2016年中考数学压轴题辅导

2016年中考数学压轴题辅导(十大类型)

一、动点型问题：

例1.(基础题)如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y

轴交于C点，顶点为D.

(1)求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；

(2)若线段AD上有一动点E,过E作平行于y轴的直线交抛物线于F,当线段EF取得最

大值时，求点E的坐标.

2

变式练习：(2012•杭州模拟)如图，己知抛物线尸a(x-1)+3^3(aAO)经过点A

(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM〃AD.过顶点D平行于x轴的直线交射

线OM于点C,B在x轴正半轴上，连接BC.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时

间为t(s).问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点。和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位

和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运

动设它们运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出

最小值.

(4)在(3)中当t为何值时，以O,P,Q为顶点的三角形与AOAD相似？(直接写出答

案)

二.几何图形的变换(平移、旋转、翻折)

例2.(辽宁省铁岭市)如图所示，已知在直角梯形O4BC中，AB//OC,BC_Lx轴于点C,

A(l,1)、8(3,1).动点P从。点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过

P点作PQ垂直于皂缱0A,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<Z<4),△OPQ与直

角梯形OABC重叠部分的面积为S.

(1)求经过0、4、B三点的抛物线解析式；

(2)求S与/的函数关系式；

(3)将△0PQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点。或Q在抛物线

上？若存在，直接写出f的值；若不存在，请说明理由.

3

变式练习：如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线1：y='x+m与x轴、y轴分别交于

4

点A和点B(0,-1),抛物线y=2x2+bx+c经过点B，且与直线1另一个交点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0<t<4).口£〃丫轴交直线1于点E,点F

在直线1上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数

关系式以及p的最大值；

(3)M是平面内一点，将AAOB绕点M沿逆时针方向旋转90。后，得到AAQIBI，点A、

0、B的对应点分别是点A|、OHBn若AAQiBi的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接

写出点Ai的横坐标.

三.相似与三角函数问题

例3.（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点。（0,1百），且顶点C的横坐标为4,

9

该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P,使以+PO最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q,使aQAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如

果不存在，请说明理由.

(1)0C的长为；

(2)D是OA上一点，以BD为直径作。M,OM交AB于点Q.当0M与y轴相切时，

sinZBOQ=；

(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段0A向点A运动；同时动

点D以相同的速度，从点B沿折线B-C-0向点0运动.当点P到达点A时，两点同时

停止运动.过点P作直线PE〃OC,与折线0-B-A交于点E.设点P运动的时间为t(秒).求

当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.

四.三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）

例4.（广东省湛江市）已知矩形纸片0A8C的长为4,宽为3,以长0A所在的直线为x轴，

0为坐标原点建立平面直角坐标系；点尸是。4边上的动点（与点0A不重合），现将△POC

沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点。，将△必。沿PO翻折，得到△PFD,

使得直线PE、PF重合.

（I）若点E落在8C边上，如图①，求点P、C、。的坐标，并求过此三点的抛物线的函数

关系式；

（2）若点E落在矩形纸片0ABe的内部，如图②，设OP=x,AD=y,当x为何值时，>■

取得最大值？

（3）在（I）的情况下，过点P、C、。三点的抛物线上是否存在点。，使是以

为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点。的坐标.

变式.（广东省深圳市）已知：RtZ\ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角

形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中0AV0B）,直角顶点C落在

y轴正半轴上（如图1）.

（1）求线段OA、0B的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.

（2）如图2,点D的坐标为（2,0）,点P（m,n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0,

n>0）,连接DP交BC于点E.

①当4BDE是等腰三角形时，意谈与出此时点E的坐标.

②又连接CD、CP（如图3）,4CDP是否有最大面积？若有，求出4CDP的最大面积

和此时点P的坐标；若没有，请说明理由.

图2

苏州中考题：（2013年・29题）如图，已知抛物线y=gx2+bx+c（b,c是常数，且c<0）

与x轴分别交于点A,B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标

为（一1,0）.

（l）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）:；

（2）连接BC,过点A作直线AE〃BC,与抛物线y=；x?+bx+c交于点E-点D是x轴上

一点，其坐标为（2,0）,当C,D,E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB,PC,设所得4PBC的

面积为S.

①求S的取值范围；

②若4PBC的面积S为整数，则这样的4PBC共有个.

（第29题）

五、与四边形有关的二次函数问题

例5.（内蒙古赤峰市）如图，RtZXABC的顶点坐标分别为4（0,也）,

22

C（1,0）,ZABC=90°,BC与y轴的交点为。，。点坐标为（0,乎），以点。为顶点、

y轴为对称轴的抛物线过点B.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将aABC沿AC折叠后得到点8的对应点B',求证：四边形AOC3'是矩形，并判断点

B'是否在（1）的抛物线上；

（3）延长8A交抛物线于点E,在线段8E上取一点P,过尸点作x轴的垂线，交抛物线于

点凡是否存在这样的点P,使四边形以。F是平行四边形？若存在，求出点尸的坐标，若

不存在，说明理由.

变式练习：（2011年苏州28题）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正

方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.

（1）如图①，当PA的长度等于时，ZPAB=60°；

当PA的长度等于时，4PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐

标系（点A即为原点O）,把aPAD、APAB>的面积分别记为Si、S2、S3.坐标为

（小b）,试求2sls3—S2?的最大值，并求出此时a,b的值.

（图①）（图②）

苏州中考题：(2011年・29题)已知二次函数y=a(x2-6x+8)(“>0)的图象与x轴分别交

于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

(1)如图①，连接AC,将AOAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O”恰好落在该抛物线

的对称轴上，求实数。的值；

(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边

EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意

一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四

条线段不能构成平行四边形).”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成

立？请你积极探索，并写出探索过程；

(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标f是大于3的常数，试问：是

否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即

这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由.

(图①)（图②）

六、初中数学中的最值问题

例6.(2014•海南)如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点，

与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物

线上的动点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当a=l时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

(3)若APCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请

说明理由.

变式练习.(四川省眉山市)如图，已知直线卜=3犬+1与y轴交于点A,与x轴交于点。，

抛物线+以+。与直线y=gx+i交于小E两点，与x轴交于从C两点，且B点

坐标为(1,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)动点P在x轴上移动，当△R1E是直角三角形时，求点尸的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使AM-MCl的值最大，求出点M的坐标.

苏州中考题：(2012江苏苏州，27,8分)如图，已知半径为2的。O与直线/相切于点A,

点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线/的垂线,垂足为C,PC与。。交于点D,

连接以、PB,设PC的长为.

(1)当时，求弦附、P8的长度；

⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？

B

P

O

D

I

CA

七、定值的问题

例7.（湖南省株洲市）如图，已知△ABC为直角三角形，ZACB=90°,4c=BC,点A、C

在x轴上，点B的坐标为（3,加加＞0）,线段A3与y轴相交于点。，以P（l,0）为顶点的

抛物线过点8、D.

（1）求点A的坐标（用〃，表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点0为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结P。并延长交BC于点E,连结8。

并延长交AC于点F,试证明：R7G4C+EC）为定值.

变式练习：（2012江苏苏州，28,9分）如图，正方形ABC。的边49与矩形EFG”的边FG

重合，将正方形ABCD以lcm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移

动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,

连接PD已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.

设正方形移动时间为无（s）,线段GP的长为y（cm）,其中.

⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；

⑵记AOGP的面积为，ACDG的面积为，试说明是常数；

⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线4c垂直时，求线段PD的长.

CB

G人F

P

HE

苏州中考题：(2014年•苏州)如图,二次函数产a(x2-2mx-3m2)(其中a,机是常数，

且a>0,/«>0)的图象与x轴分别交于点A、8(点A位于点8的左侧)，与y轴交于C(0,

-3),点。在二次函数的图象上，C£)〃AB,连接A。，过点A作射线AE交二次函数的图

象于点E,AB平分ND4E.

(1)用含初的代数式表示a；

(2)求证：他为定值；

AE

(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以

线段GF、AD.AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足

要求的点G即可，并用含机的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

八、存在性问题(如：平行、垂直，动点，面积等)

例8、(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片048。放在平面直角坐标系中，0(0,0),A(6,0),

2

C(0,3).动点。从点。出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动;秒时,

动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点。运动.当其中一点到达终点时，另一点也

停止运动.设点P的运动时间为f(秒).

(1)用含，的代数式表示OP,0Q；

(2)当，=1时，如图1,将△。尸。沿PQ翻折，点。恰好落在边上的点。处，求点。

的坐标；

(1)连结AC,将△OPQ沿尸。翻折，得到△EPQ,如图2.问：PQ与AC能否平

行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的"直；若不能，说明理由.

变式练习：如图，已知抛物线y=ax?+bx+3与x轴交于A(1,0)1B(-3,0)两点，与y

轴交于点C,抛物线的顶点为P,连接AC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q,求直线DC

的解析式；

(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得SAMAP=2SAACP?若存在，求出M点的坐标;

若不存在，请说明理由.

苏州中考题：(2015年苏州•本题满分10分)如图，已知二次函数丁=/+。一〃z)x-w(其

中的图像与x轴交于4、B两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,对称

轴为直线/.设尸为对称轴/上的点，连接以、PC,PA=PC.

(1)NABC的度数为°；

(2)求P点坐标(用含机的代数式表示)；

(3)在坐标轴上是否存在点。(与原点。不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△"C

相似，且线段P。的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点。的坐标；如果不存在，

请说明理由.

模拟试题：在如图的直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(0,-2),将线段AB绕点A

按逆时针方向旋转90。至AC,若抛物线y=-lx2+bx+2经过点C.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0,-2)作不平行于x轴的直线交抛

物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P,使APEF的内心在y轴上？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

(3)在抛物线上是否存在一点M,使得以M为圆心，以返为半径的圆与直线BC相切？

2

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

九、与圆有关的二次函数综合题：

例9.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,其

顶点为D,且直线DC的解析式为y=x+3.

(1)求二次函数的解析式；

(2)求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；

(3)若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值.

变式练习：如图，已知抛物线y=a(x-2)2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y

轴交于点C,点B的坐标为(3,0),连接AC、BC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若P为抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC,设点P的纵坐标表示为m.

试探究：

①当m为何值时，|PA-PC|的值最大？并求出这个最大值.

②在P点的运动过程中，/APB能否与NACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能,

请说明理由.

(备用图)

中考题训练：（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-1）的抛物线交y

轴于A点，交x轴于B,C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0,3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,

请判断抛物线的对称轴1与。C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：当点P运动到什么位

置时，APAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和APAC的最大面积.

苏州中考题：（2015年・27题）如图，已知二次函数一机）x-机（其中0＜相＜1）

的图像与x轴交于A、8两点（点A在点2的左侧），与），轴交于点C,对称轴为直线/.设

P为对称轴/上的点，连接以、PC,PA=PC.

（1）NABC的度数为▲。:

（2）求尸点坐标（用含机的代数式表示）;

（3）在坐标轴上是否存在点。（与原点O不重合），使得以。、B、C为顶点的三角形与△巩C

相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点。的坐标；如果不存在,

请说明理由.

十、其它(如新定义型题、面积问题等)：

例10.定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线

就称为："美丽抛物线”.如图，直线1：y=1x+b经过点M(0,1),一组抛物线的顶点为

34

(byi),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn)(n为正整数),依次是直线1上的点，

这组抛物线与X轴正半轴的交点依次是:Al(XI，0),A2(X2,0),A3G3,0),...An+1(Xn+1，

0)(n为正整数).若xi=d(OVdVl),当d为()时，这组抛物线中存在美丽抛物线.

A.王或-LB.王或旦c.」_^皂D.—

12121212121212

变式练习：

1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，(点A在点B左侧).与

y轴交于点C,顶点为D,直线CD与x轴交于点E.

(1)请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标；

(2)将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F(不与A、B两点重合)，请你求出

F点坐标；

(3)在点B、点F之间的抛物线上有一点P,使4PBF的面积最大，求此时P点坐标及APBF

的最大面积；

(4)若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该

圆半径.

2.练习：(2015河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如

图，直线/：y=+与x轴、y轴分别交于A、B,ZOAB=30°，点尸在x轴上，OP

与/相切，当P在线段04上运动时，使得。P成为整圆的点P个数是()

A.6B.8C.10D.12o

苏州中考题：(2015年・26题)如图，已知A。是△4BC的角平分线，。。经过4、B、D

三点，过点8作BE〃A。，交。。于点E,连接ED.

(1)求证：ED//AC；(2)若8ZA2CD,设△EB。的面积为S1,△AOC的面积为S2,且

2

S1-16S2+4=0,求△ABC的面积.

DC

(第26题)

模拟试题：如图所示，在平面直角坐标系中，OM过点O且与y轴、x轴分别交于A、B

两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C与点M关于x轴对称，已知点M的坐标为

(2,-2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断直线OC与。M的位置关系，并证明；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线OC上的动点，判断是否存在以点P、Q、A、

O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的Q点的坐标；若不存在，请

说明理由.

参考答案：

例1.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据x等于零时，可得C点坐标，根据y等于

零时，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得直线BC的斜率，根据平行线的斜率相等，

可得平行BC的直线的斜率，根据直线与抛物线有一个交点，可得直线与抛物线联立所得的

一元二次方程有一对相等的实数根，可得判别式等于零；(2)根据待定系数法，可得直线

AD的解析式，根据E点在线段AB上，可设出E点坐标，根据EF〃y轴，F在抛物线上,

可得F点的坐标，根据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数性质，可得答案.

【解答】解：(1)当y=0时，x?-2x-3=0,解得xi=-1,x2=3,即A(-1,0),B(3,0).

当x=0时，y=-3,即C(0,-3).设直线BC的解析式为y=kx+b,直线BC经过点B,点

C,得：(3k+b=0,解得|卜:1,设平行于BC且与抛物线只有一个交点的直线解析式为

b=-3产-3

y=x+b,由题意，得：I,②-①，得：x~-3x-3-b=0,只有一个交

y=x2-2x-3(2)

点，得：△=(-3)2-4x(-b-3)=0,解得b=-与直线BC平行且与抛物线只有一

4

个交点的直线解析式y=x-日；

舒时，y(-2)2

(2)y=x2-2x-3,当x=-必4X1义(-3)-

2d4X1

'-k+b=0©

-4,即D(1,-4),设直线AD的解析式是产kx+b,AD的图象过点A、D,得

②

X.k+b=-4

k—2

解得，，直线AD的解析式是y=-2x-2,线段AD上有一动点E,过E作平行于y

b=-2

轴的直线交抛物线于F,设E点坐标是(x,-2x-2),F点坐标是(X,X2-2X-3),-1<X<1,

EF的长是：y=(-2x-2)-(x2-2x-3)=-x2+lo当x=0时，EF地大=1,即点E的坐标

是(0,-2),当线段EF取得最大值时，点E的坐标是(0,-2).

【点评】本题考查了二次函数的综合题，利用了直线与抛物线相切，利用了一元二次方程的

判别式，两点间的距离公式，二次函数的性质，综合性较强.

变式练习：【考点】二次函数综合题。【专题】压轴题.

【分析】(1)将A的坐标代入抛物线y=a(x-1)2+3<3(awO)可得a的值，即可得到抛

物线的解析式；(2)易得D的坐标，过D作DNLOB于N；进而可得DN、AN、AD的长，

根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答

案；(3)根据(2)的结论，易得AOCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将

四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长.(4)

分别利用当△AODS/MDQP与当△AODS^OPQ,得出对应边比值相等，进而求出即可.

【解答】解：(1)..•抛物线y=a(x-1)2+3A/3<a#0)经过点A(-2,0),，0=9a+3、巧，

Aa=-3，；.y=-立(x-1)2+3VS；

33

(2))①TD为抛物线的顶点，・・・D(1,3愿)，过D作DN1OB于N,则DN=3dj,

AN=3,

AAD=^32+735/3)2=6,；.NDAO=60。.：OM〃AD,

①当AD=OPR寸，四边形DAOP是平行四边形，...0P=6,；.t=6.

②当DP_LOM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH_LAD于H,AO=2,则AH=1(如

果没求出NDAO=60。可由RSOHASRJDNA(求AH=1)，OP=DH=5,t=5,

③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：AAOH安4CDP,；.AH=CP,

，OP=AD-2AH=6-2=4,At=4.

综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形：

(3)：D为抛物线的顶点坐标为：DQ,3^3)，过D作DN_LOB于N,则DN=3V3，

AN=3,Z.AD=^32+(373)2=6'•♦•NDAO=60°,AZCOB=60°,OC=OB,AOCB是等

边三角形.贝IOB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,.,.OQ=6-2t(0<t<3)

过P作PE1OQ于E,则PE=^t，SBCPQ=i<6x3V3--x(6-2t)x丑,t

2222

殍(t--|)24后当t=射，SBCPQ的面积最小值为

(4)SAAOD^AOQP,则典盛，VA0=2,AD=6,QO=6-2t,OP=t,；-----

00OP6-2tt

解得：t=23,当AAODsaClPQ,则典典，即解得：t=2

7OPQOt6-2t5

故t=/或单寸以O,P,Q为顶点的三角形与AOAD相似.

【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四边形、直角

梯形、等腰梯形的判定等知识，将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题是考

查重点.

苏州中考题：解：(1)如图①，点P从ATBTCTD,全程共移动了a+2bcm(用含。、b

的代数式表示);

(2):,圆心O移动的距离为2(a-4)cm,由题意，得：a+2h=2(a-4)①，

:点P移动2秒到达B,即点P2s移动了bcm,点P继续移动3s到达BC的中点，

1

即点尸3秒移动了Lea...,且2-②由①②解得(a=24,

223(b=S

♦.•点P移动的速度为与。。移动速度相同，.移动的速度为且&4cm(cm/s).

22

这5秒时间内。0移动的距离为5x4=20（cm）；

（3）存在这种情况，

设点尸移动速度为。。2移动的速度为V2C?n/s,由题意，得

vl_a+2b_204-2＞：10_5

v22(a-4)2(20-4)4,

如图：

设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点、,。0]与AD相切于G点，

若尸3与。。1相切，切点为H,则OiG=O[H.

易得ADO1G四ADOiH,：.ZADB=ZBDP.

'JBC//AD,：.ZADB=ZCBD,：.ZBDP=ZCBD,：.BP=DP.

设8P=xcm,则。P=XCTH,PC=（20-x）cm,在RfZkPCD中，由勾股定理，得

Pd+3=PM即（20-工）2+1。2=*2,解得此时点P移动的距离为10+型=亚（£™）,

2,22

ED1RFE01o

'：EF//AD,：./XBEO\<^/XBAD,：----^=匹，即_L=_2_,EO\=16cm,OO\=\^cm.

ADBA2010

①当。O首次到达。01的位置时，OO移动的距离为14C",

45

此时点尸与。。移动的速度比为2=更，止匕时PD与。。1不能相切；

1428284

②当。。在返回途中到达。。1位置时，。。移动的距离为2（20-4）-14=18c/n,

45

...此时点P与。。移动的速度比为金亚=2此时PD与。01恰好相切.

18364

点评：本题考查了圆的综合题，（1）利用了有理数的加法，（2）利用了P与。。的路程相

等，速度相等得出方程组是解题关键，再利用路程与时间的关系，得出速度，最后利用速度

乘以时间得出结果；（3）利用了相等时间内速度的比等于路程的比，相似三角形的性质，等

腰三角形的判定，勾股定理，利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关键.

例2.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；动点型.

【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax?+bx,把已知坐标代入求出抛物线的解析式.

（2）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式.

(3)根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在.

【解答】解：(1)方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx(aM).

把A(1,1),B(3,1)代入上式得：

a_-y1

鬻上解得.所求抛物线解析式为丫=-斗?+*.

方法二：：A(1,1),B(3,1),...抛物线的对称轴是直线x=2.

设抛物线解析式为产a(x-2)2+h(axO)把O(0,0),A(1,1)代入

=,c、2

得I0a(0-2)c+h，解得，/5，，所求抛物线解析式为y=-工1(x-2)27+4

l=a(1-2)2+hh433

(2)分三种情况：

①当0<t42,重叠部分的面积是SAOPQ，过点A作AFJ_X轴于点F,YA(1,1),

...在RtAOAF中，AF=OF=1,ZAOF=45°,在RtZiOPQ中，OP=t,ZOPQ=ZQOP=45°,

；.PQ=OQ=tcos45°=q.S=1(*t)2=^t2>

②当2<仁3,设PQ交AB于点G,作GHLx轴于点H,ZOPQ=ZQOP=45°,

则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGP.・'・AG=FH=t-2,

.*.S=-l(AG+OP)AF=1(t+t-2)xl=t-1.

22

③当3Vt<4,设PQ与AB交于点M,交BC于点N,重叠部分的面积是S五边形OAMNG

△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC-SABMN-

VB(3,1),OP=t,APC=CN=t-3,AS=-(2+3)xl--1(4-t)2,S=-lt2+4t--.

2222

(3)存在.

当O点在抛物线上时，将O(t,t)代入抛物线解析式，解得t=0(舍去)，t=l；

当Q点在抛物线上时，Q(鸟，L)代入抛物线解析式得t=0(舍去)，t=2.故t=l或2.

【点评】本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能

力，难度较大.

变式练习：解：⑴•.•直线1：产3+m经过点B(0,-1),；.m=-1,.•.直线1的解析式

为y=-x-1,•.•直线1：产&-1经过点C(4,n),；.n=&4-1=2,*.•抛物线y=-x2+bx+c

4442

经过点C(4,2)和点B(0,-1),

19R

—X4+4b+c=2b=一:1c

.♦.2，解得，4,.•.抛物线的解析式为广47-2-1；

c=-1c=-124

(2)令y=0,则&-1=0,解得x=&.•.点A的坐标为0),.".OA=-,在RsOAB

4333

,1•AB=VOA2+OB2=^4)+1滔，

中，OB=1,：DE〃y轴，AZABO=ZDEF,在

矩形DFEG中，EF=DE・cos/DEF=DE冬E,DF=DE・sin/DEF=DE•奥&DE,

AB5AB5

：.p=2(DF+EF)=2(9+卫)DE=AiDE,

555

:点D的横坐标为t(0<tV4),ADCt,-t2--t-1),E(t,4-1),

244

DE=(4-1)-(i2--t-1)=--t2+2t,二p=Ux(-At2+2t)=-工t2+骂，

42425255

•；p=-1(t-2)2+侬，且-工VO,.•.当t=2时，p有最大值圆；

5555

(3):△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90。，；从101〃丫轴时，BQi〃x轴，设点Ai的

横坐标为X,

①如图1,点01、Bi在抛物线上时，点01的横坐标为x,点臼的横坐标为x+1,

-x2-与-1=1(x+1)2-2(x+1)-1,解得x=W

24244

②如图2,点Ai、Bi在抛物线上时，点Bi的横坐标为x+1,点Ai的纵坐标比点Bi的纵坐

标大&

3

/.—X2-—X-1=—(x+1)2--(x+1)-1+—,解得X=--,

2424312

综上所述，点A)的横坐标为卫或--1

例3.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.

【分析】（1）已知了顶点的横坐标，可用顶点式来设二次函数的解析式如：y=a（x-4）2+k,

根据二次函数过点（。，早），可得出为中6a+k；由于A、B关于x=4对称，且AB=6,

99

不难得出A、B的坐标为（1,0）,（7,0）,可将它们的坐标代入解析式中即可求出a、k的

值.（2）本题的关键是确定P的位置，由于对称轴垂直平分AB,因此P不论在对称轴的什

么位置都有PA=PB,连接DB,如果P是交点时，PA+PD的长就是BD的长，两点之间线

段最短，因此要想PA+PD最小，P必为DB与对称轴的交点.可根据B、D的坐标求出BD

所在直线的解析式，然后求出与抛物线对称轴的交点.即可得出P点的坐标.（3）由于三

角形ABC是等腰三角形，要想使QAB与三角形ABC相似，三角形QAB必须为等腰三角

形.要分两种情况进行讨论：①当Q在x轴下方时，Q,C重合，Q点的坐标就是C点的

坐标.②当Q在x轴上方时，应该有两个符合条件的点，抛物线的对称轴左右两侧各一个，

且这两点关于抛物线的对称轴相对称.因此只需求出一点的坐标即可.以AQ=AB为例：可

过Q作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，根据BQ即AB的长以及NQBx的度数来求

出Q的坐标.然后根据对称性求出另外一点Q的坐标.

【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k

•顶点C的横坐标为4,且过点（0,—^）.'.y=a（x-4）2+k,jy^=16a+k①

又•.•对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6,；.A（1,0）,B（7,0）

2

，0=9a+k②。由①②解得a=r3,k=-A/3,...二次函数的解析式为：y=^（x-4）-yj3

99

（2）：点A、B关于直线x=4对称，；.PA=PB,.\PA+PD=PB+PD>DBo二当点P在线段

DB上时PA+PD取得最小值，；.DB与对称轴的交点即为所求点Po

设直线x=4与x轴交于点M。：PM〃OD,AZBPM=ZBDO,又：NPBM=NDBO,