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文档简介

轴对称与最优化相传，海伦是古希腊亚历山大城精通数学、物理的学者.一天，一位将军向他请教一个问题：如图1所示，将军准备从A点出发，想让马到一条笔直的河流上去饮水，然后再去B地，那么走怎样的路线最短呢？海伦稍加思索，便解决了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马”问题.请你运用所学的知识，在图中画出路线，并简要说明作法.解析：首先建立数学模型，把河岸看作直线L.如图2所示，先取A（或B）关于直线L的对称点A'（或B），连接AB（或BA），与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，且PA+PB即为最短路线.1说明：设点1说明：设点P是河岸L上异于点P的任意一点，连接七A,七A,PB.因为A与A关于L对称，所以PA=PA，P^A=P^A'，所以PA+PB=PA+PB=AB，PA+PB=PA+PB.在AA'PB中，PA+PB>A'B，所以PA'+PB>PA+PB，所iiii i i i i i以点P到A、B的距离之和最短.例i如图3所示，两条公路OA、OB相交于点O,有一个村庄P，准备在两条公路旁分别建一座小型加工厂M、N，且使PM+MN+PN最短，请在图上画出这M、N点，并写出作法.TOC\o"1-5"\h\z解析：作法如下. F典 *（1） 作点P关于OA的对称点P；1（2）作点P关于OB的对称点P2； /\'\° B（3） 连接PP2，分别交OA、OB于点M、N. \i则M、N即为所求作的点.（想一想：为什么？） 图2例2如图4,直线气和L2表示两条公路，两条公路之间有A、B两如顼地，现在要在公路%和L2上分别取一点M、N，过这两点修一条连接L和乙2的支路，且使AM+MN+BN最短，请在图上画出这两点. 言图4岫解析：作A关于气的对称点A，作B关于L2的对称点B，连接

AB'，分别交L1、L2于点M、N，则M、N便是所求的点.例3如图5,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥.（注意：桥必须与街道垂直）.（1） 桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？（2） 桥建在何处才能使甲到乙的路线最短？解析：（1）如图6,作点B关于街道的对称点B1，连接AB1，作AB］的垂直平分线，与街道靠近A的一侧相交于4，过1建桥即符合要求.（2）如图7,将点A沿竖直向下的方向平移至点A2，使AA2的长等于街道的宽度，即桥宽，连接姒与街道靠近B的一侧交于点B，过B点建桥即符合要求.22评注：著名数学家赫尔曼•外尔说：“对称是一种思想，通过它，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善……”.通过以上几例可以看出，对称不仅是一种美的思

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