含2套高考模拟题高中数学第一章集合与函数概念小结一预习案新人教A版必修1

第■■合与函数喻J结㈠

【教学目标】

1.知识与技能

复习集合与函数知识要点、数学思想、方法，构建知识.要点结构网络，将零散的知识方法能够用网络的

形式进行归类整理。让学生学会复习与总结的方法；

2.过程与方法

通过对集合函数知识的疏理“建立集合与函数知识要点网络.

3.情感、态度、价值观

培养学.生复习的方法，提高学生的学习能力。

【知识回顾】

一、构建集合的主要知识点网络

二、写出下列知识要点并熟记

1.集合与元素

2.集合之向的关系:

3.集合的三种运算：用描述法表示集合A、B的交、并、补:

4.集合中常用结论与公式总结：

(1)①—AA_A;;若A#①,贝！］①—A.(2)AqBo=.

(3)AUB=O=

(4)设集合A={aba%…,a„)的子集个数为真子集个数为.

(5)AUB=U且AnB=O=

(6)Cu(AUB)=Cu(AnB)=.(不要求记忆)

【自主检测】

1.用列举法表示下列集合

(1)A={xeR|x2=9}；(2)B={xeN|0<xW2}；(3)C={x|x2-3x+2=0}.

2.已知集合A={x|x2=l},B={x|ax=l}.若BGA,求实数a的值.

3.已知集合A={(x,Ml2x-y=0},B={(x,y)13x+y=0},C={(x,y)12x-y=3},

求AQB,；AAC；(ADB)U(ACC)；

【组内互检】

1.知识要点并熟记；

2.常用结论与公式总结.

2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知复数二满足』=1一，，则5=()

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.

【详解】

111+Z1+Z11.

由［=17、得Z=F=f)=『2+「，

所以，z=--^z.

22

故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

2.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长

除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率谓“兀.设胡夫金字塔的高为〃，假如对胡夫金字塔进行亮

化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为

Az.,2/+4、,„小JT?+16、,

A.(4兀H------------)hB.(2KH)h

C.(8兀+4>/2兀2+1〉D.(2兀+J2兀2+16)3

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

设胡夫金字塔的底面边长为。，由题可得当=兀，所以“=孚，

2h2

该金字塔的侧棱长为「+(争=,+?=帅丁6,

所以需要灯带的总长度约为4x她已还+4x独=(2兀+727716)/7，故选D.

42

3."-1Wx+y<l且一是"V+y41，,的()

A.充分非必要条件B,必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

画出“―lWx+y<l,—I<x-y<l,x2+y24],所表示的平面区域，即可进行判断.

【详解】

如图，"-且一表示的区域是如图所示的正方形，

记为集合P,“-+'2<],,表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q,

显然P是。的真子集，所以答案是充分非必要条件，

故选:A.

【点睛】

本题考查了不等式表示的平面区域问题，考查命题的充分条件和必要条件的判断，难度较易.

4.设口，b,c是非零向量•若。/=怜“=；3+》>。，则()

A.a-(h+c)-0B.a(b-c)=0C.(a+/?)-c=()D.(a-/?)c=0

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得：若a-c=b'c,则(a—>>c=0；若a.c=—b•c，则由=—(^ct+b)-c

可知，a-c=bc=0>故(a-/?)-c=0也成立，故选D.

考点：平面向量数量积.

【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、

坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理

之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求

解（较易）；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解（较难）；③建系，借助向量的坐标运算,

此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.

5.已知F是双曲线C:履2+y2=4|A|（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离

为（）

A.2kB.4kC.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

分析可得k<0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

当左»0时，等式区2+丁=4|七不是双曲线的方程；当k<（）时，履2+丁=4|左|=一4左,可化为

22

=1，可得虚半轴长。=2,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

-4k4

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

tan(a-71)=一(，

则sina+cosa等于().

【答案】B

【解析】

【分析】

3

由已知条件利用诱导公式得tana=-二，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.

4

【详解】

3

由题意得tan(a-7i)=tana=

又所以二£由兀）cosa（0,sin<z）0,结合sin2a+cos%=l解得

34

sine=—,cosa=——,

55

341

所以sina+cosa,

故选B.

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.

7.执行程序框图，则输出的数值为（）

A.12B.29C.70D.169

【答案】C

【解析】

【分析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量匕的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.

【详解】

a=0,b-l>n—\t。=0+2=2,n<5>满足条件，

2-0

a=----=1,n=2,力=1+4=5,n<5,满足条件，

2

a=---=2,〃=3,Z?=2+10=12,n<5>满足条件，

2

12-2

a=----=5,”=4,人=5+24=29,n<5,满足条件，

2

29-5

a=-----=12,n=5,人=12+58=7（）,n=5,不满足条件，

2

输出8=70.

故选：c

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.

8.在直角坐标系中，已知A（l,0）,B（4,0）,若直线x+my-1=0上存在点P,使得|PA|=2|PB],则正

实数m的最小值是（）

1J3r

A.-B.3C.—D.J3

33

【答案】D

【解析】

【分析】

设点尸（1—冲,y）,由|~4|=2|尸却，得关于y的方程.由题意，该方程有解，则A20,求出正实数m的

取值范围，即求正实数m的最小值.

【详解】

由题意，设点P（1-殴,y）.

倒=2|叫.•.附2=4归砰，

即+y2=4[（1_加>_4）~+y2,

整理得（加2+1））2+8〃U+12=0,

则△=（8加）2-4（裙+1卜1220,解得加26或〃zW-JL

m>0,.\rn>>/3,.,.mmin=6

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.

【答案】A

【解析】

【分析】

分子分母同乘1+i，即根据复数的除法法则求解即可.

【详解】

“2+3/(2+3z)(l+z)15.

解-------=-------------=----k—Z

廨，1-i(l-z)(l+z)22'

故选:A

【点睛】

本题考查复数的除法运算,属于基础题.

10.把函数/(x)=Asin(2x-£](AH0)的图象向右平移5个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函

数g(X-m)(〃7＞0)是偶函数，则实数”的最小值是()

57rTI

A.--B.—C.一

1266

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出g(X)的解析式，再求出g(X-〃。(〃2＞。)的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数，"满足

的等式，从而可求其最小值.

【详解】

/(x)=Asin0x-f(A关0)的图象向右平移:个单位长度,

/、(Jt\24、

所得图象对应的函数解析式为g(x)=Asin2%-彳一二=Asmlx-—-,

12

\2o37

故g（x-机）=Asin

3）

27ryr7乃IcTT

令2x—----=kjrH—,kE,Z9解得x—m-\-----1---,keZ.

32122

因为y=g(x-m)为偶函数，故直线x=o为其图象的对称轴,

八7乃攵乃c.丁口77■左乃

令m+——+——=0,Z£Z,nX根=>keZ,

122122

因为，然＞0,故左W-2,当％=—2时，〃?min=---

12

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量X做加减，比如把

y=〃2x）的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为y=/[2（x—l）]=〃2x—2）,另

外，如果x="为正弦型函数/（x）=Asin（3x+°）图象的对称轴，则有/（加）=±A,本题属于中档题.

11.等差数列｛4｝中，0+%=10，。4=7,则数列｛““｝前6项和S<,为。

A.18B.24C.36D.72

【答案】C

【解析】

【分析】

由等差数列的性质可得见=5,根据等差数列的前«项和公式S6=""x6=上1x6可得结果.

【详解】

••.等差数列｛4｝中，q+%=1°，,2%=10,即%=5,

4+4A/+4z-5+7

..Sc.=--x6=———-x6=---x6=36,

6222

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前〃项和公式的应用，属于基础题.

12.抛物线。：：/=2网>>0）的焦点为b，点4（6,%）是C上一点，⑷71=2。，贝!!〃=（）

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线定义得|A耳=6+],即可解得结果.

【详解】

因为|A同=2p=6+g所以〃=4.

故选B

【点睛】

本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在A6C中，2A6=3AC,AO是NMC的角平分线，设=则实数〃？的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】

设AB=3r,AC=2f,N84D=NC4D=a,由S,。+=S^c，用面积公式表示面积可得到

m=^cos<z,利用即得解.

【详解】

设AB=3f,AC=2r,ZBAD=NC4D=a,

由S&BAD+SACAD=S^BAC得：

--3^•2mt-sincr+--2/-2mt•sin«=—•3/•2r-sin2a,

222

化简得〃?=(cosa,

由于a,

故机

故答案为：^0,—j

【点睛】

本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.

24

14.直线〃式+盯-2=0(m>0,”>0)过圆C：/+丁-2x-2y-l=0的圆心，则一+一的最小

mn

值是.

【答案】3+20；

【解析】

【分析】

求出圆心坐标，代入直线方程得相，〃的关系，再由基本不等式求得题中最小值.

【详解】

圆C：f+y2—2x—2y—1=0的标准方程为(x—l)2+(y—1)2=3,圆心为C(l,l),

由题意加十几一2=0,即"z+〃=2,

2412、/、八2m几八、2mnr:、1/口皿、b2根n

•,•一+—=（z——F—）（，〃+〃）=3H------1——>3+2./—x一=3+242,当且仅当—=一,即on

mnmnnmVnmnm

m=2（、反-1）,n=2（2-血）时等号成立，

故答案为：3+20.

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，"1"的代换法求最小

值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值

15.抛物线尸=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为.

【答案】1

【解析】

【分析】

设抛物线上任意一点的坐标为（/，%），根据抛物线的定义求得%，并求出对应的y0,即可得出结果.

【详解】

设抛物线上任意一点的坐标为（毛,为），

抛物线y2=4x的准线方程为》=一1,由抛物线的定义得.%+1=1,解得.%=0,此时%=0.

因此，抛物线y2=4X上到其焦点的距离为1的点的个数为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.

16.不等式◎+1+/小〈》/对于定义域内的任意》恒成立，则”的取值范围为.

【答案】（一8,1]

【解析】

【分析】

根据题意，分离参数，转化为aW旦也」只对于（0,+力）内的任意x恒成立，令

X

1x+lnx_11

，g（x）=-------%」，则只需在定义域内aWg（x）即可，利用放缩法e'Nx+l，

XX

得出之x+inx+1,化简后得出g"）.,即可得出。的取值范围.

【详解】

解：已知奴+1+/nrKxe'对于定义域（0,+力）内的任意x恒成立，

即a4x"一力1对于（0,+oo）内的任意x恒成立，

X

令g（X）=,则只需在定义域内aWg（x）而n即可，

X

/、xex-lnx-\e'nx-e（-lnx-lev+lnx-lnx-1

g（x）=--------------=--------------------=------------------，

XXX

ex>x+\，当x=0时取等号，

由e'Nx+1可知，e'+inx>x+\nx+i，当x+lnx=0时取等号，

/\^A+,n'—Inx—1x+Inx+1—Inx—1

・•・g（x）=-----------------2-----------------------=11'

XX

当x+lnx=0有解时，

令/z（x）=x+lnx（x>0）,贝!]/?/（%）=1+—>0,

・・・/z（x）在（。,+8）上单调递增，

又力（£|=:―1<°'〃⑴=1>°，

*e（0,+oo）使得A（xo）=O,

，g（x）min=l，

则〃<1,

所以。的取值范围为（-8,1].

故答案为：（—8』].

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转

化能力和计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个

定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Qr中，方程夕=a（l-sin。）（a〉0）表示的曲线G

就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点。为坐标原点的直角坐标系X。)，中.已知曲

(1)求曲线G的极坐标方程；

(2)若曲线G与相交于A、。、8三点，求线段的长.

7T

【答案】(1)e=—(psR)；(2)2a.

6

【解析】

【分析】

(1)化简得到直线方程为y=9%,再利用极坐标公式计算得到答案.

3

(2)联立方程计算得到,计算得到答案.

【详解】

X=1+厂

(1)由，百消/得，x-6y=()即y=

y=—+t3

I3

C,是过原点且倾斜角为丁的直线，二C,的极坐标方程为。=工(peR).

66

a

f得,.

(2)由＜A

p-«(l-sin0)。=土

6

3a

e上，P=W

由＜6得＜\AB\=-+—=2a.

6上22

夕=〃(1-sin3)

6

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

18.如图1,在边长为4的正方形ABC。中，E是AD的中点，尸是8的中点，现将三角形五沿EF

翻折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.

（1）求证：AC平面P£F；

（2）若平面PEEL平面45CEE,求直线P8与平面“4£所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）2叵.

15

【解析】

【分析】

（1）利用线面平行的定义证明即可

（2）取所的中点0,并分别连接。尸，OB,然后，证明相应的线面垂直关系，分别以OE,OB,0P

为x轴，轴，二轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可

【详解】

证明：（1）在图1中，连接AC.

又E，R分别为AO,CO中点，

所以族AC.即图2中有EFAC.

又EFu平面PEF,ACZ平面尸£尸,

所以力C平面PEF.

解：（2）在图2中，取族的中点。，并分别连接。P,0B.

分析知，OPVEF,OBLEF.

又平面庄户，平面ABCEE,平面PEF平面ABCEE=石尸，POu平面PEF，所以尸0,平面

ABCFE.

又AB=4,所以PF=AE=PE=2,EO=OP=OF=亚，OB=3C.

分别以OB,OP为x轴，)'轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),P(0,0,V2),

B(0,372,0),E(V2,0,0),A(2A/2,5/2,0),所以BP=(0,-3&,@,£4=(72,72,0),

EP=(-V2,0,V2).

Ox+Cy=0

设平面Q4£的一个法向量〃=(x,y,z),贝卜

-yfQ,X+>/2z=0

取x=l,则y=-l,z=l,所以〃=(1,—1,1).

又二|研|"cos<BP,n>,

0x1+(—30)x(—l)+0xl

____2y/30

所以cos<BP,n>=----

■+卜3夜7+(亚『x/G

分析知，直线P3与平面E4E所成角的正弦值为2甄.

15

【点睛】

本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题

19.已知数列｛q｝满足4=1,an=2an_1+2H-1(/?>2),数列也｝满足bn=an+2n+3.

(I)求证数列也｝是等比数列；

(D)求数列｛4｝的前〃项和S,,.

【答案】(I)见证明；(H)S„=3x2n+1-n2-4n-6

【解析】

【分析】

(I)利用等比数列的定义结合。,,一1=2。,1+2〃-1(〃22)得出数列也｝是等比数列

(U)数列｛〃“｝是"等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前”项和S“.

【详解】

解：(I)当〃=1时，q=l,故a=6.

当〃22时，an=2an_i+2n-l,

则bn=u,n+2〃+3=2a+2〃-1+2〃+3=2(a“_j+2〃+1)=2[a“_]+2(n-1)+3])

b„=2%,

数列｛，｝是首项为6,公比为2的等比数列.

(n)由(I)得包=3x2",an=bn-2n-3=3x2"—2〃—3，

；.S.=3(2+2?++2")-2(l+2++n)-3n=3.£t|j_/7(n+1),3n

.-.5„=3x2,,+l-n2-4n-6.

【点睛】

b

(i)证明数列｛2｝是等比数列可利用定义法广=%(q?0)得出

(H)采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

1r22

20.已知离心率为一的椭圆M:J+4v=1(〃＞。＞0)经过点

2a2b2

(1)求椭圆M的方程;

(2)荐椭圆M的右焦点为F,过点尸的直线AC与椭圆"分别交于A,8,若直线D4、DC、08的斜

率成等差数列，请问AOCT的面积SA℃F是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

2.,2fl

【答案】(1)二r+匕=1;(2)是，-

434

【解析】

【分析】

⑴根据e=£=1及”2=〃+可得访=34?,再将点0m代入椭圆的方程与4〃=3a2联立解出

a2＜2；

a2,b2,即可求出椭圆的方程;

(2)可设AC所在直线的方程为y=&(x-D,A。］,%),B(x2,y2),-1)),将直线AC的方程

与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出入|+%，%入2,然后将直线D4、DB、。。的斜率人、卜、卜

分别用小马/表示，利用匕+&=2%可求出。=4,从而可确定点C恒在一条直线x=4上，结合图形

即可求出ADCF的面积S&DCF.

【详解】

111

⑴因为椭圆的离心率为不，所以e=c—=:，即c=—

2a22

又。2=从+。2,所以4〃=3a2,①

1Q

因为点在椭圆上，所以/=1，②

/=4丫22

由①②解得，2，所以椭圆C的方程为三+匕=1.

〃=343

⑴可知c=l,F(l,o),可设AC所在直线的方程为y=&(x-1),

y=A:(x-1)

由＜/2,得(3+4女2)/一诙2^+4伏2-3)=0,

—+—=1

143

设4百，y),则%+々=著＞，砧=朱仁3)

3+4匕-3+4仆

设直线D4、DB、0c的斜率分别为占、月、勺，

因为A,8,F三点共线，所以左"=心下=左，即』7=上彳=女，

-1X2-1

所以

33

必一5%一5%v3f11'—2k3.1+/_2_?k]

k\1+k?=-+-=——+—+2xx-(x+x)+l'

’%一1x2-lXj-1x2-l21项一1x2-l)/中23十刈十1

&=--------

t-\

因为直线D4、DC、DB的斜率成等差数列，所以《+&=2&,

即(2左一1)«—1)=2左。-1)一3,化简得f=4,即点C恒在一条直线x=4上,

3

又因为直线。/方程为x=l,且|。/|=己，

2

139

所以SSDCI,是定值SgcF=5X]X3=a.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题.

x=2+2cosa

21.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为.（。为参数）.以坐标原点。为极

y=2sina

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为Qsin（8+7）=9.

（1）求曲线。的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（2）设点若直线/与曲线C相交于A、B两点,求|儿伍|+|加却的值

【答案】（1）C的普通方程为（x—2y+y2=4,/的直角坐标方程为x+y=l；（2）3亚.

【解析】

【分析】

（1）在曲线C的参数方程中消去参数。可得出曲线C的普通方程，利用两角和的正弦公式以及

Qcos0—x

■可将直线I的极坐标方程化为普通方程；

psmO=y

L_V2

A-----2-T

（2）设直线/的参数方程为（/为参数），并设点A、8所对应的参数分别为:、t,利用

1&2

V=14---1

V2

韦达定理可求得+1肱=同+卜21的值.

【详解】

=2+2cosa

（1）由《小.，得%—2=2cosa,y=2sina,

y=2sma

曲线C的普通方程为（X—2）2+V=4,

由即（吒n）考,

得。sin夕+QCOS6=1,.•.直线/的直角坐标方程为x+y=1；

4

_血t

2

（2）设直线/的参数方程为c为参数）,

y=14---1

2

代入（x—2）2+丁=4,得/+3"+1=0,则A=18—4=14>0,

设A、8两点对应参数分别为4、与，."+»2=-30<0，邛2=1>°，

"<o,f2<0,|A£4|+1=I?!I+|r21=|r,+r2|=3V2.

【点睛】

本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，

考查计算能力，属于中等题.

22.2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的

100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到

来之际，学校组织“五四运动100周年"知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4

道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.

(1)求甲同学至少抽到2道B类题的概率；

23

(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是一，答对每道B类题的概率都是-，且各题答对与否相互独立.

35

现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分

布列和数学期望.

129

【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为一.

315

【解析】

【分析】

(1)甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出

抽法数后可求得概率；

(2)X的所有可能值分别为04,2,3,依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望.

【详解】

(1)令“甲同学至少抽到2道B类题”为事件A,则抽到2道B类题有C：C；种取法,抽到3道B类题有C：

种取法,

C~Cl+Cl_40_1

P(A)--120-3

(2)X的所有可能值分别为04,2,3,

P(X=0)=(-)2x-=—,P(X=1)=C'

3545-33533545

P(x=2)=守*P(X=3)=守.|吟

X的分布列为:

X0123

21144

P

4545915

2114429

E(X)=0x—+lx—+2x-+3x—=—

454591515

【点睛】

本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望.解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概

率计算公式.

23.已知椭圆C:5+y2=i的右顶点为A,点尸在》轴上，线段AP与椭圆C的交点8在第一象限，过

点B的直线/与椭圆C相切，且直线/交x轴于M.设过点A且平行于直线/的直线交轴于点Q.

（I）当B为线段AP的中点时，求直线的方程；

（H）记MPQ的面积为S1,AOMB的面积为邑，求S1+S2的最小值.

【答案】（I）直线AB的方程为丫=一半卜一血）（口）0

【解析】

【分析】

（1）设点P（0,%）（%>0），利用中点坐标公式表示点B,并代入椭圆方程解得y0,从而求出直线AB的

方程；（2）设直线/的方程为:y=Ax+m(Z:<0,m^0),表示点M,然后联立方程，利用相

切得出机2=2父+1,然后求出切点再设出设直线A。的方程，求出点。（0,-亚力，利

\mm）'）

用AB两点坐标，求出直线的方程，从而求出一|,最后利用以上已求点的坐标表示面

I\]2k+m7

积，根据基本不等式求最值即可.

【详解】

解：（I）由椭圆C《+y2=[,可得：A（右,0）

由题意：设点P（0,%）（%>。），当B为Q4的中点时，可得：/=*

代入椭圆方程，可得：%=立所以:B

82（唐2£2）

所以^AB~--「2---~—故直线AB的方程为y=-^~(x一五、.

避—近22V

2

(H)由题意，直线/的斜率存在且不为0,

故设直线/的方程为：+制攵<0,加。0)

令y=o,得：X=子，所以：

联立：“2-2，消3,整理得：(2K+l)x~+4ZT?IX+2加~—2=0.

X2+2/-2=0')

因为直线/与椭圆相切，所以△=16/加2-4(2-+1)(2加2-2)=0.

即nr-2k2+1.

、门人/、-2km-2km1

设BCwJ,则菁=罚=k’y=t3+加=灯二，

又直线AQ//直线/,所以设直线AQ的方程为：y=Z（x—血）.

令x=0,得y=-6k,所以：.

]_

因为原8=---=----]-j=r->

-2k_—2k—\2,m

m

]卜-研

所以直线AB的方程为：y—2k—\H）n

1（1

令x=o,得尸方无一,所以：P0,-/=——

\!2k+mIy/2k+m）

2

所以|PQ|=五:=2k2+Okm+lm+\l2km

0k+m

又因为S|=；|PQ|同=；网且=网.

22m

S2=*M|加一〃11

km

所以，+52=同+由22，；（当且仅当网=由，即上=-。时等号成立）

所以（S1+S2L=VL

【点睛】

本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标

式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求

最小值的方法，运算量较大，属于难题.

2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

22

1.已知斜率为-2的直线与双曲线=—==1（。＞0,匕＞0）交于两点，若加（/,为）为线段

a

中点且勺w=-4（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.逐B.3C.&D.

4

【答案】B

【解析】

【分析】

设A（玉,%）,5（%,%），代入双曲线方程相减可得到直线AB的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到a,b

的等式，求出离心率.

【详解】

22

A._2L=1

a2b2

设A&,弘）,5（々,当），则＜

22

强—涯=1

a2h2

两式相减得（…竺）_、+）*—%）=°,

cTb一

如k-飞一—f―1/（%花++々%）一/%N（141]厂一2,,O.Uy-

故选：B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入

双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

22

2.已知双曲线亍一点=1（b＞0）的渐近线方程为JJx±y=O,则6=（）

A.2百B.73D.4百

【答案】A

【解析】

【分析】

22〃

根据双曲线方程三-与=1(b>0),确定焦点位置，再根据渐近线方程氐±y=0得到2=6求解.

4b~a

【详解】

22

因为双曲线匕一与=1(力>0),

4b2

所以a=2,又因为渐近线方程为氐土y=(),

所以2=2=G,

a2

所以小=2也.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

x+2y-2>0

3.已知实数x,)，满足约束条件<x—2y+2N0,则f+产的取值范围是()

x<2

A.---,2^2B.—,8C.—,8D.[1,8]

L」J。」

【答案】B

【解析】

【分析】

画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得f+),2的取值范围.

【详解】

由约束条件作出可行域是由4(2,0),8(0,1),c(2,2)三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，

而f+尸可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB所在的直线X+2y-2=0的距离是

可行域内的点到原点距离的最小值，此时/+9=。。2=(史0]=9,点C到原点的距离是可行

域内的点到原点距离的最大值，此时1+)2=22+22=8.所以9+,2的取值范围是*8.

故选：B

【点睛】

本小题考查线性规划