2018年数学二轮复习课时跟踪检测（十）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精8-学必求其心得，业必贵于专精PAGE课时跟踪检测(十)1．（2018届高三·西安八校联考）如图，AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC＝30°，AC⊥BM，且BM交AC于点M，EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE＝3，AC＝4，CF＝1。(1）证明：BF⊥EM；(2）求三棱锥B.EFM的体积．解:（1）证明：∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥BM,又BM⊥AC，AC∩EA＝A,∴BM⊥平面ACFE，∴BM⊥EM. ①∵CF∥AE,∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AC,∴FM＝eq\r（MC2＋FC2）＝eq\r(2)，又EM＝eq\r（AE2＋AM2)＝3eq\r(2)，EF＝eq\r(42＋22）＝2eq\r（5），∴FM2＋EM2＝EF2，∴EM⊥FM. ②由①②并结合FM∩BM＝M，得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF。(2）由(1)知EM⊥平面BMF，∴VB。EFM＝VE。BMF＝eq\f（1,3）×S△BMF×EM＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（eq\f（1,2）×eq\r(2)×eq\r(3）)）×3eq\r(2)＝eq\r（3).2．(2017·宝鸡质检）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2,又AC＝1,∠ACB＝120°，AB⊥PC，AM＝2。（1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2）求三棱锥P。MAC的体积．解：（1)证明：由∠PCB＝90°得PC⊥CB。又AB⊥PC,AB∩CB＝B，所以PC⊥平面ABC。又PC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.(2)在平面PCBM内，过点M作MN⊥BC交BC于点N,连接AN,则CN＝PM＝1，又PM∥BC，所以四边形PMNC为平行四边形,所以PC∥MN且PC＝MN，由（1）得PC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC，在△ACN中，AN2＝AC2＋CN2－2AC·CNcos120°＝3，即AN＝eq\r(3）。又AM＝2，所以在Rt△AMN中，MN＝1,所以PC＝MN＝1.在平面ABC内，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，则AH⊥平面PMC，因为AC＝CN＝1，∠ACB＝120°,所以∠ANC＝30°.所以在Rt△AHN中，AH＝eq\f（1，2）AN＝eq\f（\r（3),2），而S△PMC＝eq\f(1，2）×1×1＝eq\f（1,2),所以VP­MAC＝VA­PMC＝eq\f（1，3)×S△PMC×AH＝eq\f（1,3）×eq\f（1,2）×eq\f（\r(3）,2）＝eq\f(\r(3)，12)。3．（2017·云南检测）如图，在四棱锥P。ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a,AC＝2eq\r（3）a，E是PA的中点．(1）求证：平面BED⊥平面PAC；（2)求点E到平面PBC的距离．解：(1)证明:在平行四边形ABCD中，AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC。∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD。又PC∩AC＝C,∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面PAC.(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图．在△PCA中，易知O为AC的中点，又E为PA的中点，∴EO∥PC.∵PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC,∴EO∥平面PBC。∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离．∵PC⊥平面ABCD，PC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，且两平面的交线为BC。在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H，则OH⊥平面PBC。在Rt△BOC中,BC＝2a,OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)a,∴OB＝a.由S△BOC＝eq\f（1，2)OC·OB＝eq\f(1，2）BC·OH，得OH＝eq\f（OB·OC，BC）＝eq\f（a·\r（3）a，2a）＝eq\f（\r(3）,2）a。∴点E到平面PBC的距离为eq\f（\r（3)，2）a。4．（2017·郑州模拟)如图，已知四棱锥S。ABCD，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC＝2AB＝4，BC＝2AD＝2CD＝2eq\r（5)，M是SD上任意一点,eq\o（SM，\s\up7(→)）＝meq\o(MD,\s\up7(→）)，且m>0.(1）求证：平面SAB⊥平面MAC；（2)试确定m的值，使三棱锥S。ABC的体积为三棱锥S­MAC体积的3倍．解：（1)证明：在△ABC中，由于AB＝2，AC＝4,BC＝2eq\r（5），∴AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB,AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC⊂平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC.（2）VS.MAC＝VM­SAC＝eq\f（m,m＋1)VD­SAC＝eq\f(m，m＋1）VS。ACD，∴eq\f（VS.ABC，VS­MAC）＝eq\f（m＋1,m)·eq\f（VS。ABC,VS­ACD）＝eq\f(m＋1，m)·eq\f（S△ABC,S△ACD)＝eq\f(m＋1，m)·2＝3，∴m＝2，即当m＝2时,三棱锥S.ABC的体积为三棱锥S­MAC体积的3倍．5．(2017·石家庄质检）如图,在三棱柱ABC。DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝eq\f（π，3)，BC＝eq\f(\r（21),2）。点F在平面ABED内的正投影为G，且点G在AE上，FG＝eq\r(3），点M在线段CF上，且CM＝eq\f（1，4）CF.(1)证明：直线GM∥平面DEF；(2)求三棱锥M.DEF的体积．解：(1)证明：∵点F在平面ABED内的正投影为G,∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE，又BC＝eq\f(\r（21）,2）＝EF,FG＝eq\r（3），∴GE＝eq\f(3，2)。∵四边形ABED是边长为2的菱形,且∠ABE＝eq\f（π，3）,∴AE＝2，∴AG＝eq\f（1,2)。如图，过点G作GH∥AD交DE于点H,连接FH。则eq\f（GH,AD）＝eq\f（GE，AE)，∴GH＝eq\f（3，2)，由CM＝eq\f（1，4）CF得MF＝eq\f（3,2)＝GH。∵GH∥AD∥MF，∴四边形GHFM为平行四边形,∴GM∥FH.又GM⊄平面DEF,FH⊂平面DEF，∴GM∥平面DEF。（2）由（1）知GM∥平面DEF，连接GD，则有VM­DEF＝VG。DEF。又VG。DEF＝VF。DEG＝eq\f（1,3）FG·S△