数学物理方法期末试题A 答案和评分标准

06级数学物理方法期末考试试卷（A卷）参考答案和评分标准一、填空题（每小题5分，共40分。）1、2、通过振动方程求出通解，该通解中含有任意函数，然后通过初始条件来确定函数的形式，就得到达朗贝尔公式。对于无限长弦振动问题，只需将初始位移可得到满足初始条件的解。和初始速度的函数形式代入达朗贝尔公式，就3、4、5、6、7、8、，或，物理问题：一根长为的均匀杆，上端处固定在电梯天花板，杆身竖直，下端处挂着一个质量为的物体。初始时电梯静止，随后电梯以重力加速度下降，求解杆的纵振动。杆的自身重力忽略不计。二、（20分）解：设分离变量形式的解代入泛定方程及边界条件，得求解为本征值问题，其解为将本征值代入所以，有的方程并求解，得由初始条件，得，可得，，最终解得分离变量试探解；的方程；边界条件；；的取值(4分)(3分)的方程(4分)本征值问题；非本征值问题解一般解(3分)定系数(4分)解式(2分)三、（20分）解法一：傅里叶级数法利用傅里叶级数法求解，相应齐次方程本征值问题的解按照本征函数系将所求的解展开为代入泛定方程，有代入边界条件，有求解得最终得或相应其次方程本征值问题的解(4分)未知解按本征函数族展开(2分)代入方程和初始条件，得到的方程及初始条件(6分)的求解(6分)解式(2分)解法二：冲量定理法利用冲量定理法求解，，其中满足设分离变量形式的解本征值问题的解为非本征值问题解为则代入初始条件，得,于是有则冲量定理表述(4分)的求解(12分)的解(4分)解法三：特解法选择适当的，使其满足非齐次方程和齐次边界条件，即取的分离变量形式代入的方程和边界条件，得求解得代入边界条件，，得，则令则的定解问题为的通解为代入初始条件定系数，得又，所以，有因此，有综合起来，有若进一步将按函数族展开，即其中展开系数则特解法表述(2分)的求解(8分)的求解(8分)的解(2分)四、（20分）解：这里设，，易得是方程的常点。则代入方程，合并同幂项，令各幂次的系数为零，得递推公式：即，，，…，，…，得级数解和的收敛半径分别为，，时，时，退化为多项式退化为多项式判断常点及解的一般形式(4分)递推公式(4分)、(5分)、及其收敛半径(2分)退化为多项式(5分)05级数学物理方法期末考试试卷（A卷）参考答案和评分标准一、填空题（每小题6分，共30分。）1、2、0，3、4、5、二、（20分）求解热传导方程定解问题解：设分离变量形式的解代入泛定方程及边界条件，得求解为本征值问题，其解为将本征值代入所以，有的方程并求解，得由初始条件，得，，最终解得分离变量的方程;边界条件;的方程(3分)本征值问题;;的取值(5分)(3分)非本征值问题解一般解(3分)定系数(3分)解式(3分)三、（20分）在圆形区域内求解，使之满足边界条件。解：取极坐标系，定解问题为设分离变量形式的解代入拉普拉斯方程及周期性条件，得求解为本征值问题，其解为将本征值代入所以，有的方程并求解，得根据根据的边界条件，有，，的边界条件，有得，，，最终得定解问题(4分)分离变量的方程;自然周期性条件;的取值(3分)的方程(3分)本征值问题;;特解(4分)一般解(2分)定系数(2分)解式(2分)四、（20分）长为的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力，初始位移为，初始速度为零，求解杆的纵振动。解：该定解问题为解法一：傅里叶级数法相应齐次方程本征值问题的解按照本征函数系将所求的解展开为代入泛定方程，有代入边界条件，有求解得最终得定解问题(4分)按本征函数组的展开(4分)的方程及初始条件(6分)的求解(4分)解式(2分)解法二：冲量定理法令利用冲量定理法求解，，其中满足设分离变量形式的解本征值问题的解为非本征值问题解为则代入初始条件，得,则用分离变量法求解综上所述，有，得分解成两个定解问题(4分)求解：冲量定理表述(2分)的求解(4分)的解(4分)求解(4分)解式(2分)五、（10分）长为的柔软均质轻绳，一端固定在以匀速转动的竖直轴上。由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。设初始位移为定解问题为，初始速度为零，求解此弦相对于水平线的横振动。该，①将上述定解问题中的泛定方程分离变数。②在①的基础上，写出相应的本征值问题并求解。装订线（提示：阶勒让德方程为或）③在②的基础上，求出该定解问题的解。解：①设代入泛定方程，有两端除以并移项，得方程两边分别是关于时间和空间的函数，要使等号成立要求两边等于某个常数，即于是分离出两个方程②相应的本征值问题为设记，则方程化为，则上述方程与勒让德方程完全相同。利用级数解法可求得勒让德方程的解其中考虑边界条件，有，即考虑自然边界条件，则截断为多项式，即，且。因此，本征值问题的解为③将本征值代入非本征值问题得其中。特征解为通解为代入初始条件，有，则系数，于是，有①(3分)②(5分)③(2分)03级数学物理方法期末考试试卷（A卷）参考答案和评分标准一、解：设分离变量形式的解代入泛定方程及边界条件，得求解为本征值问题，其解为将本征值代入的方程并求解，得所以，有由初始条件，得，，，最终解得分离变量的方程;边界条件;;;的取值(6分)(4分)的方程(6分)本征值问题特解;一般解(2分)定系数(5分)解式(2分)二、解：这里，，易得是方程的常点。设则代入方程，合并同幂项，令各幂次的系数为零，得递推公式：即