概率论与数理统计及其应用课后答案解析(浙江大学盛骤版)

_第1章随机变量及其概率 录 (2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 PAB=P[(SA)B]=P(B)P(AB)=0.375，_体三位数的个数有554=100个。(1)该数是奇数的可能个数为 。。_ (3)所求概率为Mnkkn货单的可能分法有Ck(M1)nk种，所以某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的概率为nCk(M1)nk Mn7，将3只球(1~3号)随机地放入3只盒子(1~3号)中，一只盒 )求3只球至少有1只配对的概率。 (2)求没有配对的概率。 (2)没有配对的概率为2=1；63 (1)至少有1只配对的概率为11=2。33_ ，若取到解：(1)由题意可得P(AB)=P(A)+P(B)一P(AB)=0.7，所以P(A|B)=P(AB)=0.1=1，P(B|A)=P(AB)=0.1=1，P(B)0.33P(A)0.55P(A|AB)=P[A(AB)]=P(A)=5，P(AB)P(AB)7P(AB|AB)=P[AB(AB)]=P(AB)=1，P(AB)P(AB)7P(A|AB)=P[A(AB)] (2)设A(i=1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可i可以表示为AAAA，它的概率为(根据乘法公式)1234P(AAAA)=P(A)P(A|A)P(A|AA)P(A|AAA)12341213124123_22215P(A)=2+=(先红后白，先白后红，先红后红)2221543436概率为21P(B|A)=P(AB)=43=1P(A)556以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但 (2)根据条件概率公式：P(B|A)=P(AB)=5%=0.1；P(A)50% (3)P(B|A)=P(BA)= (4)P(A|B)=P(AB)=45%=9；PB17_ (5)P(A|B)=P(AB)=5%=1。P(B)15%31个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10i取的概率。最后要求的概率为111098763326409240A69240有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 (1)该人两种症状都没有的概率； (2)该人至少有一种症状的概率； 解：(1)根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症 _者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所。10%1。=30%+10%44条输入通讯线，其性质如下表，求一1234iiiii=1实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关_条件概率得到所要求的概率为P(B|A)=P(BA)=P(B)P(A|B)=10%(1一85%)=17.06%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为123iii=1P(N|M)=P(N1)P(M|N1)=0.60.01=0.24，1P(M)0.025P(N|M)==0.30.05=0.60，2P(M)0.025P(N|M)==0.10.04=0.16。3P(M)0.025_信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，P(B|A)=P(AB)=P(B)P(A|B)=95%1=99.9947%P(A)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)95%1+5%0.1%相互独立(两两独立)，但A,B,C不是相互独立。P(A)=P(B)=，2224所以有P(C)=11+11=1；22222P(BC)=P(CA)==，P(ABC)=224224P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)。P(ABC)P(A)P(B)P(C)_独立，求(1)恰有一人进球的概率；(2)恰有二人进球的概率；(3)i 1p=P{NNN}+P{NNN}+P{NNN}1123123123=P(N)P(N)P(N)+P(N)P(N)P(N)+P(N)P(N)P(N)(由独立性)123 2p=P{NNN}+P{NNN}+P{NNN}2123123123=P(N)P(N)P(N)+P(N)P(N)P(N)+P(N)P(N)P(N)(由独立性)123 3312312319，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4_少？因为0.144+0.0864=0.870420，一元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠i系统的可靠性为3P{(AA)(A)(AA)}=P(AA)+P(A)+P(AA)41234512345PAAAPAAAAPAAAPAAAAA第20题123124534512345=P(A)P(A)+P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)231245P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)2345=p+2p22p3p4+p5_含有杂质的概率。(注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式)P(A|B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)33P(A|B)=P(A)P(B|A)=0.40.384=0.1536=0.9046P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.40.384+0.60.0270.1698 (第1章习题解答完毕)第2章随机变量及其分布解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k1个人都不是A型血，因上式就是随机变量Y的分布律(这是一个几何分布)。AA2B_iP{X=0}=P{A(AA)}=P{(AA)(AA)}1231213=P{AA}+P{AA}一P{AAA}=P(A)P(A)+P(A)P(A)一P(A)P(A)P(A)12131231213123，类似有P{X=2}=P{A(AA)}=P(AAA)=0.83=0.512123123，XXP{X=k}02,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数(设各人并求下列情况下无任何健康保险的概率：(1)恰有3人；(2)至少有2人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。。 (1)P(X=3)=C30.230.812=0.2501, 4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有kkn正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设_5k必x6(8000人0.001)ke-8000人0.001=x68ke-8=0.3134(查表得)。k!k!kk=0 。 5。 8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响_l0423 (3)求P{1共X共1}；(4)求P{X>423其他， (1)确定k；(2)求P{X共}；k3-w03(3)27 3(3)27042(2)(4)64 42(2)(4)643(3)27 3(3)27有实根的概率。404所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.10，设产品的寿命X(以周计)服从瑞利分布，其概率密度为其他 (1)求寿命不到一周的概率； (2)求寿命超过一年的概率； 0 _ 11，设实验室的温度X(以oC计)为随机变量，其概率密度为|l0其他 (3)求P{Y=2}，P{X>2}。1 (2) (2)根据题意Y~B(10,)，所以其分布律为10(27)(27) 。(0.2l0其他 (2)设随机变量X的概率密度为|||l0其他_2_的_10(0|0.2dyy<_1(00.2(y+1)y<_1(0 2_的0dx+2dx2(0xx/8P{X共3}F(3)。X1X1203023_YYY01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30 求至少有一根软管在使用的概率； Y (2)至少有一根软管在使用的概率为 15,设随机变量(X，Y)的联合概率密度为8x>0,y>00000_x>220203x>y00000xy00 (1)求(X，Y)的概率密度； (2)求边缘概率密度f(x),f(y)。XYXYfxy一常数，故由1=jjf(x,y)dxdy=dxxj2f(x,y)dy=1f(x,y)，得到f(x,y)=〈(6,(x,y)=G。6l0，其他G0x2/2 X-w|lx20/其他Y-wy0，其他yyXY机变量，它们的联合概率密度为 (1)求(X,Y)关于X的边缘概率密度f(x)；X (2)求条件概率密度fY|X(y|x)，写出当x=0.5时的条件概率密度； X的条件分布律为的条件分布律为_X-w|l,其他 (2)当x>0时，fY|X(y|x)=f(x,y)Y|Xl0,其他。 11 (2)在16题中求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。解：(1)根据公式P{Y=i|X=0}=，得到在X=0的条件下Y的条件分布律为YY012XX4/1702 (2)因为f(x,y)=〈(6,(x,y)=G。l0，其他l2y2y_(1(1。 (1)写出(X，Y)的概率密度； (2)求边缘概率密度f(x),f(y)；XY XYfxy一常数，故由1=jjf(x,y)dxdy=dxjxf(x,y)dy=1f(x,y)，得到f(x,y)=〈(3,(x,y)=G。3l0，其他G0x2 X-的|lx,其他Y0，其他(3(y(3(y-y2)其他 xxP{Y=Y}12_(|(|其他X|l0,其他YXl其他YXl其他 (2)求(X,Y)关于Y的边缘概率密度； (3)求在Y=y的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)。y Y|l00其他 920Ypk19121212121212_ 解：(1)由相互独立性，可得Y,YP{Y=i,Y=j}=P{Y=i}P{Y=j}，121212121212结果写成表格为11-10Y2-101。 (2)14题中，求出边缘分布律为XXY012P{Y=j}P{X=i}120Yl0其他试写出X,Y的联合概率密度，并求P{X>Y}。Xl0其他_f(XYl03xy0yX具有分布律XpkY1kp1/5k-1520513解：设X,U的概率密度分别为f(x),f(u)，U的分布函数为F(u)。则XUUUUUf(u)=[F(u)]'=2f(u)=2e-u2/2。UUX爪l0l求Y=X的概率密度。 (3)设随机变量X~N(0,1)，求Y=X2的概率密度。_解：设X,Y的概率密度分别为f(x),f(y)，分布函数分别为F(x),F(y)。则XYXY YYYXYYX YXYYXYl0其他。 YYYYY(1(10l0其他l0其他X_||。其他XY率密度为Zz|l029，设随机变量X~U(-1,1)，随机变量Y具有概率密度f(y)=1，-w<y<+w，Xl0其他Xl0其他XyXy-wz-1Xl0其他，Yl0其他Xl0其他，Yl0其他_-wY|l00YXl0其他，Yl0其他Z-wYX|00,其他|l0,其他l (1)求边缘概率密度f(x),f(y)。XY X-w|l00,其他ZXYZXY|2_Y-w0， 其他其他ZXY ZZ424X (2)两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y的概率密度为解：(1)根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为|l0其他12 (2)设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记,X，则它们都在(0,l121212YX1X2li=0pp_fY(y)=(FY(y))'=〈|。 00Y012310200X2229/120301Uk U01k k pp_i=033210k (第2章习题解答完毕)第3章随机变量的数字特征45457Xppk52，解：5个单词字母数还是4，5，6，7，7。这时，字母数更分布律为564/295/297Ypk_CCCp=10=，p=210=，p=210=。12视机中包含的次品数的数学期望为2为两个1/6的乘积(第一次6点，第2次1点)，其余类似；有5/644571616119111811616Ypk学期望为1149114963612 (2)根据题意，按照数学期望的公式可得2k22k2k1k=1k=1_-w00000 (2)这种动物的平均寿命为-w55-w0000001-w122-w-102210 (对第一个积分进行变量代换x=-y)_44l0,6a240_w049(0,x<013，解：因为X(i=1,2,…n)的分布函数为F(x)=〈|x,0不x<1，所以可(0,y<0(0,y<0f(y)=〈(n(1_y)n_1,0<y<1，f(y)=〈(nyn_1,0<y<1。minl0,其他maxl0,其他minn+1_w000minn+1_w000_E(Y)=+jyf(y)dy=nyndy=n。nmaxn+10XXY012P{X=k}010200P{Y=k}1E(X)=2kP{X=k}=1/2，E(Y)=2kP{Y=k}=3/4，k=0k=0E(XY)=22ijP{X=i}P{Y=j}=113/14=3/14，j=0i=0E(XY)=22(ij)P{X=i}P{Y=j}=7/28=1/4，j=0i=0EXYijPXiPYj。j=0i=0j=0i=0i+1EYX2jP{X=i}P{Y=j}=18/28=9/14i+1j=0i=0RR000 _0Ypk020-w000幸20-w00022_p2pkkkk=1)p两次求导得到S(p)=2。p3pxkxkk-1-的99 x9 k-的9 x9_kk=0pXY=D(X)pXY=D(X)D(Y)5=_。 (2)根据16题结果可得：RRpXY=D(XpXY=D(X)D(Y)3=_。 (3)在第2章14题中，由以下结果XY012P{X=k}00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38P{Y=k}0.160.340.501_XYD(X)D(Y)0.571723，解：(1)因为X,X,X相互独立，所以1231232233=E[X2一8XX+16X2]=E[X2]一8E[X]E[X]+16E[X2]22332233 (2)根据题意，可得E(X)=1/2,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=1/3，iiiiEX一2X+X)2]=E[X2+4X2+X2一4XX+2XX一4XX]123123121332=E[X2]+4E[X2]+E[X2]一4E[X]E[X]+2E[X]E[X]一4E[X]E[X]123121332Rx_Xw|l,其他Ywy0，其他XYX=〈il0第i个球落入第i个盒子第i个球未落入第i个盒子Nniinni=1n第4章正态分布_ X4 解：(1)因为P{X25C}=P{CX25C}=(C)(C)=2(C)166666 4，已知美国新生儿的体重(以g计)X~N(3315,5752)。 X (2)在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重_于2719的个数，求P{Y4}。 0.8673) k=05，设洗衣机的寿命(以年计)X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5P{X8|X5}=P{X8}=2.31(1.06)=10.8554=0.1761P{X5}1(56.4)1(0.92)0.8212阻器的电阻值(以欧计)服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求(1)两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；(2)至少有一只电阻器大于12.4欧的概率(设两电阻器的电阻值相互独立)_ (2)至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为装装装装装装 PXC90)=C(-2)=1-C(2)=0.0228；_ 123 (1)根据正态分布的线性组合仍为正态分布(本书101页定理2)的性质，立刻得到1234 5/210，(1)某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径(以mm计)_ XN，Y~N(10.5,装2)，问控制装至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。解：(1)根据题意可得X_Y~N(_0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率 (0.08) (0.08) (2)随机选择的女子身高达于1.60的概率为_随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布55 N50i50i50 _Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为X~N(0,7.52)，X以g (1)写出Z,X,m的关系式； (2)求Z的分布； (3)确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。 PZ之450}之0.95，即要 (7.5) (7.5)7.5 (1)求Z的分布； (2)确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。 (65.25)(65.25) (65.25)(65.25)_15，某种电子元件的寿命X(以年计)服从数学期望为2的指数元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只量量XXEXDX0.04。根据独立同分布的中心极i=1i0.20.20.2i=1XXkg的真实ii1100i=1解：根据题意可得E(X)=25(kg),D(X)=1。由独立同分布的中心定理可得_解：以X,…X记这400个数据的舍入误差，X1400X。则400400ii1E(X)0,D(X)1014。利用独立同分布的中心极限定理可得iii1P{ X1)若X_ (2)设要安装n部电话。则要使得99100.010.29Xpk 率。 (2)求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概 (1)以X,…X分别记10次射击的得分，则10i1_ (第4章习题解答完毕)第5章样本及抽样分布1234 123412 DXEXXEXXDXX121212 (1)联合概率密度为g(x,x,x,x)=f(x)f(x)f(x)f(x)123412341234 1221212_ (3)E(X)=1x4E(X)=1,4i2i1X16i=1i4(2)16 (4)E(XX)=E(X)E(X)=1，(由独立性)12124E[X(X_0.5)2]=E(X)E[(X_0.5)2]=1E[X2_X+1]=1[E(X2)_E(X)+1]121222242224_1]=1；2222424(2)48 (5)D(XX)=E[(XX)2]_E2(XX)=E(X2)E(X2)_(|1)|212121212(4)X123 12313 (3)E(X2X2X2)，(4)D(XXX)，D(2X_3X_X)，3123123 21231231231(1010) 1313=[C(0.5)_C(_0.5)]+[C(1.5)_C(0)]_[C(0.5)_C(_0.5)][C(1.5)_C(0)]_ (本题与答案不符) (3)E(X2X2X2)=E(X2)E(X2)E(X2)=[D(X)+E2(X)]3=[100+752]32312311 1231231231123 21220010123 (1)P{X=1,X=2,X=3}；(2)P{X+X=1}。1231212312312326==0.000398； (2)P{X+X=1}=p{X=0,X=1}+p{X=1,X=0}121212，(1)设总体X~N(52,6.32)，X,X,…,X是来自X的容量为36的236 25_6.3/66.3/66.3/6 0.80.40.8 ，.30.3.30.30.50.5均分为7等份)。_ii据得到以下表格n-1ii=1组组限35.5~45.545.5~55.5.5~65.565.5~75.575.5~85.585.5~95.5ii2362根据以上数据，画出直方图(略)124xXiWxXiX383i=1i=1Xi1_ U=0.85(第二步查表)X=XYZZ/n，X2=Y2 (第5章习题解答完毕)第6章参数估计29_Xx9X。令总体矩等于相应的样本矩：E(X)=X，9ii2n02n样本，求m,p的矩估计量(对于具体样本值，若求得的mˆ不是整数，令总体矩等于相应的样本矩：E(X)=X，E(X2)=A=1xnX22nii12n_12n 6496101163710nii=1 (2)根据(1)中结论，入的最大似然估计值为=x=7.2。12n 直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到X的观察值为51749数似然函数为_数为令对数似然函数对p的一阶导数为零，得到p的最大似然估计值为=n=1。xnxxii (2)根据(1)中结论，p的最大似然估计值为=1=5。x2612n n2"o (2)似然函数为2"o_oonini=112n12n (1)大似然估计量和估计值。 (2) (3)总体X的概率其他总体X的概率设然函数为ii令对数似然函数对9的一阶导数为零，得到9的最大似然估计值为2ni2i=1_2 (2)似然函数为xiii-1i=1令对数似然函数对9的一阶导数为零，得到9的最大似然估计值为3ni3i=1 pPXxCxpxpmxxmm然函数为令对数似然函数对p的一阶导数为零，得到p的最大似然估计值为=1xnx=x。mnimi=1223Xpk1123_ii=1然函数为令对数似然函数对9的一阶导数为零，得到9的最大似然估计值为12n1