2018年数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何突破点10空间中的平行与垂直关系学案文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE10学必求其心得，业必贵于专精突破点10空间中的平行与垂直关系[核心知识提炼］提炼1异面直线的性质(1）异面直线不具有传递性．注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线．（2)异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2）)），所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直．（3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出）适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解;③结论—-由②所求得的角或其补角即为所求。提炼2平面与平面平行的常用性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（3)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．（4）两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.提炼3证明线面位置关系的方法（1）证明线线平行的方法：①三角形的中位线等平面几何中的性质；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理．（2）证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质．(3）证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义,需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理．（4）证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．[高考真题回访]回访1异面直线所成的角1．（2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点,M,N，Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（)A[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点,则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交,∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线,则AB∥CD，CD∥MQ,∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线,则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ。故选A.］2．(2016·全国卷Ⅰ）平面α过正方体ABCD.A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n，则m，A。eq\f（\r（3),2) B．eq\f(\r（2），2）C.eq\f(\r（3），3） D。eq\f(1，3)A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m。又平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥m1。∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为eq\f（\r（3），2)。］回访2线面位置关系的性质与判断3．（2013·全国卷Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于lD[根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D。］4．（2016·全国卷Ⅱ）α，β是两个平面,m，n是两条直线，有下列四个命题:①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。②如果m⊥α，n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号）②③④［对于①,α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α,n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β,所以α，β没有公共点．又m⊂α,所以m，β没有公共点,由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n,所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]热点题型1空间位置关系的判断与证明题型分析:空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考常规的命题形式,此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的应用，同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想．【例1】(1)(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD。A1B1C1D1中，E为棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥ACC［法一：如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B,D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC∴A1E⊥BC1,故C正确；(证明:由条件易知，BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C＝∴BC1⊥平面CEA1B1。又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1）∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．故选C.法二：（空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B（1,1,0）,C(0,1,0）,D（0,0,0)，A1(1，0,1)，C1（0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2)，0)），∴eq\o(A1E,\s\up7(→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－1,\f（1,2)，－1)），eq\o（DC1，\s\up7(→）)＝(0,1，1），eq\o（BD，\s\up7(→）)＝(－1,－1，0），eq\o(BC1,\s\up7（→）)＝（－1，0，1）,eq\o(AC,\s\up7（→）)＝(－1，1，0），∴eq\o(A1E，\s\up7(→)）·eq\o（DC1，\s\up7（→）)≠0，eq\o(A1E，\s\up7(→）)·eq\o(BD，\s\up7（→）)≠0,eq\o（A1E,\s\up7(→）)·eq\o（BC1,\s\up7（→））＝0，eq\o(A1E，\s\up7（→））·eq\o(AC,\s\up7(→））≠0,∴A1E⊥BC1.故选C。](2）(2017·全国卷Ⅰ）如图10­1,在四棱锥P。ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。①证明：平面PAB⊥平面PAD；②若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P。ABCD的体积为eq\f（8,3)，求该四棱锥的侧面积．图10。1[解］①证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD． 1分由于AB∥CD，故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD. 3分又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD． 4分②如图，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD.由①知，AB⊥平面PAD,故AB⊥PE，AB⊥AD,可得PE⊥平面ABCD． 6分设AB＝x，则由已知可得AD＝eq\r（2)x，PE＝eq\f(\r（2),2)x.故四棱锥P。ABCD的体积VP。ABCD＝eq\f（1，3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3）x3。由题设得eq\f(1，3)x3＝eq\f(8,3),故x＝2． 8分从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r（2），PB＝PC＝2eq\r（2）． 10分可得四棱锥P­ABCD的侧面积为eq\f(1，2)PA·PD＋eq\f(1，2）PA·AB＋eq\f(1，2）PD·DC＋eq\f（1，2）BC2sin60°＝6＋2eq\r（3)． 12分[方法指津］在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时，我们可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例和构建几何模型．判断两直线是异面直线是难点,我们可以依据定义来判定,也可以依据定理（过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线）判定．而反证法是证明两直线异面的有效方法．提醒:判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内，而面面位置关系中易忽视两个平面平行．此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例．［变式训练1］（1)(2017·石家庄二模)设m,n是两条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α,则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n,则m∥α，m∥β;④若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为（）【导学号：04024094】A．0 B．1C．2 D．3B[若m⊂α，n∥α，则m,n可能平行或异面，①错误；若α∥β，β∥γ,则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，②正确；若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β，③错误;若α⊥γ,β⊥γ,则α，β可能平行或相交，④错误,故选B.]（2）（2017·全国卷Ⅱ)如图10.2，四棱锥P.ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1，2）AD，∠BAD＝∠ABC＝90°。图10.2①证明:直线BC∥平面PAD；②若△PCD的面积为2eq\r（7)，求四棱锥P.ABCD的体积．［解］①证明：在平面ABCD内,因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD。又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.②如图，取AD的中点M，连接PM，CM。由AB＝BC＝eq\f（1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD。因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD。因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM。设BC＝x，则CM＝x,CD＝eq\r（2)x，PM＝eq\r（3)x,PC＝PD＝2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝eq\f（\r(14)，2）x.因为△PCD的面积为2eq\r（7)，所以eq\f（1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r（14),2）x＝2eq\r(7）。解得x＝－2（舍去）或x＝2.于是AB＝BC＝2,AD＝4，PM＝2eq\r（3)。所以四棱锥P­ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(22＋4，2)×2eq\r（3)＝4eq\r(3)。热点题型2平面图形的翻折问题题型分析:(1）解决翻折问题的关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况．(2)找出其中变化的量和没有变化的量，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化．【例2】（2016·全国卷Ⅱ）如图10­3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E，F分别在AD，CD上,AE＝CF,EF交BD于点H。将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．图10。3(1）证明：AC⊥HD′;(2)若AB＝5,AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r（2)，求五棱锥D′­ABCFE的体积．［解］（1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD． 1分又由AE＝CF得eq\f（AE，AD)＝eq\f(CF，CD），故AC∥EF． 2分由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′,所以AC⊥HD′。 3分（2)由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD）＝eq\f(1,4）． 4分由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2）＝4。所以OH＝1，D′H＝DH＝3。 5分于是OD′2＋OH2＝（2eq\r(2)）2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH． 6分由（1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H,所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′． 8分又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O,所以OD′⊥平面ABC.又由eq\f(EF，AC）＝eq\f（DH，DO)得EF＝eq\f(9，2)． 10分五边形ABCFE的面积S＝eq\f（1,2)×6×8－eq\f(1，2)×eq\f（9，2)×3＝eq\f(69,4). 11分所以五棱锥D′­ABCFE的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(69,4)×2eq\r(2）＝eq\f(23\r(2），2)． 12分［方法指津］翻折问题的注意事项1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．2．把握关系:即比较翻折前后的图形,准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变,哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征,进行空间线面关系逻辑推理的基础．3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．[变式训练2]如图10。4，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f（1,3)AB＝1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB,AC.（1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC，请说明理由；(2)当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【导学号：04024095】图10。4［解]（1)当AP＝eq\f(1，3)AB时,有AD∥平面MPC.理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP． 2分在梯形MBCD中,DC∥MB，eq\f（DN，NB）＝eq\f(DC,MB）＝eq\f（1,2）