山东省泰安市泰安实验中学2023年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．2．若，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．3．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（）A．0 B．2 C．4 D．14．设为虚数单位，复数，则实数的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．25．，则与位置关系是()A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A． B． C． D．7．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．8．设复数满足，则（）A． B． C． D．9．若复数满足，则的虚部为（）A．5 B． C． D．-510．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（）A． B． C． D．11．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A． B． C． D．12．的展开式中，项的系数为（）A．－23 B．17 C．20 D．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中项的系数是__________14．在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下：寿命（天）频数频率40600.30.4200.1合计2001某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相同，则的最小值为______.15．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.16．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：运动达人非运动达人总计男3560女26总计100（1）（i）将列联表补充完整；（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.附：18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足.（1）求；（2）若，求的值.19．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证：（1）平面；（2）平面平面．20．（12分）设函数.（1）若恒成立，求整数的最大值；（2）求证：.21．（12分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.(1)求的方程；(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.22．（10分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．2、D【解析】因为，所以，因为，，所以,.综上；故选D.3、C【解析】

根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，所以为上的奇函数.由可得，故，故是周期为4的周期函数.因为，所以.因为，故，所以.故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.4、A【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.【详解】复数，由复数乘法运算化简可得，所以由复数定义可知，解得，故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.5、D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．选D．6、D【解析】循环依次为直至结束循环，输出，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．

∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故选C8、D【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.9、C【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10、C【解析】

设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度.【详解】设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系：因此有，设平面的法向量为，所以有，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为.故选：C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.11、A【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，，，高为.∴该几何体的体积为故选：A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.12、B【解析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出，则出，该项为：；②出，则出，该项为：；③出，则出，该项为：；综上所述：合并后的项的系数为17.故选：B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-20【解析】

根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．【详解】解：展开式中项的系数：二项式由通项公式当时，项的系数是，当时，项的系数是，故的系数为；故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14、10【解析】

先求出a，b，根据分层抽样的比例引入正整数k表示n，从而得出的最小值.【详解】由题意得，a=0.2，b=80，由表可知，灯泡样品第一组有40个，第二组有60个，第三组有80个，第四组有20个，所以四个组的比例为2:3:4:1，所以按分层抽样法，购买的灯泡数为n=2k+3k+4k+k=10k()，所以的最小值为10.【点睛】本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题.15、【解析】

采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果.【详解】如图由，所以由，所以又，则所以所以化简可得：则故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.16、或【解析】

依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（i）填表见解析（ii）没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析【解析】

（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出后可得；（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为，的取值为，，由二项分布概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望．【详解】解（1）（i）运动达人非运动达人总计男352560女142640总计4951100（ii）由列联表得所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为，.易知所以的分布列为0123．【点睛】本题考查列联表，考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和期望．属于中档题．本题难点在于认识到．18、（1）；（2）【解析】

（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得，进而求得的值；（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中的值，即可将表达式化为的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得和，进而由正弦定理确定，代入整式即可求解.【详解】（1）因为，所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得，所以.因为，所以.（2）因为，所以由正弦定理代入化简可得，由（1），代入可得，展开化简可得，根据辅助角公式化简可得.因为，所以，所以，所以为等腰三角形，且，所以.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.19、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

(1)连结根据中位线的性质证明即可.(2)证明,再证明平面即可.【详解】解：证明：连结是菱形对角线的交点,为的中点,是棱的中点,平面平面平面解：在菱形中,且为的中点,,,平面平面,平面平面．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.20、（1）整数的最大值为；（2）见解析.【解析】

（1）将不等式变形为，构造函数，利用导数研究函数的单调性并确定其最值，从而得到正整数的最大值；（2）根据（1）的结论得到，利用不等式的基本性质可证得结论.【详解】（1）由得，令，，令，对恒成立，所以，函数在上单调递增，，，，，故存在使得，即，从而当时，有，，所以，函数在上单调递增；当时，有，，所以，函数在上单调递减.所以，，，因此，整数的最大值为；（2）由（1）知恒成立，，令则，，，，，上述等式全部相加得，所以，，因此，【点睛】本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．21、（1）；（2）.【解析】

（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中的关系，即可求得的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程为，由题意可知为中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出，由判别式可得；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简可得，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点的坐标，代入圆的方程，化简可得，代入数量积公式并化简，由换元法令，代入可得，再令及，结合函数单调性即可确定的取值范围，即确定的取值范围，因而可得的取值范围.【详解】（1）分别是椭圆的左焦点和右焦点，则，椭圆的离心率为则解得，所以，所以的方程为.（2）设直线的方程为，点满足，则为中点，点在圆上，设，联立直线与椭圆方程，化简可得，所以则，化简可得，而由弦长公式代入可得为中点，则点在圆上，代入化简可得，所以令，则，，令，则令，则，所以，因为在内单调递增，所以，即所以【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.22、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解析】

（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；（2）