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文档简介
二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的。正定二次型和正定矩阵的概念定理11(惯性定理)设有实二次型它的秩是r,有两个实的可逆变换正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数第1页/共20页第一页,共21页。对任何x≠0,都有f(x)<0,则称f
为负定二次型,并称对称阵A
是负定的,记作
A<
0
。定义9
设有实二次型如果对于任何x≠0,都有f(x)>0,(显然f(0)=0),则称f
为正定二次型,并称对称阵A
是正定的。记作
A>0;如果定理12
实二次型为正定的充分必要条件是:它的标准形的n
个系数全为正。证设可逆变换第2页/共20页第二页,共21页。先证充分性
推论对称阵A
为正定的充分必要条件是:A
的特征值全为正。再证必要性:用反证法。假设有ks
≤0,则(单位坐标向量)时,这与假设f
正定矛盾,第3页/共20页第三页,共21页。
定理13
对称阵A
为正定的充分必要条件是:A
的各阶主子式都为正。即对称阵A
为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正。即这个定理称为霍尔维兹定理。第4页/共20页第四页,共21页。
注意:对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念。第5页/共20页第五页,共21页。判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A
的正定性有两种方法。一是求出A
的所有特征值。若A
的特征值均为正数,则A
是正定的;若A
的特征值均为负数,则A
为负定的。二是计算A
的各阶主子式。若A
的各阶主子式均大于零,则A
是正定的;若A
的各阶主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A
为负定的。第6页/共20页第六页,共21页。例16判定对称矩阵正定性。解方法一所以A
是正定的。第7页/共20页第七页,共21页。方法二:A
的特征多项式为第8页/共20页第八页,共21页。
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知,判断二次型的正定性也有两种方法。一是利用对称矩阵A
的正定性。若二次型f
的对称矩阵A
是正定的,则f
是正定二次型;若A
是负定的,则
f也是负定二次型。二是将f
化为标准形。若其标准形的
n个系数全为正,则f
是正定的;若
f
的标准形的n
个系数全为负,则
f
是负定的。由于将
f化为标准形非常复杂,因此第二种方法一般不用。判别二次型正定的方法第9页/共20页第九页,共21页。解
f
的矩阵是所以
f是负定的。例17判别二次型的正定性。A
的各阶主子式为:第10页/共20页第十页,共21页。例18设二次型解f
的矩阵是A
的各阶主子式为:第11页/共20页第十一页,共21页。判别二次型解
f
的矩阵是所以
f既不是正定的,也不是负定的,即不定二次型。的正定性。A
的各阶主子式为:第12页/共20页第十二页,共21页。例19
设C
是满秩矩阵,实对称矩阵A
是正定的,则CTAC是正定的。证因为A
为正定,所以对任意即CTAC是正定的。第13页/共20页第十三页,共21页。
证明:若实对称矩阵A=(aij)为正定矩阵,则aii
>0(i=1,2,…,n).证因为A
为正定,所以对任意第14页/共20页第十四页,共21页。第五章小结
本章通过向量的内积,从而给n维向量建立了度量的概念,结合方阵的特征值理论,给出了判定矩阵是否可以对角化的判定方法;通过对实对称矩阵所具有的特点,说明实对称矩阵不仅可以相似对角化,而且可以正交对角化;从而为二次型化标准型提供了一种重要方法:正交变换法。由二次型与实对称矩阵的一一对应关系,将二次型的讨论转化为矩阵的讨论,并讨论了正定二次型。第15页/共20页第十五页,共21页。第五章主要方法一)方阵的特征值与特征向量的求法第16页/共20页第十六页,共21页。二)用正交方阵将方阵化为对角阵的方法(1).求A
的特征值;
(2).求A
的特征值对应的n个线性无关的特征向量;
(3).将重特征值所对应的特征向量正交化,连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量;
(4).将(3)中
n个特征向量单位化,得到n个两两正交的单位特征向量;
(5).以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵,且有第17页/共20页第十七页,共21页。三)化二次型为标准型的方法
(1).正交变换法
1.写出二次型对应的矩阵A.2.将A化为对角阵,求出正交阵P.3.写出标准型,且正交变换为X=PY.
(2).配方法
1.含有平方项,直接配方;
2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;第18页/共20页第十八页,共21页。四判定矩阵与二次型为正定的方法1.定义法:2.用霍尔维兹定理:A
的各阶主子式都为正,则A
是正定的;3.用A的特征值:A
的特征值全为正,则A
是正定的;化A所对应的二次型为标准形,根据标准形中的正平方项个数判断;第19页/共20页第十九页,共21页。感谢您的观看!第20页/共20页第二十页,共21页。内容总结二次型的标准形不是唯一的。二次型的标准形不是唯一的。限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的。正
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