控制 系统的稳定性

控制系统的稳定性第一页，共五十八页，2022年，8月28日由上例可知：(1)线性系统不稳定现象发生与否,取决于系统内部条件，而与输入无关。(2)系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。(3)控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性,也就是说,是讨论输入为零,系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性。第二页，共五十八页，2022年，8月28日(二)稳定的定义和条件1.稳定的定义:

设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它在瞬间受到某一扰动而偏离了原有的平衡状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反之，则称为不稳定。如图所示。图5.1.2稳定与不稳定系统的响应曲线稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本身的结构和参数。第三页，共五十八页，2022年，8月28日2、稳定的充要条件:

系统的全部特征根都具有负实部。即系统传递函数的全部极点均位于[s]平面的左半平面，系统则稳定。

若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部,则系统必不稳定。第四页，共五十八页，2022年，8月28日第二节Routh(劳斯)稳定判据(一)系统稳定的必要条件设系统特征方程为:系统稳定的必要条件:

ai>0且ai≠0(i=0,1,…,n)第五页，共五十八页，2022年，8月28日例1：(1)

(2)

(3)一项为负，不稳定。满足必要条件，可能稳定。ai>0且ai≠0(i=0,1,…,n)缺项，不稳定。第六页，共五十八页，2022年，8月28日(二)系统稳定的充要条件1.Routh表第七页，共五十八页，2022年，8月28日2、Routh稳定判据

（1）若劳斯表中第一列的系数均为正值,则系统稳定。（2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。第八页，共五十八页，2022年，8月28日例2、系统的特征方程为:D(s)=s4+s3–19s2+11s+30=0s41–1930s31110

s2[1×(-19)–1×11]/1=–30300s1[(–30)×11–1×30]/(–30)=1200s03000由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。第九页，共五十八页，2022年，8月28日例3：Routh表S4282S3230S20

S100S02

00

注意:在展开的Routh表中，可用一个正整数去除或乘某一整个行而不改变稳定性结论。第十页，共五十八页，2022年，8月28日例4S41820S35160S2200S100

S02000第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。第十一页，共五十八页，2022年，8月28日例5已知系统的特征方程为求系统稳定的K值范围欲使系统稳定则应满足解不等式组得：第十二页，共五十八页，2022年，8月28日二阶、三阶系统的Routh稳定判据:(1)二阶系统(n=2)稳定的充要条件为:ai>0且ai≠0(3)三阶系统(n=3)稳定的充要条件为:

ai>0,a1a2>a0a3且ai≠0

s2a2a0s3a3a10s1a10s2a2a00s0a00s1A1=[a1a2-a0a3]/a200s0a000

D(s)=a3s3+a2s2

+a1s+a0=0D(s)=a2s2

+a1s+a0=0第十三页，共五十八页，2022年，8月28日(三)Routh判据的特殊情况

排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：1）劳斯表中某一行的第一项等于零，而该行的其余各项不全为零。解决的办法是以一个很小的正数ε来代替为零的这项。然后完成劳斯表的排列。如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于该方程在S平面右半面上根的数目。结论：第十四页，共五十八页，2022年，8月28日特殊情况（1）

Routh表第一列出现零元素例6S5121S4241S301/20S210S11/200S0100系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。第十五页，共五十八页，2022年，8月28日例7已知系统的特征方程为试判别相应系统的稳定性解：列劳斯表方程中有对虚根，系统不稳定。，第十六页，共五十八页，2022年，8月28日2）、如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程导数的系数组成Routh表的下一行。这种情况，则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这些根可以通过求解这个辅助方程式得到。第十七页，共五十八页，2022年，8月28日特殊情况

（2）Routh表中某一行全为零例8S61694S51540S41540S3S22.5400S13.6000S040000000

41000辅助方程某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令F(s)=s4+5s2+4=0，求得两对大小相等、符号相反的根：±j2、±j1；显然这个系统处于临界稳定状态。第十八页，共五十八页，2022年，8月28日例9S6182016S5212160S4212160S3S23800S11/3000S080000000

41200辅助方程某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令F(s)=s4+6s2+8=0，求得两对大小相等、符号相反的根：，显然这个系统处于临界稳定状态。第十九页，共五十八页，2022年，8月28日例10特征方程G(s)+－Xi(s)Xo(s)S312S23kS10S0k0为稳定条件确定K的稳定范围。解：第二十页，共五十八页，2022年，8月28日第三节Nyquist稳定判据(一)幅角原理设有一复变函数若在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映射曲线LF也是一封闭曲线。当s按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将以原点为中心顺时针旋转N周。若令Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围于Ls内的F(s)的极点数，则

N=Z-P第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日(二)Nyquist稳定判据1、F(s)与GK(s),GB(s)零点和极点的关系

设系统的开环传递函数为：系统的闭环传递函数特征方程为：令第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日GB(s)F(s)GK(s)

零点极点

零点极点零点极点

相同

相同

原来系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点均须具有负实部,现在却变为F(s)的全部零点须具有负实部，即F(s)在[s]右半平面无零点。第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日函数F(s)具有下列特点:(1)它的零点即系统闭环传递函数GB(s)的极点,它的极点即系统开环传递函数GK(s)的极点;(2)[GH]平面上的(-1,j0)点就是[F]平面上的原点。

所以在[GH]平面上包围点(-1,j0)的圈数N，就等于在[F]平面上LF包围原点的圈数N。第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日1、幅角原理:F(s)将以原点为中心顺时针旋转N周。N=Z-P2、系统稳定的充要条件:F(s)在[s]右半平面无零点。即Z=0

选择一条包围整个[s]右半平面的封闭曲线Ls。3、[GH]平面上的(-1,j0)点，就是[F]平面上的原点。

N=Z－P=－P即在[GH]平面上的开环频率特性逆时针包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日2、Nyquist稳定判据：当ω由-∞到+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性不包含（-1，j0）点。第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日用Nyquist判据判别闭环系统稳定性的步骤:1、确定P为多少？2、作出开环Nyquist曲线，以回答N等于多少？3、确定Z是否为零？Z=N+P

若Z=0，表示闭环系统稳定；若Z≠0，表示闭环系统不稳定。其中,P----开环系统在右半平面的极点数。

N----当ω由-∞到+∞时，开环Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数。

Z----包围于Ls内的F(s)的零点数，即闭环系统在右半平面的极点数。第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日例1(a)P=0、N=0、Z=N+P=0系统稳定(b)P=0、N=2、Z=N+P=2系统不稳定

第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日例2P=1(由GK(s)表达式)开环频率特性逆时针包围(-1，j0)点1圈,闭环稳定。P=1、N=－1、Z=N+P=0系统稳定。第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日习题第三十页，共五十八页，2022年，8月28日(三)开环含有积分环节时的Nyquist轨迹开环系统含有积分环节时，Z=N+P=0不变，只须将Nyquist曲线顺时针补充半径为∞，角度为的大圆弧。第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日P=1、N=-1Z=N+P=0、系统稳定例3第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日P=0、N=2Z=N+P=2、不稳定例4第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日(五)Nyquist判据应用举例

P

=0(由GK(s)表达式)例5开环频率特性不包含（-1，j0）点

,故系统稳定。第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日例6

P

=0若包含(-1，j0)点,

则系统不稳定;若不包含(-1，j0)点,

系统稳定。第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日例7积分环节ν=1不包含(-1，j0)点,

系统稳定。P

=0第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日例8P

=0若包含(-1，j0)点,

则系统不稳定;若不包含(-1，j0)点,则系统稳定。第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日例9P

=0第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日习题第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日例10、设系统开环Nyquist曲线如图所示。已知P=0，

v=3，判断闭环系统的稳定性。N=0Z=N+P=0所以系统稳定第四十页，共五十八页，2022年，8月28日(六)具有延时环节的系统稳定性分析具有延时环节的系统开环传递函数

延时环节不改变原系统的幅频特性，仅仅使相频发生变化。第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日例如当系统处于临界稳定状态时，有解出τ=1.15当τ<1.15时,闭环系统稳定,当τ>1.15时,闭环系统不稳定。第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日习题：试确定K的稳定范围。第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日Nyquist稳定判据小结：1、利用系统的开环Nyquist曲线来判断闭环系统的稳定性。2、闭环系统稳定的充要条件是

Z=N+P=0

其中,Z----闭环系统在右半平面的极点数。

P----开环系统在右半平面的极点数。

N----当ω由-∞到+∞时，开环Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数。讨论：1、开环系统稳定（P=0），则闭环系统稳定的充要条件是N=0，即开环Nyquist曲线不包围（-1，j0）点；

2、开环系统不稳定（P≠0），则闭环系统稳定的充要条件是N=－P，即开环Nyquist曲线逆时针方向包围（-1，j0）点P圈；

3、开环系统含有积分环节时，Z=N+P=0不变，只须将Nyquist曲线

顺时针补充半径为∞，角度为的大圆弧。

第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日

习题．设系统开环Nyquist曲线如图所示。已知在s平面的右半平面开环极点数为2，试判断闭环系统的稳定性。解：(a)N=0P=2Z=N+P=2系统不稳定

(b)N=2P=2Z=N+P=4系统不稳定

(c)N=-2P=2Z=N+P=0系统稳定第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日第四节Bode稳定判据(一)Nyquist图和Bode图的对应关系:

(1)Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的0分贝线,即对数幅频特性的横轴，而单位圆之外对应于0分贝线之上，单位圆之内对应于0分贝线之下。

(2)Nyquist图上的负实轴相当于Bode图上的-180°线,即对数相频特性的横轴。

第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日ωc

----Nyquist轨迹与单位圆交点的频率,即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率,称为剪切频率(或幅值穿越频率、幅值交界频率)。ωg

----Nyquist轨迹与负实轴交点的频率,即对数相频特性曲线与横轴交点的频率,称为相位穿越频率(或相位交界频率)。

第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日(二)穿越的概念在Nyquist图上:穿越:开环Nyquist轨迹在(-1,j0)点以左穿过负实轴。正穿越:开环Nyquist轨迹沿ω增加方向,自上而下穿过(-1,j0)点以左的负实轴。负穿越:开环Nyquist轨迹沿ω增加方向,自下而上穿过(-1,j0)点以左的负实轴。半次正穿越:开环Nyquist轨迹沿ω增加方向,自(-1,j0)点以左的负实轴开始向下。半次负穿越:开环Nyquist轨迹沿ω增加方向,自(-1,j0)点以左的负实轴开始向上。第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日

正穿越一次，对应于Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点一圈；负穿越一次，对应于Nyquist轨迹顺时针包围（-1，j0）点一圈。因此，开环Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点的次数就等于正穿越和负穿越次数之差。第四十九页，共五十八页，2022年，8月28日在Bode图上:正穿越:在开环对数幅频特性为正值的频率范围内,对数相频特性曲线沿ω

增加方向,自下而上穿过–180°线。负穿越:在开环对数幅频特性为正值的频率范围内,对数相频特性曲线沿ω