证明平面与平面垂直

1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度..用向量证明垂直的方法⑴线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.⑵线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.4.若平面a与B的法向量分别是a=(4,0，—2)，b=(1,0,2)，则平面a与B的位置关系是()A.平行B-垂直C.相交不垂直D.无法判断解析：・.・a・b=4X1+0+(—2)X2=0./.a±b，Aa±6.答案：B面面垂直.在正方体ABCD~AlB1C1D1中，E为Cq的中点，证明：平面B1ED±平面B1BD.

【证明】以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),Bi(i,i,i),E(0,1,2),DB广(1,1,1),DE=(0,1,1),设平面B】DE的法向量为n,二(x,y,z),则x+y+z=0且y+2z=0,令z=-2,.・.n1=(1,1，-2).同理求得平面B1BD的法向量为n2=(1,-1,0),由n,・n2=0，知n±±n2，二平面B1DE±平面B1BD.Ci图3-2-124.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B/D上平面B1BD［证明］以DA,DC,DD1所在直线分别为x辄y辄z辄建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,贝UD(0,0,0),B1(1,1,1),e〔0,1,2］，DB1=(1，1，1)，DE=［o,1，2)设平面B1DE的法向量为n1=(x,y,z),则x+y+z=0且y+gl。，令z=-2,则y=1,x=1,An1=(1,1,-2).同理求得平面B1BD的法向量为n2=(1,-1,0),由n1・n2=0,知n1上n2,平面B1DE±平面B1BD.例3：如图3-2-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB±BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点，求证：平面AEC1±平面AA1C1C.

【解答】由题意得AB,BC,B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为x^y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),A](2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,|)，则AA1=(0,0,1),At=(-2,2,0),AC1=(-2,2,1)，立二(-2,0，2).设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(xly,z),则＜n则＜n1-AA1=0叫.AC=0z=0,-2x+2y=0.令x=1，得y=1，.•.二(1,1,0).设平面AEC］的一个法向量为n2=(x，y，z)，则”2屈=0 「2x+2y+z=0，n^AE=0 、-2x+2z=0.令z=4，得x=1，y=-1.…n2=(1，-1,4).•.•%•n2=1X1+1X(-1)+0X4=0，-n1±n2.A平面AEC1±平面AA1C1C.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABLBC,AB=BC=2,BB=1,E为BB1的中点，证明：平面AEC,上平面AACC.两个平［解］由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以B为原点，BA,BC,BB1分别为x,y,z辄建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,°),气(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E〔0,0,|j,贝OAA1=(0,0,1),寿=(-2,2,0),尿］=(-2,2,1),屈=(-2,0,|).设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1，义，q).则则］—A _naa=0,—cI”AC=0z1=0,_2x1+2y1=0.令x1=1,得y1=1..'.n1=(1,1,0).则］—A _吃AC1=0,〔n,•AE=02设平面AEC1则］—A _吃AC1=0,〔n,•AE=022%+如+&=0,2X2+2Z2=0,令&=4,得x2=1,y2=-1..'.n2=(1,-1,4).n2=1X1+1X(-1)+0X4=0.-n1±n2,a平面AEC1±平面AA1C1C.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为8鸟的中点，F为CD的中点，G为AB的中点.求证：平面ADEL平面A1FG.证明：连结D1F,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体棱长为1.••D(0,0,0),E(1,1,§,A(1,0,0),A1(1,0,1),G(1,^，0)，F(0，^，0).aAE=(0，1，|),康=(0，2，-1),GF=(-1,0,0).AEA^G=0+2-2=0,AEGF=0+0+0=0.AE±>TG，AE±GF,vA1GAGF=G,•ae±平面a1gf.又AEU平面ADE,•平面ADEL平面A1GF.

6.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2槌，侧棱长为4,E、F分是棱AB.BC的中点，EFCBD=G.求证：平面B1EF±平面BDD1B1.［证明］以D为原点，DA、DC、DD1分别为x辄j辄z轴建立空间直角坐标由题意知：D(0,0,0)、B1(2叵,2®,4)、E(2&，季,0)、F点,2^2,0),切(0，—吃,-4)、EF=(-羊，北，0)-设平面B1EF的一法向量为n=(x,y,z).贝Un•B1E二-gy-4z=0,n•EF=-\/2x+\/2y=0.解得x=y,z=-亨y，令y=1得n=(1,1,-亨),又平面BDD1B1的一个法向量为AC二(-2孕,2孕,0),而n•AC=1X(-^2)+1X2-.J2+(-孕)X0=0,即n±At..・.平面B1EF上平面BDD1B1.10.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点.求证：平面ADEL平面A1FG.证明：连结D1F,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体棱长为1.••D(0,0,0),E(1,1,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),G(1,|，0)，F(0,|,0)..AE=(0,1,2),A^=(0,2,-1),GF=(-1,0,0).•屁.AG=0+2-2=0，AE・GF=0+0+0=0.aE±A：g，A^E^GF,vA1GnGF=G,•AE±平面A1GF.又AE平面ADE,平面ADE上平面A1GF.11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为也，侧棱长为点，E、F分别是AB1.CB1的中点，求证：平面D1EFL平面AB1C.证明：

把正四棱柱如图放置在坐标系中，则各点坐标为A（学,0,0）,C（0，.牌,0）,"扬，-克，③,D1（0,0，届,'•总，岑W）,F号，:;2，辛）E（&把正四棱柱如图放置在坐标系中，则各点坐标为A（学,0,0）,C（0，.牌,0）,"扬，-克，③,D1（0,0，届,'•总，岑W）,F号，:;2，辛）E（&，岑J）,F（夺，:;2，亭.而AC=(^2^2,0),屈］=(0,V2，E•,气AC。履+履牛0,n「ALB1=V2"］+\'3u］=0.•)一巫=1,u1=-3.再设平面D［EF的法向量为n2=(1,"2,u2再设平面D［EF的法向量为n2=(1,"2,u2),则n2应垂直于斥、Df.，，，，，一D1F而D^E-Gi'2，号乌2)乌2)n2-DE—A学2号〃2-0，•n2-Df-专扣刃2号〃2-0.•"2-1,u2-拓.•••n2-（1,1，拓）. _由于%•n2-1+1-半E6-0,•n1侦2..••平面D1EJ平面AB1C.2.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，ZBAC=90°,A^A±平面ABCAA^]'3,AB=AC=2A1C1=2,D为BC中点.证明：平面A^AD±平面BCC1B1.［证明］如图，建立空间直角坐标系.则A(0, 0, 0), B(2, 0,0), C(0, 2, 0),A1(0,0,-必),C1(0,1,必),因为D为BC的中点，所以D所以D点坐标为（1，1，0），所以BC=（-2,2，00），AD=（1，1，0），呵=（0，0，伊S^BC.aD=-2+2+0=0，BC.福]=0+0+0=0，^^— ——所以BC±ad，BC±AA1，所以BC上AD，BC±AA1，又AD^AA—1—A，尸所BC_L^平|目|ADA1，11而BC—^平面|BCC]B]，尸所以十^面A^AD_L^平^面BCC^B1^ZBAC=90°，A1A±平面ABC，三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，A1A^.；3，AB~.：'2,AC=2，A1C1=1ZBAC=90°，A1A±平面ABC，证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(必,0,0),C(0,2,0),人的。，翌),q(0,1，岳)..BD..BD:DC=1:2,•••D点坐标为（号-AD=(^^2,2,0),BC=(-寸2,2,0),A—1=(0,0，书)-•.•BC.a—1=0,BC.Ad=0,•BC上AA],BC±AD.又A1AHAD=A,•BC±平面A/D.又BCU平面BCC1B1,二平面A1AD±平面BCC1B1.中等难度建系10.如图3-2-16所示，△ABC是一个正三角形，ECL平面ABC,BD^CE,且CE=CA=2BD.图3-2-16图3-2-16求证：平面DEAL平面ECA.【答案】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(、JW1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).n1•EA=n1•EA=0,-ln1-CE=0,解得|j1=—■'3x1L]=0,n.EA=0,2—ln2-ED=0,1—-^ ^ ^所以EA=(侦3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,—1).分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1=(x1,”，&),n2=(知J2,z2),fV3x1+j1—2z1=0,〔2Z]=0,即(奴2+为—2z2=0,〔2y2-Z2=0,解得广如，〔z2=2y2.不妨取n1=(1,—；'3,0),n2=(V3,1,2),因为n1-n2=0,所以n1±n2.所以平面DEAL平面ECA.2017-开封模拟）如图，已知ABL平面ACD,「内上平面ACD,AACD为等边三角形，AD=DE=2AB.D图7-7-4求证：平面BCE±平面CDE.【导学号：97190251】［证明］设AD=DE=2AB=2a，建立如图所示的空间直角坐标系A砂，则A(0,0,0),C(2a,0,0),B（0,0,a）,D（a，方a,0）,E（a，•菸a,2a）.所以BE=（a，甲a,a）,BC=（2a,0,-a）,CD=（-a^3a,0）,ED=（0,0,-2a）.设平面BCE的法向量为幻=（呵，儿,弓）,由n「bE=0,n「BC=0可得ax+寸ay+az=0,2ax1-az1=0,卜i+V3yi+zi=0,即＜2呵-Z]=0.令Z1=2,可得n1=（1,—j.'3,2）.设平面CDE的法向量为n2=%,y2,z2）,由n2CD=0,n2・ED=0可得'-ax2+V3ay2=0，〈、-2aZ2=0,-x2+而2=0，[z2=0.令y2=1，可得n2=（•挡,1,0）.因为,n2/1X\仔+1X（-必）=0.所以n1±n2,所以平面BCE±平面CDE.底面是梯形如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，/ABC=ZBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC±底面ABCD.证明:(1)P4±BD；（2）平面PADL平面PAB.证明（1）取BC的中点0,连接PO,.••平面PBC±底面ABCD3PBC为等边三角形，?.P0±底面ABCD.以BC的中点0为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点0与AB平行的直线为y轴，0P所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD=1，则AB=BC=2，P0=-..誓.・.・A（1，—2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，\：2）..*.BD=(—2，—1，0)，PA=(1，—2，—、..j3).VBD-PA=(—2)X1+(—1)X(—2)+0X(—、.*)=0，AP4±BD，AP4±BD.⑵取PA的中点M，连接DM，则M^，—1，辛］VDM=f|，0，平），PB=（1，0，-小），:.DM-PB=|xi+0X0+号X(―舟)=0,:,DM±PB，艮flDM±PB.——3 3 —•：DM・P4=|X1+0X(-|)+^X(—g)=0,：.I)M±Pa，艮flDM±PA.又VP4nPB=P,ADM±平面PAB.•「DMu平面PAD,.平面PAD±平面PAB.9.如图，四边形ABCD为正方形，户口上平面ABCD,PDIIQA,QA=AB=1PD.证明：平面PQCL平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA,DP,DC分别为尤轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,I,0),则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,—1,0).一——_一——一一APQ-DQ=0,PQ・DC=0.即PQ里DQ,PQ±DC,又DQnDC=D,APQ±平面DCQ,又PQu平面PQC,.・・平面PQCL平面DCQ.［跟踪训练］如图7-7-5所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，/ABC=/BCD=90。,AB=BC=PB=PC=ICD，侧面PBCL底面ABCD.

图7-7-5证明：(1)Q4^8Q；图7-7-5(2)平面PAD±平面PAB.［证明］(1)取BC的中点。，连接PO,.・•平面PBC±底面ABCD,△PBC为等边三角形，:.PO±底面ABCD.2,-2,-1,0)，厕=(1,以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD=1，则AB=BC=2,POf.・・・A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0，展).f1

f1

—,⑵取PA的中点M,连接DM，则Mx，-1，vBD-PA=(-2)X1+(-1)X(-2)+0X(".,：③=0,一一,一:.PA±BD，:.PALBD.§,0,勺，PB