2022年高考数学必练题及答案解析

2022年高考数学考前必练题

1.如图，在五面体ABCQEF中，四边形A8EF为正方形，平面A8EF_L平面CQFE,CD//

EF,DF1EF,EF=2CD=2.

(1)若QF=2,求二面角A-CE-F的正弦值；

(2)若平面ACnL平面BCE,求。尸的长.

【分析】(1)证明DFVAF.AF_L平面CDFE.在平面CEF内过点尸作FGVCE于G,

连结AG,则AGJ_C£说明NAGF为二面角A-CE-F的平面角.通过求解三角形推出

二面角A-CE-F的正弦值即可.

(2)设平面ACFC平面BCF=/.推出A尸〃平面BCE.AF//1.证明C凡L/.C凡L平面

BCE.得到CFJ_CE,设力尸=f(f>0),然后利用勾股定理求解即可.

【解答】解：(1)因为平面A8EF_L平面CDFE,平面ABE/n平面CDFE=EF,DFL

EF,OFu平面CDFE,

所以力/_L平面ABEF,所以

又因为AF_LEF,CDFE,EFu平面CDFE,DFCEF=F.

所以A月L平面CDFE.

在平面CEF内过点F作FG±CE于G,连结AG,则AG±CE.

所以/AGF为二面角A-CE-尸的平面角.

ABCDFEGl

在△CEF中，CE=CF=遮,EF=2,

由SACEF=.XEFXDF=2xCEXFG,得FG=寺.

在AAFG中，AG=y/AF2+FG2=竿，

所以sinZ/AGF=需=字，

V5

所以二面角A-CE-F的正弦值为

(2)设平面4CFA平面8C/=/.

因为四边形A8E尸为正方形，所以A/〃BE.又AFC平面8CE,8Eu平面8CE,

所以AF〃平面BCE.

又AFu平面ACF,平面4CFA平面BCE=/,所以AP〃/.

因为AFL平面CQFE,CFu平面COFE,所以AFLCF,所以CFL.

又平面ACF_L平面BCE,平面ACFCI平面8CE=/,CFu平面ACF,

所以CF_L平面BCE.

又CEu平面BCE,所以CFLCE,所以©产+(；d=£产.

设。尸=f(f>0),贝ljCF=Ft2+1,CE=>Jt2+1,所以(?+l)+(?+l)=22,

解得r=l.即DF=1.

【点评】本题考查二面角的平面角的求法，空间点、线、面距离的求法，是中档题.

2.如图所示的几何体中，ABC。是菱形，NABC=60°,布J_平面ABC。，AP//BF//DE,

AP=AB=2BF=2DE=4.

(1)求证：平面B4C_L平面PCE；

(2)求二面角B-PC-E的正弦值.

【分析】(1)取尸C中点M,连结8Q,设8。交AC于。，先证明。。_1_平面必C,再证

明四边形OMEO是平行四边形，则OO〃EM,由此得到EMJ_平面力C,进而得证；

(2)建立空间直角坐标系，求得平面BPC及平面PCE的法向量，利用向量公式求解即

可.

【解答】解：(1)证明：取PC中点/，连结80,设8。交AC于。，连结。“，EM,

在菱形A8CD中，0£>_LAC,

•.•朋_L平面ABC。，OOu平面ABC。，A0D1PA,

又以AAC=4,PA,4Cu平面%C,，0£)_L平面以C,

1

,：O,M分别是AC,PC的中点，：.OM//PA,OM=^PA,

5l.DE//PA,DE=^PA,J.OM//DE,且OM=OE,

四边形OMED是平行四边形，则OO〃EM,平面PAC,

又EMu平面PCE,；.平面以C_L平面PCE.

(2)由(1)中证明知，OMJ_平面48CC,则OB,OC,0M两两垂直，以08,0C,

0M所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由B4=A8=28尸=2DE=4及ABCZ)是菱形，NABC=60°得，AC=4,BD=4V3,则

BQW，0,0),C(0,2,0),P(0,-2,4),F(-2V3,0,2),PC=(0,4,-4),

PB=(2V3,2,-4),PE=(-2V3,2,-2),

设平面尸BC的一个法向量为益=(a,b,c),贝47n.学=°,即卜卢a+2b-4c=0,

I蔡•PC=0(4b-4c=0

取a=l,求得b=c=遮，所以m=(l,V3,遮)，

同理，可求得平面PCE的一个法向量为蔡=(0,2,2),

设平面PBC与平面PCE构成的二面角的平面角为6,Rij|cos0|=\cos<m,n>\=

|m|-|n|/7,2727

又8e|0,nJ,sinO>O,

/•sind=V1—cos26=亨，

V7

平面PBC与平面PCE构成的二面角的正弦值为

【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推

理能力以及运算求解能力，属于中档题.

3.已知四边形ABC。，/B4C=NAOC=90°,DC=DA=与AB,将△AOC沿4c翻折至

△E4c.

（1）若求证以_LBC；

71

（2）若二面角P-AC-8为:，求直线8C与平面附8所成角的正弦值.

【分析】（1）利用勾股定理证明结合已知条件可以证明孙，平面P2C,由线

面垂直的性质定理即可证明以以J_BC；

（2）先利用二面角的定义找到二面角的平面角，从而得到线段之间的关系，建立合适的

空间直角坐标系，求出点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，由

线面角的求解公式计算即可.

【解答】（1）证明：因为。C=D4=%8,PA^PB,

所以PB=B4=D4=导AB,

11

在△刑B中，^iPA2+PB2=^AB2+^AB2=AB2,

所以PA1.PB,

又N4DC=90°,即NAPC=90°,所以附_LPC,

因为PBAPC=P,PB,PCu平面PBC,

所以出J_平面PBC,

又BCu平面PBC,

所以PAYBC-,

(2)解：取AC的中点E,BC的中点F,连结EF,PE,则EF〃AB,

因为N5AC=90°,所以4B_LAC,所以ERLAC,

因为DC=DA,即PC=PA,所以PE1AC,

所以NPE尸为二面角P-AC-8的平面角，NPEF=?

设QC=QA=¥AB=V^,则AC='DC2+=2=AB,PE=^AC=CE=AE=1,

以点E为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则4(1,0,0),B(l,2,0),C(-l,0,0),P(0,孝，孝)，

所以3=(2,2,0),AB=(0,2,0),AP=(-1,孕，孝)，

设平面P8C的一个法向量为%=(%,y,z),

L-(2y=0

则,”=0,即

^n-AP=0{~x+Ty+TZ=O

令x