2022年广东省惠州市中考数学总复习：二次函数

2022年广东省惠州市中考数学总复习：二次函数

1.如图，用长为18〃?的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃.

（1）设矩形的一边为x（〃?），面积为y（〃/）,求y关于x的函数表达式;

（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

【解答】解：（1）由题意可得，

y—x（18-x）--X2+18X,

即y关于x的函数表达式为y=-/+18x；

（2）•.•>=-』+18x=-Cx-9）2+81,

.•.当x=9时，y取得最大值，此时18-x=9,

即当x=9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81机2.

2.受“新冠肺炎疫情”的影响，某经营店欠下了38400元的无息贷款，想转行经营服装店，

又缺少资金，扶贫工作组筹集了资金，决定借给该店30000元资金，并约定利润还债务

（所有债务均不计利息），已知该店代理的品牌服装的进价为40元/件，该品牌日销售量

y（件）与销售价x（元/件）之间的关系，可用图中的折线（实线）来表示，该店支付员

工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不含债务）.

（1）求日销售量y与x之间的函数关系式；

（2）该店不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件，当天正好收支平衡，求该店员

工的人数；

（3）若该店只有两名员工，则该店最早需要多少天能偿还清所有债务，此时每件服装的

价格定为多少？

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【解答】解：（1）当40WxW58忖，设y与x的函数解析式为y—Mix+历,

40kl+瓦=60

由图象可得，

58kl+九=24'

%=—2

解得

bi=140'

***y=2x+140»

当58VxW71时，设y与x的函数解析式为y—kix+ln,

58/C+⑦=24

由图象可得2

71k2+b2=11'

=-1

=82

-x+82,

-2x+140(40<%<58)

综上所述：y=

-x+82(58<x<71)

（2）设有员工a人，当x=48时，y=-2X48+140=44,

・・.(48-40)X44=106+82〃，

解得：4=3,

答：该店有员工3人.

68400

(3)设需要b天,则卅(x-40)y-82X2-106]>68400,b>

(%-40)y-82x2-106

68400

①当40«8时，b>

-2X2+220X-5870,

68400

：.b>

-2(X-55)2+180,

・I、68400

»•b>[go=3o8on0；

②时，6840068400

58VA<71h>22，

-2X+122X-3550-(X-61)+171

：.b>=400,

综上所述，最早要380天，此时售价为55元.

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3.已知抛物线产--2ox-3+2/(々wo).

(1)求这条抛物线的对称轴：

(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；

(3)设点产(，〃，)“)，Q(3,y2)在抛物线上，若yi<>2,求根的取值范围.

【解答】解：(1),抛物线y—ax^-2ax~3+2a^—a(x-1)~+2a^-a-3.

.♦.抛物线的对称轴为直线x=l;

(2)•.•抛物线的顶点在x轴上，

1(?-a-3—01

解得〃=|或。=-1,

抛物线为y=|x2-3x+慨或y=-7+2v-1；

(3)•.,抛物线的对称轴为x=l,

则Q(3,")关于x=l对称点的坐标为(-1,»),

.•.当“>0,-1<机<3时，y\<y2;当a<0,机<-1或/n>3时，y\<y2.

4.如图，已知二次函数y=-f+〃x+c的图象经过点A(3,1),点B(0,4).

(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)点C(〃?，n)在该二次函数图象上.

①当，"=-1时，求"的值；

②当,时，”最大值为5,最小值为1,请根据图象直接写出，〃的取值范围.

【解答】解：(1):二次函数y=-/+法+c的图象经过点A(3,1),点B(0,4).

.•・｛；：3b+c=l,解得忆j

.•.该二次函数为)，=-X2+2X+4,

•.•产-(x-1)2+5,

.••顶点为(1,5)；

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（2）♦.•点C（m,n）在该二次函数图象上,

①当m=-1时，则C（-1,〃），

把C（-1,"）代入y--，+2x+4得，n=I；

②当时，〃最大值为5,最小值为1,

•••抛物线的顶点为（1,5）,

把y=1代入y--f+2x+4得1=-/+2x+4,解得xi=3,X2—~1,

.，.m的取值范围是-lWmWl.

5.对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a/+/zx+c（a,b,

c为常数，且nWO）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以OP为边构造正方形OPMN,

则称正方形OPMN为二次函数y^a^+bx+c的关联正方形，称二次函数y^a^+bx+c为

正方形OPMN的关联二次函数.若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为

伴随点.

（1）如图，直接写出二次函数y=（x+1）2-2的关联正方形OPMN顶点N的坐标（-

2,1）或（2,-1）,并验证点N是否为伴随点否（填"是"或”否”）：

（2）当二次函数），=-/+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，

请解答下列问题：

①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时,求c的取值范围：

②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y=-7+4x+c的解析式；

③关联正方形OPMN被二次函数y=-，+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别

为S1与S2,若SiW/S2,请直接写出c的取值范围.

【解答】解：（1）如图1,过点尸作轴于点A,过点N作NBLx轴于点B

：.ZPAO^ZOBN=90Q

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•・•二次函数y=(x+1)2-2顶点P(-1,-2)

AB4=2,OA=1

•・•四边形OPMN是正方形

：.OP=ON,NPON=90°

JZAOP+ZBON=/BON+/BNO=90°

：.ZAOP=ZBNO

在△80N与△APO中

20BN=Z.PAO

乙BNO=乙40P

ON=PO

：./\BON^/\APO(A4S)

：.BO=PA=2,BN=AO=1

若MN在OP左侧，则点N在第二象限，N(-2,1)

Vx=-2时，尸(-2+1)2-2=-1W1

・••点N不在二次函数的图象上

:・N(-2,1)不是伴随点

若MN在OP右侧，则点N在第四象限，N(2,-1)

・・,X=2时，y=(2+1)2-2=7W-1

・・・N(2,-1)不是伴随点

故答案为：(-2,1)或(2,-1)；否.

(2)过点P作布Lc轴于点4过点N作轴于点B

由(1)可得：/\BON^/\APO

Vy=-7+4X+C=-(%-2)2+C+4

：.P(2,c+4)

：.BN=OA=2,B0=RA=\c+4\

①i)如图2,若点尸在第一象限

TP与N位于x轴的两侧，点M、N在x轴的异侧

・••点N在第四象限，PA>BN

p+4>0

lc+4>2解得：c>-2

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ii)如图3,若点尸在第四象限

...点N在第一象限，PA>BN

/.[C+4<°解得：c<-6

l-(c+4)>2

综上所述，点M、N在x轴的异侧时，c的取值范围为c<-6或c>-2.

②过点M作MC1PA于点C

.•./MCP=N%0=90°

NPMC+/MPC=NMPC+/O附=90°

：.ZPMC=ZOFA

在△PCM与△OAP中

NPCM=AOAP

乙PMC=Z-OPA

、PM=OP

：.APCM^/\OAP(A4S)

・・・CM=B4=|c+4|,PC=OA=2

i)如图2,若点尸在第一象限，贝!Jc+4>0

XM=OA+CAf=2+c+4=c+6,yM=yp-PC=c+4-2=c+2

M(c+6,c+2)

丁点M是伴随点，即点M在二次函数y=-/+4x+c图象上

/•-(c+6)2+4(c+6)+c=c+2

解得：Cl=-4-V2(舍去)，C2=-4+V2

ii)如图3,若点P在第四象限，则点M在点尸上方

・・•二次函数图象开口向下

・,•点M不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点

综上所述，关联函数的解析式为y=-7+4工+四一4

(3)VS1<|s2,S1+S2=S正方形OPMN

・・・S223sl

・•・Si+S224sl

Si<去S正方形OPMN

i)如图4,当点尸、M在x轴同侧时(由①可知eV-6或c>-2),对称轴