2018版高中数学小问题集中营专题4.3三角函数的值域与最值

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精专题三三角函数的值域与最值一、问题的提出【2017课标II理14】函数（）的最大值是;该题可以运用同角三角函数平方关系进行消元，再转化为复合型二次函数来解决.三角函数的值域与最值是三角函数的重要性质,也是高考数学中经常涉及的问题.它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高，是教学中的一个难点。解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最值一样,一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等）,另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.本专题就来探讨求三角函数最值的一些基本方法二、问题的探源本题的解法：化简三角函数的解析式：，，由自变量的范围:可得：，当时，函数取得最大值1。三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域,也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的值域;或化为关于sinx(或cosx）的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．求三角函数的值域(最值）时,代数中求值域（最值）的方法均适用,如配方法（注意三角函数的取值范围)、换元法（注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．这里特别提醒以下几种方法：（1）对于形如y＝Asin(ωx＋φ）＋b(或y＝Acos（ωx＋φ)＋b),可利用弦函数的有界性求值域或最值；若x范围给定可直接求出ωx＋φ的范围,然后根据单调性求解；（2)对于形如，可借助于二倍角公式及辅助角公式,化为形式，再借助弦函数有界性求解;(3）对于形如的函数可通过配方法求值域；(4)含有的函数可通过换元求解.三、问题的佐证一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,切它们次数是2时,一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。【例1】函数的最小值为（）.A．2B。0C.D。6【例2】求函数y=5sinx+cos2x的最值【分析】观察三角函数名和角，其中一个为正弦,一个为余弦，角分别是单角和倍角,所以先化简,使三角函数的名和角达到统一。【解析】二引入辅助角法【例3】设当时，函数取得最大值，则（）A。B。C。D.【解析】利用辅助角公式可得：，其中:，当函数取得最大值时：，则:。本题选择C选项。三利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征-—有界性,利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。【例4】若向量，且则的最小值为________．【例5】求函数的值域【分析】此为型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为，可直接得到：或解法一：原函数变形为或四换元法对于表达式中同时含有sinx+cosx,与sinxcosx的函数,运用关系式一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.【例6】求函数的值域.【解析】令sinx+cosx=t，则，其中所以，故值域为.五利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值,要合理的拆添项，凑常数,同时要注意等号成立的条件,否则会陷入误区.【例7】已知中，，则的最大值是(）A.B。C。D.六数形结合由于,所以从图形考虑,点(cosx，sinx）在单位圆上,这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得.【例8】求函数的最小值。【解析】法一：将表达式改写成y可看成连接两点A(2，0）与点（cosx，sinx）的直线的斜率。由于点（cosx,sinx）的轨迹是单位圆的上半圆(如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点A的切线与半圆相切与点B,则可求得所以y的最小值为（此时）。法二:该题也可利用关系式asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。四、问题的解决1．函数的最大值为（)A.B.C.D.2【答案】A 【解析】由题意，得；故选A.2.将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图像上，则（）。A.，的最小值为B。,的最小值为C。，的最小值为D。，的最小值为【答案】A【解析】解法一(排除法）：由点在函数的图像上，可得,这样就可排除选项B,D。进而可得点。又点位于函数的图像上，所以①由此可排除选项C。故选A.解法二：由①可得,Z），Z）。再由，可得的最小值为.故选A.3．在锐角中，角的对边分别为，若,，则的取值范围（）A.B。C。D.【答案】B【解析】由题意可得：，,,，,，故选B4.已知函数图象的一条对称轴是，且当时,函数取得最大值,则．【答案】15．的三个内角为,若，则的最大值为__________．【答案】【解析】，,故的最大值为，故答案为。6。函数y＝eq\f（cosx－2，cosx－1)的最小值为__________．．【答案】eq\f(3，2).【解析】解法一：∵y＝eq\f(cosx－2,cosx－1）＝eq\f（cosx－1－1，cosx－1)＝1＋eq\f(1,1－cosx)，∴当cosx＝－1时,ymin＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3，2).解法二：由y＝eq\f(cosx－2,cosx－1),得cosx＝eq\f(y－2,y－1),又∵－1≤cosx＜1，∴－1≤eq\f(y－2，y－1）＜1。∴y≥eq\f(3，2）。∴函数的最小值为eq\f(3，2）.7．已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围。【答案】（1）最大值为，最小值为，；（2）.8．设三个内角的对边分别为，的面积满足。（1)求角的值；(2）求的取值范围.【答案】（1)；(2）。【解析】（1）,，.（2)或者，，，因为,所以,,所以.9。设，用a表示f（x）的最大值M（a).【答案】见解析【解析】令sinx=t,则当,即在［0，1]上递增,当即时，在[0，1]上先增后减，当即在[0,1]上递减，10．在中，,，分别为内角，，的对边,且，，成等比数列．