高中立体几何证明方法例题

.空间角与空间距离TOC\o"1-5"\h\z在高考的立体几何试题中， 求角与距离是必考查的问题， 其中最主要的是求线线角、 线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量， 最后再计算。.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现， 这种题型有利于考查学生归纳、 判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有： （1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（ 2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法： （1）先观察，尝试给出条件再证明； （2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件， 再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么， 另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系， 在应用中：低一级位置关系判定高级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。.线线、线面、面面平行关系的转化:面面平行性质//a,a//ba,babAa//(a//b,b//ca//c)公理4线面平行判定 线面//a//ba//,b//一:~~面面平行性质面面//y 面面平行性质//a,a//ba,babAa//(a//b,b//ca//c)公理4线面平行判定 线面//a//ba//,b//一:~~面面平行性质面面//y //面面平行判定1M —一面面平行性质 1//////线面平行性质a//a//a////.线线、线面、面面垂直关系的转化:面面垂直定义l,且二面角l成直二面角3.平行与垂直关系的转化:面面平彳f判定2之面面//.应用以上“转化”的基本思路一一面面垂直定义l,且二面角l成直二面角3.平行与垂直关系的转化:面面平彳f判定2之面面//.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。.唯一性结论：①过直线外一点，有且只有一条直线与三知直线平行)②过空间一点n有且有一条直线与已知平面垂直③过空间一点，有且只有一个平面与已知直线垂直应用申常用于"反

'证法"或洞一法”1.三类角的定义：(1)异面直线所成的角。： 0°<0<90°三垂线定理、逆定理PA__,AO为PO在内射影a则aOAaPOaPOaAO( 0时，b//或( 0时，b//或b（2）直线与平面所成的角:（3）二面角：二面角的平面角0, 0°<0<180《定义法） （三垂线定理法） C《定义法） （三垂线定理法） C垂面法，匹棱，）2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线， 然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法” 直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。【典型例题】（一）与角有关的问题例1.（1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为（2222ppA.60° B.45° C.30° D.120解：取AC中点G,连结EG、FG,则TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"_ 1_ _ 1\o"CurrentDocument"EG//—PC,FG//—AB2 2•••/EGF为AB与PC所成的角在△EGF中，由余弦定理，_2 _2 2EGFGEFcos/EGF \o"CurrentDocument"2 2 2_2 _2 2EGFGEFcos/EGF 2・EG・FG\o"CurrentDocument"5 3 7 12・EG・FG\o"CurrentDocument"253 2・•・AB与PC所成的角为180°—120°=60°，选A(2)已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为( )Aq13B.46设正四棱锥的高为解：73h,斜高为h'Aq13B.46设正四棱锥的高为解：73h,斜高为h'h2D..26261由题目：一412h2 6「•侧棱长PB.h「•侧棱长PB.h2OB2262OB 13•.cos/PBO 2_———2，选A(3)如图，在正方体ABCDA1B1c1D1中，P为A1D1上的一个定点，Q为A1B1上的任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，有下列命题：①点P到平面QEF的距离为定值；②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；③二面角P—EF—Q的大小为定值；④三棱锥P-QEF的体积为定值其中正确命题的序号是。和平面QEF即是平面A1BQD11・•.A1D1上定点P到面A1B1CD的距离为定值，①对，②错二面角P-EF-Q,即面PDF与面A1B1CD所成的角，且平面角/PDA1为定值，，③对因为AiBi//DC,且EF为定值，Sqef为定值又P点到平面QEF的距离为定值，VPQEF为定值，：④对综上，①③④正确。例2.图①是一个正方体的表面展开图， MN和PQ是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN,PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；(3)求二面角M—NQ—P的大小。解：(1)如图②，作出图①MN、PQ•••PQ//NC,又4MNC为正三角形・./MNC=60°•.PQ与MN解：(1)如图②，作出图①MN、PQ•••PQ//NC,又4MNC为正三角形・./MNC=60°•.PQ与MN成角为60°⑵VmNPQVQPMN1 . 1c\o"CurrentDocument"~ 2s PMNMQ -SPMDN MQ\o"CurrentDocument"6 61二V正方体6即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为 1:6(3)连结MA交PQ于。点，则MOXPQ又NPL面PAQM,NPXMO,贝UMOL面PNQ过。作OELNQ,连结ME,则MEXNQ丁./MEO为二面角M—NQ—P的平面角在RtANMQ中，ME•NQ=MN-MQ设正方体的棱长为a2a,aME 3a、.6一 a,又MO3在RtMEO中,sin/MEOMOME.22a 3,6 2—a3./MEO=60°即二面角M—NQ—P的大小为60°。77AA例3.如图，已知四棱锥P—ABCD,PBXAD,侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。P解：(1)作POL平面ABCD,垂足为O,连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,连结PEAD±PB, AD±OB(根据)••PA=PD,.1.OA=OD于是OB平分AD,点E为AD中点••PEXAD••/PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角./PEB=120°,/PEO=60°又PE33,PPOPEsin60on.亘-2 2即为P点到面ABCD的距离。(2)由已知ABCD为菱形，及^PAD为边长为2的正三角形PA=AB=2,又易证PBXBC故取PB中点G,PC中点F贝UAG±PB,GF//BC又BCXPB, GFXPB••/AGF为面APB与面CPB所成的平面角••GF//BC//AD, /AGF=兀一/GAE连结GE,易证AE，平面POB又PEBE百，G为PB中点1 C./PEG-ZPEB60o2

TOC\o"1-5"\h\z•.GEPEcos60o 31_1\o"CurrentDocument"2 2， ， 1在RtAGE中，AE—AD12GE、,3••tan/GAE AE2arctan_3_2arctan2 .3所以所求一面角的大小为 arctan--2(2)解法2:如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点,x轴平行于DAP(0,0,予，B(03 3c、『°)PB的中点G的坐标为(0,,连结AG又A(1,(2)解法2:如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点,x轴平行于DAP(0,0,予，B(03 3c、『°)PB的中点G的坐标为(0,,连结AG又A(1,2,3.320)由此得到GA(1,PB(0,i-BC(2,0,0)于是GA-PB0,BCPBPB,BC±PBBCBC的夹角为所求二面角的平面角于是cos于是cosGA•BC|GA|-|BC||GA|-|BC|：所求二面角大小为2、,：所求二面角大小为2、,7arccos （二）与距离有关的问题TOC\o"1-5"\h\z例4.（1）已知在△ABC中，AB=9,AC=15,/BAC=120°,它所在平面外一点 P至iJ^ABC三个顶点的距离都是14,那么点P到平面ABC的距离是（ ）A.13 B.11 C.9 D.7解：设点P在△ABC所在平面上的射影为OPA=PB=PC,..O为4ABC的外心△ABC中，AB=9,AC=15,/BAC=120°・••BC921522915COS120021asinA2R,RasinA2R,R21.•.PO 142 732 7（2）在直三棱柱（2）在直三棱柱ABCA1B1cl中，ABBC22,BB1 2,/ABC90°,E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为。Ai 5BAi 5B解：（采用展开图的方法）将平面B1BCC1沿B1B旋转使两矩形A1ABB1与B1BCC1在同一平面内连接EF,则EF为所求的最短路径BiF口如图①，EF A1E2A1F2Bl图③22BiF口如图①，EF A1E2A1F2Bl图③222如图②展开，EF如图③展开，EF比较这三种方式展开，可见沿表面从E到F的最短路径长度为；2点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。140°与西经130°,设（3）140°与西经130°,设地球半径为R,则甲、乙两地的球面距离是（ ）1 1 _3A.RB.RC.1 1 _3A.RB.RC.一R2 4 2D.-R3由题意ZAO.B由题意ZAO.B360°解： 11400130° 90°（Oi为小圆圆心）又由题意0又由题意01A01B则1AB中，ABR・•.△AOB为正三角形(O为球心)/AOB—3「•A、B两点球面距离为一R3•••选D例5.如图，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形，PAL平面ABCD,E、F分别是AB、PD中点。(1)求证：AF//平面PEC;(2)若AD=2,CD2^2,二面角P—CD—B为45°,求点F到平面PEC解：G为PC中点，连结FG、EG又F为PD中点一1___ 1_FG//—CD,又AE//—CD2 2.FGIIAE••・四边形AEGF为平行四边形.AF//EG,又EGWPEC,AF面PEC•.AF//平面PEC•••CDXAD,又PA±WABCDAD为PD在面ABCD上射影••CDXPD丁./PDA为二面角P—CD—B的平面角，且/PDA=45则4PAD为等腰直角三角形••AFXPD,又CD，平面PAD••CDXAFAF±mPCD作FH，PC于H,则AF，FH又EG//AF,EGXFHFH±mPEC, FH为F到面PEC的距离在RtAPEG中，FH-PG=PF-FG

••・FH二上1TOC\o"1-5"\h\z「22 .22方法2:（体积法）••・AF//面PEC,故只要求点A到面PEC的距离d\o"CurrentDocument"1由VAPEC VPAEC即1sPEC。d1sAE「PA\o"CurrentDocument"3易证AF，面PCD,，EG，面PCDEG，PCSAEC1AE2EG1SAEC1AE2EG12一2 _2、2 2 222s••d—AEC.PASPECBC- 22,222.2 1（三）对命题条件的探索例（三）对命题条件的探索例6.（1）如图已知矩形ABCD中，AB=3,BC=a,若PAL平面ABCD,取点E,使PELDE,则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（ ）BC边上A.a6 B.a6C.0a6 D.0a6解：「PA，面ABCD,PEIDE由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE±BE所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则AD>2AB=6，选AA'B、B'C'2条棱与（2）如图，在三棱柱ABC—A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、的中点，G为4ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P,使得该棱柱恰有平面A'B、B'C'2条棱与A.K B.H C.G D.B分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线” 。而平面PEF中，EF为定直线，连BC'则F为BC'中点故AC",EF//ABAB//平面PEF,A'B'//平面PEF考虑到若P为K点，则还有AA'、BB'、CC'都平行于FK即它们也都平行于平面PEF,不合题意。同理P也不能为H点，若P为B'点时，EF与B'A'共面也不符合题意(这时只有一条棱平行于平面PEF),可见只能取G点。故选C例7.如图，是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1(1)线段A1B上是否存在一点P使得A1B，平面PAC?若存在，确定P的位置；若不存在，说明理由。(2)点P在线段A1B上，若二面角C—AP—B的大小是arctan2,求P点位置；B,Q(3)Q点在对角线B1D上，使A1B//平面QAC,求。1 1 QDAi 以解：(1)(用反证法)假设BA1，面PAC,则A1BLAC

・A1c1//AC,易知A1B与A1c1成60o即A1B与AC成60o角，与A1BLAC矛盾・•.A1B不垂直于平面PAC・•・不存在点P满足题目条件(2)过B作BHXAP于H,连CHB AB A由于CB，面ABB1由于CB，面ABB1A1,故CHLAP即/BHC是二面角C-AP-B的平面角•.tan/BHC型2BH即但2BH即在RtBHA中，里-AB2BAH=30°在ABP中，—PB— AB,又AB1sin30sin105126 24(3)由于A1B//D1C,：A〔B//面D〔AC.，点Q是直线B1D与面D1AC的交点下面求Q点的位置。设ACABDO,显然QODsQD1B1B〔QB1B〔QB1D1QDDO8.（四）对命题结论的探索例8.（1）正方体ABCDA1B1clD1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APXBDi,则动点P的轨迹是（ ）A.线段B1cB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与BiC中点连成的线段分析：从条件AP^BDi出发，可知AP必在过A点且与BDi垂直的平面BiAC上・•点P必在BiC上，选A（2）如图，斜三棱柱ABC—AiBiCi中，/BAC=90°,BCiXAC,则Ci在底面ABC上的射影H必在（ ）A.直线ABA.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上 D.AABC内部解：连结ACi.AC，AB,又AC±BCiAC±WABCi又AC面ABC,二面ABC，面ABC1且AB为交线则C在面ABC上的射影必在交线AB上，选A例9.在四面体ABCD中，AB±BC,AB±BD,BCXCD,且AB=BC=1。(1)求证：平面CBD，平面ABD;(2)是否存在这样的四面体， 使二面角C—AD—B的平面角为30°?如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角0,使得存在这样的四面体，使二面角 C-AD-B的平面角为0。解：（1）---AB±BC,ABXBD•.AB,平面BCD,又AB面ABD••面ABD，面CBD（2）设CD=x,在面CBD内作CELBD于E由（1）知平面ABD，面BCD,且BD为交线・CEL平面ABD作EF±AD于F,连结CF,则CFXAD・•/CFE为“二面角”C—AD—B的平面角，且/CFE=30°又在RtABCD中，CE•BD=CB-CDxxxx21又CD±BC,又BC为AC在面BCD上射影•••CDXAC贝U在RtAACD中，CF-AD=AC-CDCL2x•.CF x2在RtCEF中,sin/CFECECFx,X212xx222解出x3,无实数解。故不存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为30°又sin/CFEJ,j〔12.11X21・./CFE—,—4 2故。可以取45°〜90间之间的任意角。点评：本题是一道存在性的探索问题。 常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符【模拟试题】一.选择题。TOC\o"1-5"\h\zPA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成60°,则PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）'3 、3 、6A.2 B.2 C.3 D.3.在边长为1的菱形ABCD中，ZABC=60°,将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1,则二面角B—AC—D的余弦值为（ ）1 22 .3A.3 B.2C.3 D.2.三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是 2,3,6,则这个点到三棱锥顶点的距离是（ ）A.11 B.41 C.7 D.61.已知A、B、C是球面上的三点，且AB=6,BC=8,AC=10,球心O到平面ABC的距离为＜11,则球的表面积为（ ）A.36 B.72 C.144 D.2885.AABC边上的高线为AD,BDa，CDb,且ab,将^ABC沿AD折成大小

acos为。的二面角B-AD-C,若 b,则三棱锥A-BCD的侧面△ABC是（ ）A.锐角三角形C.直角三角形B.A.锐角三角形C.直角三角形B.钝角三角形D.形状与a,b的值有关的三角形6.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为 2,（含最底层正方体的底面积）超过 39,则该塔中正方体的个数至少是（且该塔形的表面积）A.4B.5A.4B.5C.6O2,则PAO2,则PA与底当四面体的体积最二.填空题。/BAC.如图，在三棱锥P-ABC中，PAPBPCBC,且面ABC所成角的大小为.如图，矩形ABCD中，AB4，BC3,沿AC把ADAC折起,大时，直线AD与平面ABG所成角的正弦值是

.如图，正方体ABCDA1BiC1Di棱长为1,m、n分别为B1C1、D1C1中点，则点C到截面MNDB的距离是。三.解答题。.如图，正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B「Ci,将AB1C1沿BiCi折起到AiBiCi的位置，使点Ai在平面BBiCiC上的射影恰是线段BC的中点M,求：(1)二面角A1BiCiM的大小；(2)异面直线AiBi与CCi所成角的大小。(用反三角函数表示).如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， ABV2,AF=1,M是线段EF的中点。(1)求证：AM//平面BDE;(2)求二面角A—DF—B的大小；(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°。I今天所做之事勿候明天，目己所做之事勿候他人。尸 ——歌德【试题答案】一.选择题。1.C6.C2.A3.C4.C5.C提示：假设有n个正方体构成，其表面积由二部分组成:(1)俯视图、表面只有一个正方形,(2)侧面则由4n个正方形构成，2其边长为2。且各层(从下往上看)正方形面积构成一个首项为 41公比为2的等比数列。，表面积24」2n13939n的最小值为二.填空题。7.3提示:由题意,P点在面ABC上的射影H是△ABC外心，/BA。2,，H为BC中点)8.59.3提示:VCMDBVMCDB,即1 1-SMBDh-SBCD3 3・C1c••h三.解答题。10.(1)连结AMA1G552552.△ABC为正三角形，M为BC边中点.・A、G、M三点共线，AM±BCTOC\o"1-5"\h\zvB.CJBC,aB.CJAM于G11 ' 11A1G1B1C1・•/A1GM是二面角A1B1C1M的平面角•.•点A1在平面BB1cle上的射影为M\o"CurrentDocument",.A1MXMG,/A1MG 90o在RtA1GM中由ag2gm得/A1GM 60oA1B1与CC1所成的角即二面角A1A1B1与CC1所成的角⑵过B1作B1P"C1C交BC于P,则/A1B1P为异面直线由PB1C1C是平行四边形得:B1B1PC1C1BP,PM••.A1M，面BB1cle于m1BMBP—,A1B1AB1,.A1MXBC,/A1Mp90o本RtA1GM中A1MA1G,sin60o5但1 十?2 2A2 2A1M2PM2— — A.P2在RtA^P中1在A1B1P中，由余弦定理Y d 5Y d 52 1 一 二\o"Cur