,it),：.C=120°.]

5.D[对于A,由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B,即/>8,且Z

=150°,只有一解；对于C,a<h,即/<£且4=98。，二无解.]

6.75°

解析由正弦定理嘉痣，'sin/=当

•；BC=2<AC=*,・•・/为锐角,A=45°.AZC=75°.

7.30°

角翠析h=2a=sinB=2sinA,

又,；B=A+60°,sin(/+60°)=2sinA,

即sinAcos600+cos4sin60°=2sinA,

化简得：sinA=~^cosA,・・.tan4=乎，.\A=30°.

8.2<x<2y[2

解析因三角形有两解，所以osinBvXm

即^^x<2<x,，2<x<2yf2.

9.解当QV加in30。，即6>2。，b>4小时,无解；

当或a=bsind,即AW2s或b=4小时，有一解；

当bsinlvavb,即2小<力<4小时，有两解.

10.解在锐角三角形48c中，力、B、C<90°,

8<90。，

即r28<90。，.\30o<B<45°.

J800-35<90°,

由正弦定理知：£=需［=1鬻=2cos8G（啦，小）,

故所求的范围是（6，小）.

1.1.1正弦定理(二)

自主学习

c知识梳理

L正弦定理：媪1=磊=卷=2火的常见变形：

(l)sin力：sin8：sinC=；

a____b______c________4+6+c______

(2)sin4sinBsinCsin/+sin8+sinC------------'

(3)。=,b=,c=；

(4)sinA-________,sinB=________,sinC=________.

2.三角形面积公式:S=.==.

3.在中，ZC=90°,则△力BC的外接圆半径H=,内切圆半径〃=

n自主探究

在△48C中,⑴若4>B,求证：sinJ>sinB；(2)若sin4>sin8,求证：A>B.

对点讲练

知识点一三角形面积公式的运用

【例1】已知△/BC的面积为1,tan8=3，tanC=-2,求△4BC的各边长以及△川7

外接圆的面积.

总结注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出SZMBC=2*sin/sinBsinC.借助该

公式顺利解出外接圆半径R.

变式训练1已知三角形面积为京外接圆面积为K,则这个三角形的三边之积为()

A.1B.2C.1D.4

知识点二利用正弦定理证明恒等式

a-ccosBsin8

【例2】在△Z8C中，求证:

b-ccosAsinA'

总结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化

的功能更加强大，更加灵活.

变式训练2在△NBC中，角/、B、C的对边分别是a、b、c,求证：/sin28+/sin2/

=2absinC.

知识点三利用正弦定理判断三角形形状

【例3】已知△4BC的三个内角/、B、C的对边分别为a、b、c,若a+c=26,且2cos

28—8cos8+5=0,求角B的大小并判断△NBC的形状.

变式训练3已知方程？一（氏。54^+。8$8=0的两根之积等于两根之和，且。、b为

△/BC的两边，4、8为两内角，试判定这个三角形的形状.

⑥课堂小结

1.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三

角恒等式的证明.

2.在△N8C中，有以下结论：

(1M+S+C=7I；

(2)sin(J+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;

A+BCA+BCA+B1

(4)sin--=cosy,cos-—=sintan-、-

一一一tany

课时作业

一、选择题

1.在中，角4、B、C的对边分别是a、氏c,若4：8：C=1：2：3,则a：6：c

等于()

A.1：2：3B.2：3：4

C.3：4：5D.1：小：2

2.在△N8C中，若高=£7=枭，则△/8。是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

3.在中,(b+c)：(a+c)：(a+b)=4：5：6,则sin/:sin8：sinC等于()

A.4：5：6B.6：5：4

C.7：5：3D.7：5：6

4.在△ZBC中，a=2bcosC,则这个三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

5.在△/8C中，8=60。，最大边与最小边之比为(小+1)：2,则最大角为()

A.45°B.60°C.75°D.90°

二、填空题

6.在△4BC中，已知。=3P，cosSMBC=44,贝Ub=.

7.在△/BC中，若tan4=3，C=150°,BC=\,则.

8.在人吹中“60。,片6小"=124.=师,贝%m；：：呆出。=

三、解答题

9.在a/BC中，角4、B、。所对的边分别为a、b、c,且c=10,又知警=0=*

COSDClJ

求4、6及△48C的内切圆半径.

10.在中，a、氏c分别是三个内角/、B、C的对边，若。=2,C=:,cos1

邛^,求△4BC的面积S.

1.1.1正弦定理（二）

知识梳理

l.(l)a："c(2)27?(3)27?sinA2/?sinB2/?sinC

一abc

⑷而2R2R

2.gabsinC16csinAgczzsinB

ca-\-h-c

二32―--2---

自主探究

证明(1)在△43。中，由大角对大边定理

OB=a>b=2Rsin4>2RsinB=>sin4>sinB.

(2)在△/8C中，由正弦定理

ab

sinJ>sin3=而>而=。>6=4>5.

Z.KZK

对点讲练

【例1】解,.•tan8=；＞0,二8为锐角.

8s.手.

VtanC=-2,为钝角.AsinC=cosC=-乎.

净sinA<=s田in(j5++C)明=sin8¥cos.C+cos8sinC

1

2?

•/S^ABC=外加inC=27?sinAsinBsinC

=2*x|x坐X.=1.

AT?2=y|,火=3工，兀穴2=等，即外接圆面积为等.

/.a=2Rsin4=小,b=27?sinB=c=27?sinC=

变式训练1A[设三角形外接圆半径为七

则由兀犬2=兀，

7?=1,由=$6sinC===J.abc=1.]

【例2】证明因为枭步旨2R,所以

.._2Rsin>-2/?sinCeosB_sin(8+C)-sinGeosB

-27?sinB-27?sinCeosAsin(4+Q-sinCeosA

sinBcosCsinB,杯上工、

=-■—;----7；=十一；=右边.所以等式成立.

sin4coscsmA7

变式训练2证明左边=4/?2$次Jsin2B+47?2sin2Bsin2A=8/?2sin2/sinBcosB+

8/?2sin28sinJeosA

=87?2sinJsinB(sinAcosB+cos/sinB)

=87?2sin4sinBsin(J+8)=87?2sin4sinBsinC

=2-(27?sin4>(2火sin8>sinC=2absinC=右边.

・•・等式成立.

【例31解•?2cos2B-8cos8+5=0,

J2(2COS2B-1)-8cos5+5=0.

4cos七-8cos8+3=0,即(2cosB-l)(2cosB-3)=0.

i、3

解得cos8=1或cos8=](舍去).

71

*/0<5<TI,/.B：4+c=2b.

由正弦定理得sin4+sinC=2sin8=2sinj=^3.

/.sinA+sin(普一/)=正，

/.sinA+sin专cosA-cos与sinA=小.

化简得,sin4+坐cos力=^/3,sin^+看)=1•

V0<A<n,.\A=

/•A甘，。=卜，/\48。是等边三角形.

变式训练3解设方程的两根为修、小，

[x\+#=bcosA

-

由韦达定理得n，

[X\X2=4cosB

Vxi+%2=bcosA-acosB.

由正弦定理得：2Ksin8cos4=2Rsin4cosB,

sin4cosB-cos/sin8=0,sin(J-B)=0.

・・[、B为△4BC的内角，

0<A<n,0<5<7t,-n<A-B<n.

：.A-B=O,即4=8.故△48c为等腰三角形.

课时作业

1.D

2.B［由正弦定理知：照=鬻=黑,

/.tan力=tan5=tanC,=B=C.]

3.C[设b+c=4左，a+c=5k,a+h=6k(k>0),三式联立可求得a=*=c=1

：.a：6：c=7：5：3,

即sin4:sin8：sinC=7：5:3.]

4.A[由正弦定理:sinA=2sinBcosC,

/.sin(B+Q=2sinBcosC

sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

.,.sin(5-C)=0,：.B=C,]

5.C[设C为最大角，则4为最小角，则4+C=120。,

.£_sinC_sin(120。-4)_sin120°cosA-cos120%出A

**asin4sinAsinA

cosA1J_

=2,sin1+2=2+T

cosA

.\^-r=l.AtanJ=1,4=45。，C=75°.]

smJ」

6.2小

解析VcosC=1»/.sinC=

fbsinC=4小,:.b=2y[3.

7.千

解析tan力£(0,180°),sinA=

由正弦定理知熟:蔡，

cBCsinCIXsin150°VTb

・."8=F7—=-^—=2.

10

8.126

解析_____〃+〃+°_____=^!_=越7

sin4+sin8+sinCsinA事

2

•；SZ^BC=；absinC=^X6^3X12sinC=18s.

・.「1・Cain•r

..sinC=z,."7；=-_7=12,・・c=6.

2sinCsmA

八zrn上〒混…e八sin8b.cosAsinB

9.解由正弦定理知「7=—，・・---p=T—.

sinAacosBsinA

即sinAcosA=sinBcosB,:.sin2A=sin2B.

TT

又,：。手b、.\2A=7i-2B,即4+8=5.

是直角三角形,且090。,

a2+h2=102

由＜白_4，得。=6,Z?=8.

。3

”,1e八、】，〜、，a+h-c6+8-10

故内切圆的半径为尸=2=5=2・

B34

10.解因为cos8=2cos2万一1=不故8为锐角，sinB=§.

si©_。=述

所以sin4=sin（兀-B-C）=

10,

tzsinC10

由正弦定理得

CsinA7

所以S=^acsinB=^X2X-yX^=,1.

1.1.2余弦定理(一)

自主学习

c知识梳理

i.余弦定理

三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的

的余弦的积的.即/=,f=,

2.余弦定理的推论

cosA=；cosB=；cosC=.

3.在ZUBC中：

(2)若c2^a2+b2-ab,则C=；

(3)若=J+/+由"，则C=.

c自主探究

试用向量的数量积证明余弦定理.

对点讲练

知识点一已知三角形两边及夹角解三角形

【例1】在△/BC中，已知a=2,b=2市,C=15。，求4

总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，

而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手.

变式训练1在△Z8C中，边56的长是方程，-5x+2=0的两个根，C=60。，求边

知识点二已知三角形三边解三角形

【例2】已知三角形Z8C的三边长为a=3,6=4,c=病，求△/8C的最大内角.

总结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，的是钝角.

变式训练2在△Z8C中，已知8c=7,/C=8,AB=9,试求/C边上的中线长.

知识点三利用余弦定理判断三角形形状

［例3］在A4BC中，°、6、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(J+b2)sin(4

—8)=(/一/)sin(4+8),试判断该三角形的形状.

变式训练3在△Z8C中，sinZ:sin8：sinC=2：3：4,试判断三角形的形状.

⑥课堂小结

1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题

(1)已知两边和夹角，解三角形.

(2)已知三边求三角形的任意一角.

2.余弦定理与勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.

(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.

(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.

(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.

课时作业

一、选择题

1.在△N8C中，a=7,6=45，。=仃，则△42C的最小角为()

2.在中，已知a=2,则bcosC+ccos8等于（）

A.1B.V2C.2D.4

3.在△/8C中，已知*=ac且c=2o,则cos8等于（）

13

A-4B-4

4.在△力BC中，sin22=-^7(«'b、c分别为角/、B、C的对应边)，则△48C的形

状为()

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形

5.在△Z8C中，已知面积S=1(/+62-。2),则角C的度数为()

A.135°B.45°C.60°D.120°

二、填空题

6.三角形三边长分别为a,b,yja2+ab+b2(a>0,b>0),则最大角为.

7.在△力BC中，AB=2,AC=y[6,BC=l+小,工。为边BC上的高，则力。的长是

8.在△A8C中，BC=1,当△A8C的面积等于小时，tanC=.

三、解答题

9.在△48C中，BC=a,AC=h,且a,b是方程«—2小x+2=0的两根，2cos(J+S)

(1)求角C的度数；

(2)求48的长；

(3)求△/8C的面积.

10.在△/8C中，已知。-6=4,a+c=2b,且最大角为120。，求三边的长.

1.1.2余弦定理(一)

知识梳理

1.平方平方夹角两倍b2+c2-2bccosA

c2+a2~2cacosBah2—246cosC

川十3一JJ+J-.2J+y—，

2，2bc2calab

3.(1)90°(2)60°(3)135°

自主探究

证明

如图所示，设CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-b,

|c|2=cc=(a-b)(a-b)

=a-a+bb-2ab

=a2+ft2-2abeosC.

所以/=J+/-2abeosC.

同理可以证明：a2=b2+c2-2hccosA,h2=c2+d1-2cacosB.

对点讲练

【例1】解由余弦定理得

c2=a2+b2-2abeusC=8-4小,所以c=y[6-y[2,

由正弦定理得sinJ="S?C=

因为6>a,所以又・・・()ovZvl80。，AJ=30°.

变式训练1解由题意：。+6=5,ab=2.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abeosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3X2=19.c

V19.

【例2】解・・・c>4,c>6,・••角C最大.

由余弦定理，得c2=J+y—2"cosC,

即37=9+16-24cosC,cosC=一;，

V0°<C<180°,：.C=120°.

所以△48。的最大内角为120°.

变式训练2解由条件知：

加+3一/92+82_722

cos/=-2-ABAC_2X9X8=?

设中线长为x,由余弦定理知：

x=（当）2+4炉-2.当dBcosA

).2

=42+9-2X4X9X-=49,即X=7.

所以，4C边上的中线长为7.

【例31解«2[sin(J-B)-sin(J+B)]

=b2[-sin(J+B)-sin(4-8)],

:.2。2cos4sin8=262cosBsinA,

由正、余弦定理，即得a%"+±/=*

乙，U4L/C

・，・a2(h2+c2-a2)=ft2(a2+c2-h2),

即(J-b2)(c2-a-Z>2)=0,：.a=b或d=J+上

・・•该三角形为等腰三角形或直角三角形.

变式训练3解因为。：b：c=sin4：sin8：sinC

=2：3：4,

所以可令〃=2hb=3k,c=4k(k>0).

Qk)2+(3厅-(的2

c最大,cosC=2X2kX3k°

所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.

课时作业

1.B「..a>b>c,...C为最小角，由余弦定理cosC=；疝=黑;14/

里.\C=7.]

2o」

a2+b2-c2c2+a2-b22a

2.C[AcosC+ccosB=/)•----r--------+c----------=丁=a=2.]

Llablac2aJ

3.B[Vb2=ac,c=2a,b2=2a2,b=y12a,

J+C2一bd+qJ_2/3

/.cosB2ac2a-2a4」

..1-cosAc-bb\2+J_J

4.B[*.*sin^r=~cosA=~

L222cc-Ibc-

・・・/+/=/,符合勾股定理.]

5.B[\*5=^(a2+b2-c2)=^absinC

/.a2+b2-c2=2absinC,/.c2=a2+h2-2ahsinC.

由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,

sinC=cosC,.'.C=45°.]

6.120°

解析易知：7a2+ab+b'a,«a2+ab+心＞b,

设最大角为仇

a2+*d/+ab+/了1

则cos0=

labr

又ee(o。,180°),:.e=120°.

7,^/3

a…..8。2+/。2--炉啦

解析；cosC=2XBCXAC=2'

sinC=^..'.AD=AC-sinC=小.

8.一2小

解析限48。=/心抽8=小，二＜?=4.由余弦定理:

b2=a2+c2-2accos5=13,

a2+b2-c21

cosC==--7=,

2ab^/13

/.tanC=-y[l2=-2小.

1

9.解(1)VcosC=COS[TC-(A+B)]=-cos(4+3)=r

2兀

且CW(0,兀)，/.C=.

a+b=2小,

⑵•."，b是方程W-2小x+2=0的两根，，

ab=2.

.\AB2=+a2-2。6cos120°=(a+b)2-ab=10,

：.AB=yl\0.

(3)S△力8c=；absinC=；义2Xsin2Ky[3

T=2.

a-b=4=b+4

io.解由，a—2b，得

c=6-4

/.a>b>c,・••力=120°,Aa2=b2+c-2bccos120°,

即S+4)2=斤+(b-4)2-2b(b-4)x5

即b1-106=0,解得b=0(舍去)或b=10.

当6=10时，a=14,c=6.

1.1.2余弦定理（二）

自主学习

c知识梳理

1.在△ZBC中，边a、b、c所对的角分别为/、B、C,则有：

A~\~B

⑴力+6+C=,~Y~=.

(2)sin(Z+8)=,cos(力+8)=,tan(4+8)=.

A+BA+B

(3)sm-2-,cos_2--

2.正弦定理及其变形

“)sin力—sinsinC~--------*

(2)a=,b=,c=.

(3)sinA—,sinB—,sinC~~.

(4)sin4：sin8：sinC=____________.

3.余弦定理及其推论'

⑴/=.

(2)cosA=____________.

(3)在△N8C中，c2^a+b2<^C为；c2>a2+b2<^C为；c2<a2+b2^C为

「自主探究

在△ZBC中，已知两边及其中一边的对角，解三角形.一般情况下，先利用正弦定理

求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数.对于这一类问

题能否利用余弦定理来解三角形，请结合下面的例子加以探究.

例：在△/8C中，若N8=30。，AB=2事,AC=2,则满足条件的三角形有几个？

对点讲练

知识点一利用正、余弦定理证明三角恒等式

【例1】在△NBC中，求证：霜=声；―"：

tanbb-rc-a

总结证明三角恒等式关键是消除等号两端三甭函数式的差异.形式上一般有：左=右;

右=左或左=中0右三种.

变式训练1在△力8c中，°、b、c分别是角/、B、C的对边.

cos8c~~bcos4

求证：---

cosCk=7b----c--c-o--s--A7.

知识点二利用正、余弦定理判断三角形形状

【例2】在△/BC中，若5=60。，2b=a+c,试判断△/8C的形状.

总结题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦

定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.

变式训练2在△ZBC中，已知①+6+c)(6+c-〃)=36c,且sin/=2sinBcosC,试确

定△N8C的形状.

知识点三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题

【例3】在△Z8C中，a,b,c分别是角力,B,C的对边，cos8=g,目善•就'=-21.

(1)求△4BC的面积；

(2)若。=7,求角C.

总结这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找

到三角形的边角关系.

变式训练3ZUBC中，内角/、B、C的对边分别为。、b、c,已知后=改且cosB=

3

4,

⑴求春+康的值；

（2）设放=5，求a+c的值.

⑥课堂小结

1解斜二急形的常•用举刑及解注

在三角麻6个元素中要已知三个（至少有一边）才能求解，常见类型及其解法见下表:

已知条件应用定理一般解法

由4+8+C=180。，求角力；由正弦定理求出6与c.在有解时

一边和两角（如a,B,

正弦定理只有一解.

O

两边和夹角（如a,b,余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由

Q正弦定理Z+8+C=180。求出另一角.在有解时只有一解.

由余弦定理求出角力、B;再利用/+B+C=180。，求出角C

三边(a,b,c)余弦定理在有解时只有一解.

两边和其中一边的正弦定理由正弦定理求出角8;由/+8+C=180。，求出角C；再利用

对角如3，b,A）余弦定理正弦定理或余弦定理求C.可有两解、一解或无解.

2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径

（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.

课时作业

一、选择题

1.在△/8C中，若2cos8sin/=sinC,则△ZBC的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

2.在△Z8C中，若b2=q2+c2+qc,则8等于（）

A.60°B.45°或135°C.120°D.30°

3.△18c的三边分别为a,b,c且满足2b=“+c,则此三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

4.在△/BC中，若J=bc,则角力是（）

A.锐角B.钝角C.直角D.60°

5.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加的长度确定

二、填空题

6.已知△NBC的面积为2巾，BC=5,A=6Q°,则△Z8C的周长是.

7.在AZBC中，若1g。一lgc=lgsin/=-1成，并且/为锐角，则△N8C为

三角形.

8.设2a+l,42。-1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是

三、解答题