考研数学线性代数基础-6print

Keynote本章授课要 题型一二次型 题型二正定与合同

ᕚ௔դහf(x,x,!,x)ax2

x2

!

x2 x

2axx!

fky2

ky2

!ky2

中，平方项的系数k1,k2,!, 只在1,1,0三个数中取值，fy21

! ypy

y2p

0y2 !0y 的 的取 a，则2ax ax

ax

f(x,x,!,x)ax2a12x1x2!

axx x2! x

!

n1xn

an2xn

!

x2

xx,x,!,x

2

n

A

an

2"

x fxTAxAf②二次型的秩记为r，正惯性指数记为p，负惯性指数记为q，则有rp

xcy

! y

x2c21y1c22

! y y

y! y n

或x! !

则由变量x1,x2,!, 到y1,y2,!,yn的替换称为一个线性变换 矩阵C

!!! !!! cn 当CC0本章授课要 题型一二次型 题型二正定与合同 第一步，把二次型表示为矩阵形式xTAx；第二步，求A的特征值及相应的特征向量； y；1Cyy2n1 xCy

Ax111

2

2...y1yy2yn.1y

xTAxdy2dy2dy x1y1 x2y1 x3 xn

y2

2后，再按 【例6.1】化二次型f(x1,x2,x3)2x1x2

xy 在f中不含平方项，由于含有x1,x2，故可先令 x2y1f2x1x2

2y22y24yy4y 2y24yy 2(yy)22(y

2y2y2

4yy2y z1y1

y1z1令z2y2 即y2z2 z3

x1z1 zz 二次型化为标准形f2z22z 00

2f(x1x2x3

4x1x3

EA

035 5令EA0，解得的特征值为 5,5 11

2001

12 12 0

215 5

5 5 5 555

特征值

对应的特征向量 55 55 2

把

，

，

1

12 22 2 2

1

1 1

2

3 5 5 5 5

2 2

22 22 xCyC

55 5 5fx1x2x32x1x24x1x3

5y2 5y2 本章授课要 题型一二次型 题型二正定与合同两个n阶实对称矩阵A,B，若存在可逆矩阵C使得CTACB, 矩阵与B合同，记作A; B的充要条件是：二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数A!B

AA!BrAr(B)ABABA与BrArABABA与B合同，但AB④若A与BrArBrAtr；A与B 1

0【例6.2】断A 1

，B 0 1

0rA1,r(B)1,AB由|EA|332，知矩阵A 且A~

AB0A~BABxTAx与xTBx有相同的正、负惯性指AB本章授课要 题型一二次型 题型二正定与合同

f(xx,,xxTAx

fx

若矩阵A

a2

an

ak 称n为阶行列式的kk12nA的n②其正惯性指数p

f(xx,!,xxT⑤存在可逆矩阵CACTCA与E

f(x,x,!,x)xT

0(i1,2,!,n);

A AkAk0ATA1A* （A）12251013394212253720104263702【解析】方法一（排除法

0，选项（C）中行列式|A| （D）12，2635，全大于0，本章授课要 题型一二次型 题型二正定与合同 【例6.4

fx,x,

x

2x

2xx

p ,q 3【解析】f2x22xx2xx2x22xx2x22(x1x1x)23(x3

x

2y23y2

p2,q 【例6.5

x,x,xxTAx2x22x24xx4xx8xx的矩阵A

【解析】按定义，二次型矩阵A 4由特征多项

2EA

6y

4

z2

z2 本章授课要 题型一二次型 题型二正定与合同【例6.6】二次型x24x2

4x22tx

4x2

正定，则t x24x2

4x22tx

4x2 A 11

即2 4 t(2, 2

t |A| 4t8 t

【例6.7n元二次型xTAx正定的充分必要条PPT

q0q0pn中矩阵C是否可逆不明确，若C不可逆则|A||CTC||C|20矩阵A 1

0

1，B

0A与B（

0

|EA|0A0,3,3，而B0,1,1AB不相似.又rArB2，且A、BBB)本章授课要 题型一二次型 题型二正定与合同

A

1

f(x,x,x)

(

xQyf【解析】（1）A初等行变换，A

0 0 a1 1 由r(A)r(ATA) 得a1 1

2 （2）AA

1

2

1

4ATAEATA00(001010((0(2)(00

2，6，0 11

(2E

A)x

(1,1,0)T1 当26时，解得(6EAA)x0的基础解系 (1,1,2)1 230(0E当

A)x0的基础解