2023版高考数学二轮复习第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题教案文

2020版高考数学二轮复习第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题教案文【典例1】设函数f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，那么M＋m＝________.2[显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，设g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，那么g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]【链接高考1】(2022·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，那么f(－a)＝________.－2[由f(a)＝ln(eq\r(1＋a2)－a)＋1＝4，得ln(eq\r(1＋a2)－a)＝3，所以f(－a)＝ln(eq\r(1＋a2)＋a)＋1＝－lneq\f(1,\r(1＋a2)＋a)＋1＝－ln(eq\r(1＋a2)－a)＋1＝－3＋1＝－2.]结论2函数周期性问题定义在R上的函数fx，假设对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得fx＋T＝fx，那么称fx是周期函数，T为其一个周期.,常见的与周期函数有关的结论如下：1如果fx＋a＝－fxa≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a.2如果fx＋a＝EQ\f(1,fx)a≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a.3如果fx＋a＋fx＝ca≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a.4如果fx＝fx＋a＋fx－aa≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝6a.【典例2】定义在R上的函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，那么f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f(2015)＝()A．－2B．－1C．0D．1A[因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，那么f(x)的周期T＝3.那么有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f(2015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f(2015)＋f(2016)－f(2016)＝672×[f(1)＋f(2)＋f(3)]－f(2016)＝－f(0＋3×672)＝－f(0)＝－2，应选A.]【链接高考2】[一题多解](2022·全国卷Ⅱ)f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．假设f(1)＝2，那么f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50C[法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.应选C.法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sineq\f(πx,2)，那么结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.应选C.]结论3函数图象的对称性函数fx是定义在R上的函数.1假设fa＋x＝fb－x恒成立，那么y＝fx的图象关于直线EQx＝\f(a＋b,2)对称，特别地，假设fa＋x＝fa－x恒成立，那么y＝fx的图象关于直线x＝a对称.2假设fa＋x＋fb－x＝c，那么y＝fx的图象关于点EQ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))中心对称.特别地，假设fa＋x＋fa－x＝2b恒成立，那么y＝fx的图象关于点a，b中心对称.)【典例3】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))恒成立，那么实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－2,0]C．[－5，－1] D．[－2,1]B[由f(x＋1)＝f(1－x)可知f(x)图象关于x＝1对称，当a＝0时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3或x≤1，满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))恒成立，由此排除A，C两个选项．当a＝1时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(x＋2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|x＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤eq\f(1,2)，不满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))恒成立，由此排除D选项．综上可知，选B.]【链接高考3】(2022·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，那么()A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称C[f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，那么u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝lnu在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．应选C.]结论4对数、指数形式的经典不等式1．对数形式：1－eq\f(1,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)，当且仅当x＝0时，等号成立．2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．【典例4】设函数f(x)＝1－e－x.证明：当x＞－1时，f(x)≥eq\f(x,x＋1).[证明]f(x)≥eq\f(x,x＋1)(x＞－1)⇔1－e－x≥eq\f(x,x＋1)(x＞－1)⇔1－eq\f(x,x＋1)≥e－x(x＞－1)⇔eq\f(1,x＋1)≥eq\f(1,ex)(x＞－1)⇔x＋1≤ex(x＞－1)．由经典不等式ex≥x＋1(x∈R)恒成立可知x＞－1时，ex≥x＋1.即x＞－1时，f(x)≥eq\f(x,x＋1).【链接高考4】(2022·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜eq\f(x－1,lnx)＜x；(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.[解](1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，lneq\f(1,x)＜eq\f(1,x)－1，即1＜eq\f(x－1,lnx)＜x.(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，那么g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝eq\f(ln\f(c－1,lnc),lnc).当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜eq\f(c－1,lnc)＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.结论5等差数列的有关结论1．假设Sm，S2m.S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．2．假设等差数列{an}的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，那么所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(am,am＋1).3．假设等差数列{an}的项数为2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数之和为S偶，那么所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(m,m－1).【典例5】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，那么m＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，那么数列的公差d＝________.(1)10(2)5[(1)由am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0得2am－aeq\o\al(2,m)＝0，解得am＝0或2.又S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝(2m－1)am＝38，显然可得am≠0，所以am＝2.代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项和为S偶，等差数列的公差为d.由条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝354，,S偶∶S奇＝32∶27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))又S偶－S奇＝6d，所以d＝eq\f(192－162,6)＝5.]【链接高考5】(2022·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设a1＋a3＋a5＝3，那么S5＝()A．5B．7C．9D．11A[法一：利用等差数列的性质进行求解．∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝5，应选A.法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5(a1＋2d)＝5，应选A.]结论6等比数列的有关结论1公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列n∈N*.2假设等比数列的项数为2nn∈N*，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，那么S偶＝qS奇.3等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，那么Sm＋n＝Sm＋qmSnm，n∈N*.【典例6】(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设eq\f(S6,S3)＝3，那么eq\f(S9,S6)＝()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(8,3)D．3(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2).①求数列{an}的通项公式；②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值．(1)B[(1)由eq\f(S6,S3)＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，那么(2S3)2＝S3(S9－3S3)．化简得S9＝7S3，从而eq\f(S9,S6)＝eq\f(7S3,3S3)＝eq\f(7,3).(2)①由S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝eq\f(1,2).故通项公式an＝eq\f(1,2)×2n－1＝2n－2.②由(1)及题意可得log2an＝n－2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝eq\f(25×－1＋23,2)＝275.]【链接高考6】(2022·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，那么a8＝________.32[设{an}的首项为a1，公比为q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))所以a8＝eq\f(1,4)×27＝25＝32.]结论7多面体的外接球和内切球1长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；假设长方体外接球的半径为R，那么有2R2＝a2＋b2＋c2.2棱长为a的正四面体内切球半径EQr＝\f(\r(6),12)a，外接球半径EQR＝\f(\r(6),4)a.【典例7】(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，那么该几何体外接球的外表积为()A．24π B．29πC．48π D．58π(2)一个三棱锥的所有棱长均为eq\r(2)，那么该三棱锥的内切球的体积为________．(1)B(2)eq\f(\r(3),54)π[(1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A­BCD)，其外接球即为长方体的外接球．外表积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.(2)由题意可知，该三棱锥为正四面体，如下图．AE＝AB·sin60°＝eq\f(\r(6),2)，AO＝eq\f(2,3)AE＝eq\f(\r(6),3)，DO＝eq\r(AD2－AO2)＝eq\f(2\r(3),3)，三棱锥的体积VD­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·DO＝eq\f(1,3)，设内切球的半径为r，那么VD­ABC＝eq\f(1,3)r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝eq\f(1,3)，r＝eq\f(\r(3),6)，V内切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(\r(3),54)π.]【链接高考7】(2022·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为________．14π[∵长方体的顶点都在球O的球面上，∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为R，那么2R＝eq\r(32＋22＋12)＝eq\r(14).∴球O的外表积为S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)))2＝14π.]结论8过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦过抛物线y2＝2pxp＞0焦点的弦AB有：1xA·xB＝EQ\f(p2,4).2yA·yB＝－p2.3|AB|＝xA＋xB＋p＝EQ\f(2p,sin2α)α是直线AB的倾斜角.【典例8】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A