概率论与数理统计期末复习

1随机试验，样本空间，随机事件事件的运算和关系：并，交，互斥，对立古典概型几何概型概率的公理化定义条件概率全概率公式和Bayes公式事件的独立性伯努利试验概型和二项概率第一、二章基本概念事件间的关系包含关系：事件A发生必然导致B发生，记为相等关系：，记为A=B。积事件：事件A与B同时发生，记为AB。和事件：事件A或B至少有一个发生，记为差事件：事件A发生而B不发生，记为A-B。互斥事件：事件A、B不能同时发生，即，又称A、B为互不相容事件。逆事件：“A不发生”这一事件称为A的逆事件，记为，A与又称为对立事件。事件间的关系与事件的运算事件的运算律交换律：结合律：分配律：对偶律（DeMorgan德摩根律）：减法：

概率：做n次重复试验，事件A发生的次数记为，当n很大时，若频率稳定在常数P附近，则称P为随机事件A发生的概率，记作P(A)=P。概率的公理化定义：设E是随机试验，S是样本空间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数P(A)，若它满足：非负性：规范性：，S为样本空间（必然事件）可列可加性：若事件中则则称P(A)为事件A的发生概率。概率的性质有限可加性：有限个两两互斥的事件则是A的对立事件，则则一，当A，B互斥即时

推广：预备知识：排列、组合分类计数原理(加法原理)：设完成一件事有k类方法，每类分别有种方法，则完成这件事情共有种方法.分步计数原理(乘法原理)：设完成一件事有k个步骤，第一步有种方法，…,第k步有种方法，则完成这件事情共有种方法.排列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定次序排成一列.

排列数：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数记为注：等可能概型（古典概型）组合：从n个不同元素中取出m个元素并成一组(与顺序无关).

组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记为等可能概型（古典概型）定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型试验的样本空间的元素只有有限个试验中每个基本事件发生的可能性相同等可能概型中事件概率的计算公式：

n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包含的结果数。定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)。例将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A={至少有一次为正面H}，B={两次掷出同一面}，求P(B|A)解：样本空间S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}。则可得：

P(B|A)＝1/3条件概率的计算公式：条件概率乘法定理：设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)推广：P(AB)>0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)设为n个事件，且全概率公式划分：设S为试验E的样本空间，为E的一组事件，若

则称为样本空间S的一个划分.例E：掷骰子观察点数

是S的一个划分不是S的一个划分全概率公式定理：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件.为S的一个划分，且则，称之为全概率公式。注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因的作用下事件A发生概率的方法.

（由因得果）贝叶斯公式（由果溯因）设E的样本空间为S，A为E的事件.为S的一个划分，且，则

为贝叶斯（Bayes）公式.称为先验概率；称为后验概率.条件概率

条件概率小结缩减样本空间

定义式

乘法公式

全概率公式贝叶斯公式独立性独立事件：两事件A、B，A发生对B发生没有影响，B发生也对A没有影响，则称两事件相互独立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例抛甲，乙两枚硬币，A={甲出现正面H}，B={乙出现正面H}，问A，B同时发生的概率.定理四对事件中有一对相互独立，则另外三对也相互独立.独立与互斥的区别：

A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)；

A，B互斥：P(AB)=0。多个事件的独立定义随机试验的结果可以用一个实值变量表示，这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规律性，这种变量称为随机变量，通常用X，Y，Z表示。中心问题：将试验结果数量化随机变量分为离散型和连续型：离散型：X的取值是有限个或可列无限个。连续型：X的取值是连续的。esxX=f(e)—为S上的单值函数，X为实数第三、四、五章随机变量（的函数）及其分布分布律

称为离散型随机变量X的分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来X1、写出可能取值－－即写出了样本点2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率分布律（概率分布）01X1.两点分布，又称为(0-1)分布(0-1)分布的分布律为也可以写为对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即，则一定能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量，令例抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，则01X1-pp三种重要的离散型随机变量2.二项分布随机试验E只有两个可能结果：A和，则称E为伯努利试验。设P(A)=p(0<p<1),则将伯努利试验独立地重复进行n次，称为n重伯努利试验。X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X所有可能取值k=0,1,2,…,n。求P{X=k}P{X=k}记q=1-p，随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为当n=1时，即为(0-1)分布。若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为λ的泊松分布，记3.泊松分布(Poisson分布)Poisson定理设是一个常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有当时近似公式近似效果更佳。定义：设X为一个随机变量，x是任意实数，函数

称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。由分布函数的定义，有分布函数注:分布函数F(x)在x处的函数值表示x落在区间上的概率。(1)(2)F(x)是一个不减函数

(3)对于离散型随机变量，若分布律为则其分布函数分布函数定义：对于随机变量X的分布函数若存在 非负的函数使对于任意实数有：

其中称为X的概率密度函数，简称概率密度。

则称X为连续型随机变量，概率密度1.均匀分布定义：设连续型随机变量X具有概率密度函数则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为注：X落在(a,b)上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与位置无关。三种重要的连续型随机变量均匀分布的分布函数定义：连续型随机变量X的概率密度为称X服从参数为的指数分布，记为指数分布的分布函数2.指数分布定义：设连续型随机变量X的概率密度为

其中为常数，则称X服从参数为的正态分布（也称为Gauss分布），记为3.正态分布

f(x)图形的性质：关于对称结论：当时，取得最大值固定，改变，f(x)的图形不变，沿x轴平移固定，改变，由最大值知，越小，图形越尖，X落在附近的概率越大。时，，即曲线以X轴为渐近线。分布函数F(x)标准正态分布时，称X服从标准正态分布，概率密度函数

分布函数

结论：的函数值见标准正态分布表例，求正态分布转变为标准正态分布引理若，则结论：，则它的分布函数，可写成：

正态分布的问题都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后查书中第382页标准正态分布表得解例，求35第四章二维随机变量二维随机变量的定义和分布函数分布函数的性质二维离散型随机变量二维连续型随机变量边缘分布独立性条件分布36第五章随机变量函数的分布一维离散连续二维离散连续复习建议：书上例题，课后作业（一维连续型）随机变量的函数的分布离散型离散型随机变量的函数分布律的求法：找出Y=g(X)的所有可能取值找出每个值对应的X取值，将对应概率相加例设随机变量X具有分布律求的分布律。 X-10120.20.30.10.4问题提出：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。关键是找出Y的等价事件。连续型

连续型随机变量的函数分布的求法：求Y=g(X)的取值范围分段讨论在取值范围外的y，在取值范围内的y，1.期望的定义、定理、性质及求解2.方差的定义、性质及求解3.六个重要分布的数学期望和方差4.切比雪夫不等式第六章随机变量的数字特征定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。数学期望的定义

定理E(X)的性质定义：方差对于离散型随机变量X，对于连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：方差的性质6种常见分布的期望与方差数学期望方差

分布律或密度函数

分布正态分布指数分布均匀分布U(a,b)泊松分布np(1-p)

np二项分布b(n,p)

p(1-p)

p

0－1分布定理

(切比雪夫不等式)

设X是随机变量，若D(X)存在，则对任何>0，有切比雪夫不等式的等价形式注：

1.切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在E(X)附近的概率。

2.切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研究。1.样本的定义（独立同分布）2.统计量的定义和判别3.统计学三大分布的定义和图形轮廓4.三大分布的分位点定义第七、八章统计基础、统计量及抽样分布样本总体：试验中全部可能的观察值（研究对象的全体，如一批灯泡），一个总体对应于一个随机变量X。个体：每个可能观察值称为个体（组成总体的每个元素，如某个灯泡）抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn),

n为样本容量。简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn