正定矩阵课程学习

二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。正定二次型和正定矩阵的概念定理11(惯性定理)设有实二次型它的秩是r，有两个实的可逆变换正数的个数称为正惯性指数，负数的个数称为负惯性指数第1页/共20页第一页，共21页。对任何x≠0,都有f(x)<0,则称f

为负定二次型，并称对称阵A

是负定的，记作

A<

0

。定义9

设有实二次型如果对于任何x≠0,都有f(x)>0,（显然f(0)=0），则称f

为正定二次型，并称对称阵A

是正定的。记作

A>0；如果定理12

实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的n

个系数全为正。证设可逆变换第2页/共20页第二页，共21页。先证充分性

推论对称阵A

为正定的充分必要条件是：A

的特征值全为正。再证必要性：用反证法。假设有ks

≤0,则(单位坐标向量)时，这与假设f

正定矛盾，第3页/共20页第三页，共21页。

定理13

对称阵A

为正定的充分必要条件是：A

的各阶主子式都为正。即对称阵A

为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即这个定理称为霍尔维兹定理。第4页/共20页第四页，共21页。

注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。第5页/共20页第五页，共21页。判别矩阵正定的方法

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A

的正定性有两种方法。一是求出A

的所有特征值。若A

的特征值均为正数，则A

是正定的；若A

的特征值均为负数，则A

为负定的。二是计算A

的各阶主子式。若A

的各阶主子式均大于零，则A

是正定的；若A

的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A

为负定的。第6页/共20页第六页，共21页。例16判定对称矩阵正定性。解方法一所以A

是正定的。第7页/共20页第七页，共21页。方法二：A

的特征多项式为第8页/共20页第八页，共21页。

由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。一是利用对称矩阵A

的正定性。若二次型f

的对称矩阵A

是正定的，则f

是正定二次型；若A

是负定的，则

f也是负定二次型。二是将f

化为标准形。若其标准形的

n个系数全为正，则f

是正定的；若

f

的标准形的n

个系数全为负，则

f

是负定的。由于将

f化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。判别二次型正定的方法第9页/共20页第九页，共21页。解

f

的矩阵是所以

f是负定的。例17判别二次型的正定性。A

的各阶主子式为：第10页/共20页第十页，共21页。例18设二次型解f

的矩阵是A

的各阶主子式为：第11页/共20页第十一页，共21页。判别二次型解

f

的矩阵是所以

f既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。的正定性。A

的各阶主子式为：第12页/共20页第十二页，共21页。例19

设C

是满秩矩阵，实对称矩阵A

是正定的，则CTAC是正定的。证因为A

为正定，所以对任意即CTAC是正定的。第13页/共20页第十三页，共21页。

证明：若实对称矩阵A=(aij)为正定矩阵，则aii

>0(i=1,2,…,n).证因为A

为正定，所以对任意第14页/共20页第十四页，共21页。第五章小结

本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。第15页/共20页第十五页，共21页。第五章主要方法一)方阵的特征值与特征向量的求法第16页/共20页第十六页，共21页。二)用正交方阵将方阵化为对角阵的方法(1).求A

的特征值；

(2).求A

的特征值对应的n个线性无关的特征向量；

(3).将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量；

(4).将(3)中

n个特征向量单位化，得到n个两两正交的单位特征向量；

(5).以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有第17页/共20页第十七页，共21页。三)化二次型为标准型的方法

(1).正交变换法

1.写出二次型对应的矩阵A.2.将A化为对角阵，求出正交阵P.3.写出标准型，且正交变换为X=PY.

(2).配方法

1.含有平方项，直接配方；

2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;第18页/共20页第十八页，共21页。四判定矩阵与二次型为正定的方法1.定义法：2.用霍尔维兹定理：A

的各阶主子式都为正，则A

是正定的;3.用A的特征值：A

的特征值全为正，则A

是正定的;化A所对应的二次型为标准形,根据标准形中的正平方项个数判断;第19页/共20页第十九页，共21页。感谢您的观看！第20页/共20页第二十页，共21页。内容总结二次型的标准形不是唯一的。二次型的标准形不是唯一的。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。正