含2套高考模拟题高中数学第一章集合与函数概念小结2预习案新人教A版必修1

第■■合与函数喻J结㈡

【教学目标】

1.知识与技能

复习函数知识要点、数学思想、方法，构建知识要点结构网络，将零散的知识方法能够用网络的形式进

行归类整理。让学生学会复习与总结的方法；

2.过程与方法

通过函数知识的疏理，建立函数知识要点网络.

3.情感.、态度、价值观

培养学生复习的方法，提高学生的学习能力。

【知识回顾】

1.构建函数概念及其性质知识要点网络

2.写出下列知识要点并熟记

(1)简述函数的定义：

①函数的三要素：

②函数的三种表示方法：

(2)增(减)函数定义：

①单调区间：

②单调函数图象特征：1)增函数；2)减函数.

(3)最大(，、)值：

(4)奇(偶)函数定义：

图象特征：1)奇函数；2)减函数.

(5)简述映射的定义:

3..归纳数学方法

(1)求函数解析式的常用方法有那些?

(2)求函数的定义域要注意那些方面？

(3)如何求分段函数的最大值？

【自主检测】

1.函数f(x)=x?-2x+3在［0,m］上的最大值为3,最小值为2,则m的取值范围是.

2.设.函数f(x)若f(_4)=f(0),f(—2)=—2,则的方程f(x)=x的解的个数为

［乙X/U

3.函数ya9V—厂1的最小值为，最大值为.；值域为.

【组内互检】

1.知识要点记忆；

2.函数解析式的常用方法；

3.求分段函数的最大值的方法。

2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知抛物线V=4x的焦点为F,P为抛物线上一点，当APAF周长最小时，PF所在直线

的斜率为（）

43

A.一B.-----C.-D.

34

【答案】A

【解析】

【分析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可.

【详解】

结合题意，绘制图像

要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN,所以

（1

PR+PA=PA+PN2AN2AG,故当点P运动到M点处,三角形周长最小,故此时M的坐标为-,1

14

1-0_4

所以斜率为"=厂=一5,故选A.

-----1

4

【点睛】

本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等.

2.已知随机变量X的分布列是

X123

£]_

Pa

23

则E(2X+a)=()

57723

A.一B.—c.一D.—

3326

【答案】C

【解析】

【分析】

利用分布列求出a,求出期望E（x）,再利用期望的性质可求得结果.

【详解】

由分布列的性质可得1+：+a=l,得a=J,所以，E（X）=lxl+2xl+3xi=1,

236'，2363

（1A1517

因此，E（2X+a）=E2X+—=2E（X）+—=2x—+—.

、6）6362

故选：c.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查.

3.已知集合人={1,3,5,7},3={2,3,4,5},则AB=

A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{123,4,5,7}

【答案】C

【解析】

分析：根据集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5}可直接求解A8={3,5}.

详解：A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},

AcB={3,5},

故选C

点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的

集合化为最简形式，如果是"离散型"集合可采用Venn图法解决，若是"连续型"集合则可借助不等式进行

运算.

4.已知甲盒子中有相个红球，〃个蓝球，乙盒子中有机-1个红球，〃+1个蓝球（机23,”23）,同时从

甲乙两个盒子中取出迨=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为

p,C=l,2).(b)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为。。=1,2).则()

A.月£©)<£©)B.PI(P2，E&》E&)

c.月>“2,£©)>£©)D.Pi<.2,E©)<£©)

【答案】A

【解析】

分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小,

再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.

详解：根据题意有，如果交换一个球，

有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，

红球的个数就会出现加，m-1,加+1三种情况；

如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换

两红、一蓝一红换亮蓝，

对应的红球的个数就是“一2,机一1,利,6+1,机+2五种情况，所以分析可以求得月>0,石©)<£e2)，

故选A.

点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件

弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.

5.设(7=log23,b=log46,c=54i，则()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较a,b,再由中间值1可得三者的大小关

系.

【详解】

a=log23G(1,2),b=log46=log276G(1,log23),0=5-°'e(0,l),因此a>b>c,故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

6.已知双曲线I-4=l（a>0,b>0）的左焦点为尸，直线/经过点尸且与双曲线的一条渐近线垂直，直

a~b~

线/与双曲线的左支交于不同的两点A,B,若AF=2F3,则该双曲线的离心率为（）.

A.典B.亚C."D.6

323

【答案】A

【解析】

【分析】

直线/的方程为x=2y-c,令“=1和双曲线方程联立，再由AF=2EB得到两交点坐标纵坐标关系进

a

行求解即可.

【详解】

b

由题意可知直线1的方程为X=-y-c，不妨设«=1.

a

贝！Jx=/?y-c,且82=/一1

2

将x=b—C代入双曲线方程尤2_2r=］中，得到伊-1）V_2/。+/=0

设4（石,乂）,8（孙％）

前2氏/

2b%

M-1

由AE=2E5，可得X=-2%，故，

b4

则8b，2=l—"，解得/?2=(

则C-yjb2+1--

3

所以双曲线离心率e=£=巫

a3

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于

一般性题目.

7.已知f(x)=上，是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-xZ)的解集为()

e"+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

【答案】C

【解析】

【分析】

由奇函数的性质可得。=1,进而可知/(X)在R上为增函数，转化条件得x-3<9-V，解一元二次不等

式即可得解.

【详解】

因为=是定义在R上的奇函数，所以/⑴+〃-1)=0,

1-1

P_10”_[9

即——+T—=0,解得4=1,即〃x)=±」=l一一—,

e+al+a八'e'+le、+l

e

易知/(x)在R上为增函数.

又/(x—3)</(9-所以x_3<9——解得—4<X<3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

8.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，

最大面的面积为()

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

聘ACAB

P-ABC.S=S"=W^，5岫4c=厄，SM/）C=2,故最大面的面积为夜.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

9.已知函数的定义域为[0,2],则函数g（x）=f（2x）+麻工7的定义域为（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

【答案】A

【解析】

0<2x<2

试题分析：由题意，得｛Q.,解得OKxKl,故选A.

o-2OL2（NJ

考点：函数的定义域.

10.在A4BC中，M是的中点，AM=\,点P在AM上且满足=，则+等

于（）

4444

A.—B.----C.—D.----

9933

【答案】B

【解析】

【分析】

由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足AP=2PM可得：P是三角形ABC

的重心，根据重心的性质，即可求解.

【详解】

解：；M是BC的中点，知AM是BC边上的中线,

又由点P在AM上且满足AP=2PM

，P是三角形ABC的重心

APA-^PB+PC）

=PAAP=-|"2

XVAM=1

故选B.

【点睛】

判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点.②性质：PA+PB+PC=O

或AP+BP+CP?取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数.

21

11.如图，在A4BC中，AN=^NC,P是BN上一点,若AP=fAB+]AC,则实数f的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

2

由题意，可根据向量运算法则得到AP=g〃?AC+(1-m)AB，从而由向量分解的唯一性得出关于t

的方程，求出t的值.

【详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN^AB+m^AN-AB^=mAN+(1-m)AB,

222

又，AN=-NC9所以AN=yAC,：.AP=-mAC+(1-m)43,

I\—m=t

又AP=tA3+《AC,所以21，解得m=＜，t=J,

3—m--66

153

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

12.阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、

牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是"圆柱内切球体的体积是

圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他

的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地,四周碰边，表面积为54万的圆柱的底面

直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()

|g|ii

64乃

A.4乃B.164C.36%D.-----

3

【答案】C

【解析】

【分析】

设球的半径为R,根据组合体的关系,圆柱的表面积为S=24k2+2兀Rx2〃=54"，解得球的半径

R=3,再代入球的体积公式求解.

【详解】

设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=27rA2+2兀Rx2A=54%，

解得R=3,

所以该球的体积为/=-71^=士x万x33=36万.

33

故选：C

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到

大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以

2人一组或者3人一组.如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，贝!J3人角色相同或者3人为级别

连续的3个不同角色.已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人,现在新加入1名

学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为.

【答案】9

【解析】

【分析】

对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得

出结论.

【详解】

依题意，14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组.

①若新加入的学生是士兵，则可以将这14个人分组如下；3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团

长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可

以是司令；

②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；连长、营长、团长各1名；旅长、师

长、军长各1名；3名司令；2名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；

③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长各1名；连长、

营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也

可以是师长；

④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；营长、团

长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可

以是旅长；

⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师

长、军长各1名；3名司令；2名团长.所以新加入的学生可以是团长.

综上所述，新加入学生可以扮演9种角色.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.

14.(4一23)5。—C)的展开式中，a302c的系数是.

【答案】-40

【解析】

【分析】

先将原式展开成23):发现(a-20)5中不含//c，故只研究后面一项即可得解

【详解】

(a-2A>)5(1-c)=(a-2/?)5-c(a—28)’，

依题意，只需求—c-(a-295中a302c的系数，是—C，(—2)2=—40.

故答案为：-40

【点睛】

本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.

15.已知A4BC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2百,8=4,A4BC外接圆的面积为4万，贝!|

A48C的面积为.

【答案】26

【解析】

【分析】

由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角A8,从而有。，于是可得三角

形边长，可得面积.

【详解】

设外接圆半径为「，则5=兀产=4兀,r=2,

ab_.4u\l3.7T7T__7T

由正弦定理2r=4,得sinA=—―,sinB=1>=~=—,C=—,

sinAsinB2326

/.c=2,a=2A/3，S=gac=2G.

故答案为：2省.

【点睛】

本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题

关键.

16.已知复数z=l+2i,其中i为虚数单位，则三的模为.

【答案】5

【解析】

【分析】

利用复数模的计算公式求解即可.

【详解】

解：由z=l+2i,得z2=(l+2i『=—3+4i,

所以H=J(—3)2+42=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查复数模的求法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.在A3C中，角A民。所对的边分别为b,C9sinA+sinB+sinAsinB=2csinC,A3C的

面积S=abc.

(I)求角C；

(2)求ABC周长的取值范围.

【答案】(i)c=y(II)(东三耳

【解析】

【分析】

(I)由S=a〃c=7absinC可得到2c=sinC,代入5由2/1+511123+$11145由5=2。5苗(7,结合正弦定

2

理可得到储+从+述=。2,再利用余弦定理可求出cosC的值，即可求出角C；(II)由2c=sinC,并

127c7T

结合正弦定理可得到a+b+c=5(sinA+sinB+sinC),利用C=曰-,A+B=§,可得到

sinA4-sini?+sinC—sinA+sin---Ad----=sinA,H—4----,进而可求出周长的范围.

U)2I3；2

【详解】

解：(I)由S加inC可知2c=sinC,

2

：,sin2A+sin2B+sirb4simB=sin2c.由正弦定理得/+〃2+ab=c2-

2兀

由余弦定理得cosC=匕上一—=--

2ab2T

(II)由(I)知2c=sinC,:.2a=sinA,2b=sinfi.

AABC的周长为a+Z?+c=g(sin4+sinfi+sinC)

=—sinA+sin---A

2]134、

ic施」

sirt+—s4-fi

222

7

1f1、

——siri+cAs+

224

7

1.

—sin

2

.兀

VAeA+—G

3

金2+行

.•.AABC的周长的取值范围为T，4

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积公式，考查了学生分析问题、

解决问题的能力，属于基础题.

18.已知。＞0,b＞Q,且。+/?=1.

(1)求工+3的最小值；

ab

(2)证明："+2b＜叵

a2+b2+\2

【答案】（1）3+2及（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用基本不等式即可求得最小值；

（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证.

【详解】

（1）4+?=3+加（，+马=3+学+^..3+2、陛万=3+2夜，当且仅当》=行。”时取等号,

ababba\ba

]?

故一+7的最小值为3+2起；

ab

ah+2h_ah+2hah+2b_ah+2h_\[5

2222

（2）a+h+\~2h4b"而一—2/、-5",

。+5+5+J呜+2栏]忑（…

当且仅当〃=,力=延时取等号，此时a+bwl.

22

,,ab+2h75

tK—----——<---

a1+h'+12

【点睛】

本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题.

19.若关于%的方程幺+（加一2）》+5=0的两根都大于2,求实数机的取值范围.

【答案】（-5,-4]

【解析】

【分析】

7（2）>0

先令/（£）=尤2+（加_2〃+5—加，根据题中条件得到J———>2,求解，即可得出结果.

A>0

【详解】

因为关于x的方程d+（w—2）x+5-机=0的两根都大于2,

令/(x)=x2+(m-2)x+5-m

/(2)=4+2m-4+5-m>0

m-2-

所以有------>2

2

A=(m—2)2—20+4m>0

m>-5

解得m<-2,所以—5<64-4.

m>4或"z<-4

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.

20.网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人

或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此,

实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病

的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病,

实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图：

网络看病实地看病

1123566

2334724589

25588367788

294688

（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由;

（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：

满意不满意总计

网络看病

实地看病

总计

并根据列联表判断能否有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？

（3）从网络看病的评价“满意"的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.

肛„n(ad-bc)2,

附K2-=-------------------------------,其中〃=a+0+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（八自）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

3

【答案】（1）实地看病的满意度更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有；（3）

【解析】

【分析】

（1）对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；（2）先完成列联表，再由独立性

检验得有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；（3）利用古典概型的概率公式求得这2人平

分都低于90分的概率.

【详解】

(1)对实地看病满意度更高，理由如下：

(i)由茎叶图可知：在网络看病中，有66.7%的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有66.7%的

患者评分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.

(ii)由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73分，实地看病评分的中位数为87分，因此患者

对实地看病满意度更高.

(iii)由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80分；实地看病的满意度的评分平均分高于80

分，因此患者对实地看病满意度更高.

(iV)由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评

分分布在茎8,上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为

实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的满意度更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一一种或其他合理理由均可得分.

(2)参加网络看病满意度调查的15名患者中共有5名对网络看病满意，10名对网络看病不满意；参加

实地看病满意度调查的15名患者中共有10名对实地看病满意，5名对实地看病不满意.

故完成列联表如下：

满意不满意总计

网络看病51015

实地看病10515

总计151530

于是30x(10x1。-5X5)],33>2.706,

15x15x15x15

所以有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关.

(3)网络看病的评价的分数依次为82,85,85,88,92,由小到大分别记为"c,d,X,

从网络看病的评价“满意"的人中随机抽取2人，所有可能情况有：(a,"),(a,c),(a,d),(a,X)；

("c),(0,d),(b,X)；(c,d),(c,X)；(d,X)共10种，

其中，这2人评分都低于90分的情况有：

(82,85),(82,85),(82,88)；(85,85),(85,88)；(85,88)共6种,

故由古典概型公式得这2人评分都低于90分的概率P=—=j.

【点睛】

本题主要考查茎叶图的应用和独立性检验，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

TT

21.如图，四棱锥E—ABC。中，平面A5C0J,平面8CE,若NBCE=一,四边形ABC。是平行四边

2

形，且

(I)求证：AB-AD；

(H)若点R在线段AE上，且EC//平面BOR,ZBC£>=60°,6C=CE,求二面角A—BE-。的

余弦值.

【答案】(I)见解析(II)立

7

【解析】

【分析】

(I)推导出BCJ_CE,从而EC_L平面ABCD,进而EC±BD,再由BD±AE,得BD_L平面

AEC,从而BD_LAC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.

(D)设AC与BD的交点为G,推导出EC〃FG,取BC的中点为O,连结OD,则OD_I_BC,以O为坐标原点，以

过点O且与CE平行的直线为x轴，以BC为y轴，OD为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【详解】

方

(I)证明：NBCE=-,BPBCICE,

2

因为平面ABCD±平面BCE,

所以EC工平面ABCD,

所以EC1.8。，

因为

所以30,平面4EC,

所以60,AC,

因为四边形ABC。是平行四边形，

所以四边形ABCZ）是菱形，

故AB=A。；

解法一：（II）设AC与8。的交点为G,

因为EC//平面BDF,

平面AECI平面BDF于FG,

所以EC"FG,

因为G是AC中点，

所以尸是AE的中点，

因为NBCO=60。，

取BC的中点为。，连接。。，

则00ABC,

因为平面ABCD±平面BCE,

所以。。，面8EC,

以。为坐标原点，以过点。且与CE平行的直线为x轴，以所在直线为）‘轴，以。。所在直线为z轴

建立空间直角坐标系.不妨设48=2,则8（0,—1,0）,A仅,一2,6），F1,--,^-,

\Z

BF=1,；,半，64=位,—1,G）,5£>=（0,L6）,

设平面ABF的法向量勺=（x，y,zj,

1V3

则<"+//+三2|一，取"二卜百,6,1）,

-M+任|=0

同理可得平面DBZ7的法向量％=（O,V3,-l）,

设平面ABF与平面DBF的夹角为8,

/\勺•〃，2币

因为c°s如小丽=访二万

所以二面角A-BF-D的余弦值为旦.

7

z

xE

解法二：（II）设AC与8。的交点为G,

因为EC//平面平面AECI平面8。尸于尸G,

所以EC“FG,

因为G是AC中点，

所以尸是AE的中点，

因为AC，80,AC1FG,

所以AC_L平面BDE,

所以AC

取BF中点H,连接G”、AH,

因为FG=BG,

所以G“_LBP,

故BF_L平面AHG,

所以A//J.8E,即NA"G是二面角A—8尸—。的平面角,

不妨设A.B=2,

因为AG=J^，GH=——>

2

在R/ZVIG“中，tanZAHG=46，

所以COS/AHG=Y7,所以二面角A-—D的余弦值为也.

77

E

【点睛】

本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.

22.已知椭圆斗+本=1（。＞力＞0），上、下顶点分别是A、B,上、下焦点分别是耳、F2,焦距为2,

点（|,1）在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若。为椭圆上异于A、8的动点，过A作与X轴平行的直线/,直线Q3与/交于点S,直线6S与

直线AQ交于点p,判断NSPQ是否为定值，说明理由.

22

【答案】（1）汇+三=1；（2）NSPQ=f,理由见解析.

432

【解析】

【分析】

（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得。的值，进而可求得b的值，由此可得出椭圆的

方程；

（2）设点Q的坐标为（%0，%）（后。0），求出直线的方程，求出点S的坐标，由此计算出直线AQ和

ES的斜率，可计算出"°衣版的值，进而可求得NSPQ的值，即可得出结论.

【详解】

（1）由题意可知，椭圆的上焦点为耳（0,1）、鸟

由椭圆的定义可得2a==4,可得4=2，：.b=y/a1—1=x/3，

22

因此，所求椭圆的方程为匕+土=1;

43

v22d2

（2）设点。的坐标为（％,%）（』MO）,则资+费=1,得此=4-守,

y-2k=2+1=3（%+2）

直线AQ的斜率为kAQ=也一，直线F,S的斜率为於5一~4/，

"。记

4XQ

所以，k.kJo-23（%+2）=3（巾_4）=甘*3=…:.AQVF2S,

AQF1S

x04x04x；4x；

兀

因此，NSPQf

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.

23.已知椭圆C：三+为=1（a>〃>0）的长半轴长为夜,点（l,e）（e为椭圆。的离心率）在椭圆C

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）如图，P为直线x=2上任一点，过点P椭圆。上点处的切线为PA,PB,切点分别A,B,直线

x=a与直线PA,尸8分别交于M,N两点，点M,N的纵坐标分别为加，n,求〃〃7的值.

【答案】(1)y+/=l；(2)2X/2-3.

【解析】

【分析】

(1)因为点(l,e)在椭圆。上，所以5+今=1,然后，利用c2=/一从，e=?,得出4+土券=1,

进而求解即可

(2)设点尸的坐标为(2,。，直线AP的方程为y=4(x—2)+乙直线BP的方程为＞2)+r,

分别联立方程：［'T+y=和利用韦达定理，再利用机=4(&-2)+r,

y=k1(x-2)+r

〃二22(7仿一2)+/,即可求出神?的值

【详解】

(1)由椭圆。的长半轴长为得

因为点(l,e)在椭圆。上，所以1+W=i.

又因为。2=储一〃，e=£,所以二•+=11=1,

aa2a2b2

所以人二一1(舍)或b=l.

故椭圆C的标准方程为y+y2=l.

(2)设点P的坐标为(2"),直线AP的方程为y=4(x-2)+t,直线BP的方程为y=&(x—2)+r.

据＜了+)=1得(24+1卜2+4匕(-2幻X+2(L2ZJ2_2=0.

y=S(x-2)+.

据题意，得16A；(f_24)2_4(2片+1)[2(—2匕『_2=0,得2左：—4的+/—1=0,

同理，得2后一4的+*-1=0,

k、+h=2t

所以

又可求，得机=4（0-2）+，，〃=&（近一2）+/,

所以机〃=回及一2）+巾&（也一2）+，］

=（6-4&袂人+（&_2）（勺+初/+/

=（3—2血）（尸_1）+2（0_2）/+”

=2a-3.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行

消参，属于中档题

2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若z=l+(l-(。£尺)，|Z|=5/2,则。=()

A.0或2B.0C.1或2D.1

2.定义在R上的函数/(幻满足"4)=1,/(X)为的导函数，已知)，=/(%)的图象如图所示，若

A-L1

两个正数满足/(2。+切<1,则幺-的取值范围是()

<7+1

A.(|,1)B.(-oo,1)u(5,+oo)C.(1,5)D.(—,3)

3.给出下列四个命题：①若“"且q”为假命题，则"、g均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或

第二象限角；③若命题p：玉oCR,片20,则命题x2<0;④设集合A={小>1},

B={x|x>2},则“xeA"是"xeB"的必要条件；其中正确命题的个数是()

A.IB.2C.3D.4

4.已知。=(2sin与二cos?),8=(石cosg±,2cos券)，函数/(x)="为在区间[0,g]上恰有3个极

值点，则正实数①的取值范围为()

85、

瓦『r5)

(x-2)(x-e*)+3,(xNIn2)

5,已知函数/(x)=当xe[m,+oo)时，/(x)的取值范围为(-oo,e+2],

3-2x,(x<ln2)

则实数m的取值范围是()

B.(-oo,l]C.—,1D.[In2,1]

2

6.设i是虚数单位，若复数。+袅(“€即是纯虚数，则a的值为()

2+1

A.-3B.3C.1D.-1

7.已知A4BC中内角A,5,C所对应的边依次为a,4c,若2a=b+l,c=J7,C=(,则AABC的面积

为()

A.士B.V3C.3>/3D.2百

2

—,x>01

8.已知函数/(尤)=，,若函数g(x)=/(x)-+R在R上零点最多，则实数k的取值范

-X2-2x,x<0

围是()

A.(0,—)