2022-2023学年北京市某中学学校数学九上期末考试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.抛物线y=-（x+l）2-2的顶点到x轴的距离为（）

A.-1B.-2C.2D.3

2.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，ZABC=90°,CA±x

A.4B.272C.2D.V2

3.有三个质地、大小一样的纸条上面分别写着三个数，其中两个正数，一个负数，任意抽取一张，记下数的符号后,

放回摇匀，再重复同样的操作一次，试问两次抽到的数字之积是正数的概率为（）

1452

A.-B.—C.—D.一

3993

4.若关于x的一元二次方程d—4x+左=0有两个不相等的实数根，那么A的取值范围是（）

A.际0B.k>4C.k<4D.«V4且分0

5.如图所示的网格是正方形网格，图中AABC绕着一个点旋转，得到△4577,点C的对应点C所在的区域在1区〜4

区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）

C.3区D.4区

6.观察下列图形，是中心对称图形的是（

7.已知△ABC,)

A.上B.。。外C.Q0内

8.关于X的一元二次方程x2-mx+（m-2）=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

9.如图，在aABC中，NACB=90。，CD_LAB于点D,则图中相似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

32

10.若一=一,则下列等式一定成立的是（）

%y

cc/X2y2

A.3x=2_yB.xy=6C.—=—D.—=—

y3X3

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三

月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x,则可列方程为.

12.己知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则它的侧面积为（结果保留了）.

13.抛物线），=-/+2x-l在对称轴（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的.

14.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆破高1.2m，测得AB=1.6m,BC=12.4m，则建筑物CD的高是

m.

15.如图，四边形ABCD是菱形，00经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若ND=70°,则NEAC的度数

16.如图,在矩形488中，E在AB上,在矩形ABC。的内部作正方形3EFG.当AB=6,8C=8时，若直线AE将

矩形ABCO的面积分成1:3两部分，则BE的长为.

17.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C',再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D

和点A重合•若AB=3,BC=4,则折痕EF的长为

18.如图，RSABC中，NA=90。，NB=30。，AC=6,以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面

积为.（结果保留兀）

19.（10分）化简求值：+匕肛），其中a=2cos3（T+tan45。.

a3a

20.（6分）如图，在AA6c中，AC=BC,ZAC8=12O。，点。是A3边上一点，连接CO,以CO为边作等边

△CD£.

(1)如图1,若NCDB=45°,AB=6求等边'DE的边长;

图1

(2)如图2,点。在A3边上移动过程中，连接3E,取3E的中点/，连接Cf。/7,过点力作OGLAC于点G.

图2

①求证:CFADFx

②如图3,将△(7")沿CR翻折得△CF。'，连接比r,直接写出处的最小值.

AB

图3

21.(6分)如图1,抛物线y=-V+ZJX+C与x轴相交于点A、点B,与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=L

交x轴于点D,顶点为点E.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接AC,CE,AE,求AACE的面积；

(3)如图2,点F在y轴上，且OF=0,点N是抛物线在第一象限内一动点，且在抛物线对称轴右侧，连接ON交

对称轴于点G,连接GF,若GF平分NOGE,求点N的坐标.

22.(8分)如图，A3为。。的直径，弦AC的长为8cm.

(1)尺规作图：过圆心。作弦AC的垂线交弦AC于点0,交优弧ABC于点用(保留作图痕迹，不要求写作

法)；

(2)若。E的长为8"〃，求直径48的长.

23.(8分)已知二次函数yi=x2-2x-3,一次函数y2=x-l.

(1)在同一坐标系中，画出这两个函数的图象；

(2)根据图形，求满足yi>yz的x的取值范围.

%

5~

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345%

-1-

-2-

-3~

-4_

-5-

24.（8分）哈尔滨市教育局以冰雪节为契机，在全市校园内开展多姿多彩的冰雪活动.某校为激发学生参与冰雪体育

活动热情，开设了“滑冰、抽冰泰、冰球、冰壶、雪地足球”五个冰雪项目，并开展了以“我最喜欢的冰雪项目”为

主题的调查活动，围绕“在滑冰、抽冰维、冰球、冰壶、雪地足球中，你最喜欢的冰雪项目是什么？（每名学生必选

且只选一个）”的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统

计图.请根据统计图的信息回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？

（2）求本次调查中，最喜欢冰球项目的人数，并补全条形统计图；

（3）若该中学共有1800名学生，请你估计该中学最喜欢雪地足球的学生约有多少名.

图1图？

25.（10分）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销

售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数

关系如下图所示：

（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；

（2）求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.

26.（10分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形

叫做等对边四边形.如图，在AABC中，AB>AC,点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于点O,如果/A

是锐角，ZDCB=ZEBC=-ZA.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

2

E

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【分析】根据二次函数的顶点式即可得到顶点纵坐标，即可判断距x轴的距离.

【详解】由题意可知顶点纵坐标为：-2,即到x轴的距离为2.

故选C.

【点睛】

本题考查顶点式的基本性质，需要注意题目考查的是距离即为坐标绝对值.

2、A

【解析】作BD±AC于D,如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=V2AB=2V2，BD=AD=CD=&,再利用

ACJ_x轴得到C（血，2血），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值.

【详解】作BDLAC于D,如图，

VAABC为等腰直角三角形，

.•.AC=&AB=20,

/.BD=AD=CD=V2，

•••ACLx轴，

AC（亚,272），

k

把C（a，272）代入y=一得k=72x2a=4,

x

故选A.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=&（k

x

为常数，k#0）的图象是双曲线，图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k是解题的关键.

3、C

【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果与两次抽到的数字之积是正数的情况数，然后利用概率公式求解

即可.

【详解】解：两个正数分别用a,b表示，一个负数用c表示，画树状图如下：

/NZNZN

abcabcabc

共有9种等情况数，其中两次抽到的数字之积是正数的有5种，

则两次抽到的数字之积是正数的概率是，；

9

故选：C.

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

4、C

【解析】根据判别式的意义得到4=（-1）2-lk>0,然后解不等式即可.

（详解】•••关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，

二A=(-4)2-4左＞0

解得：k<l.

故答案为：C.

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的

关系：(1)△>()方程有两个不相等的实数根；(2)△=()方程有两个相等的实数根；(3)△<()方程没有实数根.

5、D

【分析】如图，连接AA',BB',分别作44、8万的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而便可判断出点C位

置.

如图，连接AAlBB',分别作的中垂线，两直线的交点O即为旋转中心，连接OC,易得旋转角为90°,

从而进一步即可判断出点C位置.在4区.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握相关方法是解题关键.

6、C

【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握概念是解题的关键.

7、B

【解析】根据圆周角定理可知当NC=90°时，点C在圆上，由由题意NC=88。，根据三角形外角的性质可知点C在

圆外.

【详解】解：•••以AB为直径作。O,

当点C在圆上时，则NC=90°

而由题意NC=88。，根据三角形外角的性质

...点C在圆外.

c

故选：B.

【点睛】

本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.

8、A

【解析】试题解析：A=b2-4ac=m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

点睛：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>2方程有两个不相等的实数根；

(2)△=00方程有两个相等的实数根；

(3)A►方程没有实数根.

9、C

【解析】VZACB=90°,CD±AB,

/.△ABC^AACD,

AACDsCBD,

AABCsCBD,

所以有三对相似三角形.

故选C.

10、D

【分析】根据比例的性质:=则ad=bc,逐个判断可得答案.

ba

32

【详解】解：由一=一可得：2x=3y

%y

A.3x=2y,此选项不符合题意

B.xy=6,此选项不符合题意

x2,

C.—=—,则3x=2y,此选项不符合题意

y3

2

D.—,则2x=3y,正确

x3

故选：D

【点睛】

本题考查比例的性质，解题关键在于掌握3=£,则ad=bc.

ba

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、500+500(1+x)+500(1+x)2=1

【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，根据二、三月份平均每月的增长为x,则二月份

的产量是500(1+x)吨，三月份的产量是500(1+x)(1+x)=500(1+x)2,再根据第一季度共生产钢铁1吨列方程即

可.

【详解】依题意得二月份的产量是500(1+x),

三月份的产量是500(1+x)(1+x)=500(1+x)2,

.,.500+500(1+x)+500(1+x)2=1.

故答案为：500+500(1+x)+500(1+x)2=1.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产

量，即三个月的产量之和.

12^8zr

【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式5=,心火即可求出圆锥的侧面积.

2

【详解】解：圆锥的底面圆周长为2乃x2=4万，

则圆锥的侧面积为,x4乃x4=84.

2

故答案为8万.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式.

13、右侧

【解析】根据二次函数的性质解题.

【详解】解：•••a=-lV0,

•••抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，

故答案为：右侧.

点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键.

14、10.5

【解析】先证再利用相似的性质即可求出答案.

【详解】解：由题可知，BELAC,DCLAC

'：BEHDC,

:AAEBsAADC,

.BEAB

''CD-AC*

1.21.6

即nn：----------,

CD1.6+12.4

：.CD=10.5(/n).

故答案为10.5.

【点睛】

本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.

15、15°

【分析】根据菱形的性质求NACD的度数，根据圆内接四边形的性质求NAEC的度数，由三角形的内角和求解.

【详解】解：；四边形ABCD是菱形，

.♦.AD〃BC,AD=DC,

:.ZDAC=ZACB,ZDAC=ZDCA

VZD=70",

：.ZACB=55",

■:四边形ABCD是。O的内接四边形，

AZAEC+ZD=180°,

AZAEC=180°-70°=110°,

/.ZEAC=180°-ZAEC-ZACB=180°-55°-110°=15°,

AZEAC=15°.

故答案为：15°

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质和圆的性质是解答此题的关键.

【分析】分二种情形分别求解：①如图1中，延长A尸交BC于M，当BM=CW=4时，直线A”将矩形A3CO的

面积分成1:3两部分.②如图2中，延长A/交CO于M交8。的延长线于K,当=3时，直线AH将

矩形ABCD的面积分成1:3两部分.

【详解】解：如图1中，设直线A"交3c于M,当BM=CM=4时，直线A"将矩形A8CQ的面积分成1:3两

部分.

.AEEH

6-tt

------=-,

64

12

z=­•

如图2中，设直线长AE交CD于M交BC的延长线于K,当。0=DW=3时，直线A”将矩形ABC。的面积分

成1:3两部分，易证

:.AD=CK=8,

-.■EHHBK,

.AEEH

••=9

ABBK

.6-rt

---=---9

616

48

11

1242

综上所述，满足条件的r的值为《或打.

,rM12r48

故答案为：7或

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关

键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

25

17、—

12

【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得ABND是等腰三角形，则在RSABN中，利用勾股定理，借助于方

程即可求得AN的长，又由AANBgAC'ND,易得：/FDM=/ABN,由三角函数的性质即可求得MF的长，又

由中位线的性质求得EM的长，则问题得解

【详解】如图，设BC'与AD交于N,EF与AD交于M,

BC

根据折叠的性质可得：/NBD=/CBD,AM=DM=-AD,/FMD=/EMD=90°，

2

•••四边形ABCD是矩形，

AD//BC,AD=BC=4,/BAD=90°，

../ADB=NCBD,

.•./NBD=/ADB,

..BN=DN,

设AN=x,则BN=DN=4—x,

•.在RSABN中，AB2+AN2=BN2»

32+x2=(4-x)2,

7

7

即AN=-,

8

•.•C'D=CD=AB=3,NBAD=/C'=90。，/ANB=/C'ND,

.-.△ANB乌AC'ND(AAS),

...^FDM=/ABN,

tan^FDM=tan/ABN,

ANMF

一-

A-MD

7L-B

8M"

-

3F2

7

M

-一»

12

由折叠的性质可得：EF_LAD，

.-.EF//AB,

AM=DM，

13

,-.ME=-AB=-,

22

3725

,-.EF=ME+MF=-+—=

21212

故答案为三25.

12

【点睛】

本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难

度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用.

18、9百-3Jt

【解析】试题解析：连结AD.

•.•宜角AABC中,NA=90。，NB=30。，AC=6,

.•,ZC=60°,AB=66,

VAD=AC,

...三角形ACD是等边三角形,

:.ZCAD=60°,

...NDAE=30°,

...图中阴影部分的面积=-x6x6x6x3y/3-30万*'兀

22360

三、解答题（共66分）

【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法，约分化简，最后根据特殊角的三

角函数值求出a的值，代入计算.

【详解】解：原式=四+生土生

a3a

。+13a

a（a+l）（a-l）

3

-9

a-\

当a=2cos300+tan45°=2X旦1=6+1时，

2

原式=总丁百，

20、（1）V6;（2）证明见解析；（3）最小值为也

6

【分析】（1）过C做CF_LAB,垂足为F,由题意可得NB=3O。，用正切函数可求CF的长，再用正弦函数即可求解；

⑵如图（2）1：延长BC至G使CG=BC,易得△CGE^^CAD,可得CF〃GE,得NCFA=90。,CF=，GE再证

2

DG=-AD,得CF=DG,可得四边形DGFC是矩形即可；

2

f

（3）如图（2）2：设ED与AC相交于G,连接FG先证△EDFgAFD，B得BD，=DE,当DE最大时叫最小，然

AB

后求解即可；

【详解】解：（1）如图：过C做CFJLAB,垂足为F,

VAC=BC,ZACB=\20o,AB=6

：.ZA=ZB=30°,BF=3

CFCFG

•tanN/RB=-----=------=

BF33

，CF=G

▽...._CFA/3x/2

-zQ•sin.^_CDB—sin4C5O-----=-------------

DCDC2

：.DC=y/6

等边的边长为太；

(2)①如图(2)1：延长BC到G使CG=BC

(2)1

VZACB=120°

/.ZGCE=180°-120°=60°,NA=NB=30°

又TNACB=60。

/.ZGCE=ZACD

X'.'CE=CD

.,.△CGE^ACAD(SAS)

，NG=NA=30。，GE=AD

又；EF=FB

1

，GE〃FC,GE=yFC,

:.ZBCF=ZG=30°

:.ZACF=ZACB-ZBCF=90°

.,.CF/7DG

,:NA=30°

/.GD=-AD,

2

.•.CF=DG

二四边形DGFC是平行四边形，

又；NACF=90°

.••四边形DGFC是矩形，

/.CFADF

②）如图（2）2：设ED与AC相交于G,连接FG

(2)2

由题意得：EF=BF,ZEFD=ZD'FBFD'=FD

/.△EDF^AFD'B

.\BD'=DE

.,.BD'=CD

uiy

，当B"取最小值时，——有最小值

AB

当CDJ_AB时，BD%i」AC,

2

设CDmin=a,贝!JAC=BC=2a,AB=2百a

BD‘aV3

—-的最小值为—产-二—；

2岛6

【点睛】

本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽,

正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.

21、(1)y=-x2+2x+3；(2)1；(3)点N的坐标为：(1+而,上叵).

22

【分析】（1）由点C的坐标，求出c,再由对称轴为x=L求出b,即可得出结论；

（2）先求出点A,E坐标，进而求出直线AE与y轴的交点坐标，最后用三角形面积公式计算即可得出结论;

(3)先利用角平分线定理求出FQ=1,进而利用勾股定理求出OQ=1=FQ,进而求出NBON=45°,求出直线ON的

解析式，最后联立抛物线解析式求解，即可得出结论.

【详解】解：(1)•.•抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C(0,3),

令x=0,则c=3,

•.•对称轴为直线x=l,

2x(-1)

b=2,

二抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

图1

由(1)知，抛物线的解析式为y=-x?+2x+3,

令y=0,贝!J-X2+2X+3=0,

.*.x=-l或x=3,

AA(-1,0),

当x=l时,y=-l+2+3=4,

，E(1,4),

二直线AE的解析式为y=2x+2,

AH(0,2),

.,.CH=3-2=1,

11

.•SAACE=—CH«|XE-XA|=—x1x2=1；

(3)如图2,过点F作FP_LDE于P,则FP=1,过点F作FQ_LON于Q,

图2

：GF平分NOGE,

.,.FQ=FP=1,

在RtAFQO中，OF=0,

根据勾股定理得，OQ=,O尸-EQ?=],

/.OQ=FQ,

:.ZFOQ=45°,

:.ZBON=90°-45°=45°,

过点Q作QMJ_OB于M,OM=QM

AON的解析式为y=x①，

,:点N在抛物线y=-x?+2x+3②上，

y=x

联立①贝叫

1V——X2+2x+3

1+V131-V13

X-x=

2

解得：.或V(由于点N在对称轴x=l右侧，所以舍去),

1+V131-V13

)=y=

22

.•.点N的坐标为：("而,匕巫).

22

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的求法，角平分线定理，勾股定理，直线与抛物线的交

点坐标的求法，求出直线ON的解析式是解本题的关键.

22、(1)见解析：(2)10cm.

【分析】(1)以点A,点C为圆心，大于］AC为半径画弧，两弧的交点和点O的连线交弦AC于点D,交优弧ABC

于点E；

(2)由垂径定理可得AD=CD=4cm,由勾股定理可求OA的长，即可求解.

【详解】(1)如图所示：

(2)'：DE1.AC,

J.AD=CD=4cm,

'：AO2=DO2+AD2,

：.A02=(DE-AO)2+16,

：.A0=5,

.*.AB=2A(7=10c/w.

【点睛】

本题考查了圆的有关知识，勾股定理，灵活运用勾股定理求AO的长是本题的关键.

23、(1)见解析；(2)xV土二叵或x>f叵.

22

【分析】(1)利用描点法画出两函数图象；

(2)设二次函数yi=x2-2x-3的图象与一次函数yz=x-l的图象相交于A、B两点，如图，通过解方程x?-2x-3

=x-l得A点和B点的横坐标，然后结合函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可.

【详解】解：(1)列表如下：

xy-2-101234

yi50-3-4-305

yz-10

这两个函数的图象，如图,

(2)设二次函数yi=x2-2x-3的图象与一次函数yz=x-l的图象相交于A、B两点，如图,

令yi=y2»得X?-2x-3=x-1,

整理得x2-3x-2=0,解得X1=3-后,X2=±d

22

•••A点和B点的横坐标分别为三姮，土叵，

22

.•.当x<匕叵或x>红叵，

22

•*.yi>y2>

即满足不等式yi>y2的x的取值范围为x<三叵或x>如叵.

22

【点睛】

本题主要考察二次函数的性质及二次函数的图形，解题关键是熟练掌握计算法则.

24、(1)60；(2)12,图见解析；(3)450

【分析】(1)用滑冰的人数除以滑冰的比例，即可解得本次调查共抽取的学生人数.

(2)用总人数减去其他各项的人数，即可得到最喜欢冰球项目的人数，补全条形统计图.

(3)用总人数乘以最喜欢雪地足球的学生的比例，即可进行估算.

【详解】解：(1)18-30%=60(人)

...本次抽样调查共抽取了60名学生

(2)60-18-9-6-15=12(人)

二本次调查中，最喜欢冰球项目的学生人数为12人.

补全条形统计图

(3)1800x—=450(人)

60

二由样本估计总体得该中学最喜欢雪地足球的学生约有450人.

【点睛】

本题考查了概率统计的问题，掌握条形图的性质、饼状图的性质是解题的关键.