大一上微积分课件

15.4一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程2.伯努利(Bernoulli)方程3.应用2一阶线性微分方程的标准形式如线性的;非线性的.

自由项1.一阶线性微分方程上面方程称为上面方程称为齐次线性方程;非齐次线性方程.3齐次方程的通解为1.先解对应的齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(C为任意常数)42.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.设想非齐次方程

待定函数齐次方程的通解是它们的解之间应存在某种共性.的解是如此求非齐次方程解的方法叫常数变易法5从而C(x)满足方程6一阶线性非齐次微分方程的通解为.)()(dd的解是xQyxPxy=+非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解7+非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解一阶线性方程解的结构注高阶线性方程有类似的解的结构。8解1例一阶线性非齐次方程(C为任意常数)9解21.先解对应的齐次方程2.再解非齐次方程令非齐次方程的解为：代入原方程10原方程的通解为：(C为任意常数)11解

将方程改写成一阶线性非齐次方程练一练12例

解方程若将方程写成不是可分离变量的,不是齐次方程，若将方程写成即线性方程.分析以x为未知函数,

y为自变量的也不是线性方程.130d)ln(dln=-+yyxxyy解(C为任意常数)14形如的方程,解法称为伯努利(Bernoulli)方程.用除方程的两边,得即2.伯努利方程作变换,方程就可化为z的一阶线性方程15作变换,16解例伯努利方程作变换则方程化为即它的通解为故原方程的通解为(C为任意常数)17解方程解y视为自变量,伯努利方程方程写为:即作变换练一练18故原方程的通解为(C为任意常数)19解

积分方程例如图所示,平行于y轴的动直线被曲线

y=f(x)阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程即截下的线段PQ之长数值上等于求曲线y=f(x).)0(3³=xxy与3.应用20所求曲线为21例静脉输液问题静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术.研究这一过程,设G(t)为时刻t血液中葡萄糖含量,与此血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移其速率与血液中的葡萄糖含量成正比.试列出描述这一现象的微分方程,为了到其他地方,含量.糖以常数同时,解因为血液中的葡萄糖含量的变化率增加速率与减少速率之差,等于而增加速率为减少速率为为正的比例常数,所以需要知道时刻t时血液中的葡萄糖且设葡萄的固定速率输入到血液中,并解之.常数k,22即关于G的一阶线性非齐次方程由通解公式,得设G(0)表示最初血液中葡萄糖含量,于是定出则可确23解1换气问题的含量为某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有

为了降低车间内空气中的

用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含

的含量，的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6秒钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后t时刻的变化率等于增加速率与减少速率之差,增加速率为减少速率为练一练24一阶线性非齐次方程开始时空气中含有

的

,问鼓风机开动6秒钟后,车间内

的百分比降低到多少?的浓度为256秒钟后,车间内

的百分比降低到开始时空气中含有

的

,问鼓风机开动6秒钟后,车间内

的百分比降低到多少?26解2例换气问题的含量为某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有

为了降低车间内空气中的

用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含

的含量，的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6秒钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后t时刻的浓度为取小元素法建立微分方程27含量为用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含

的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,在t时刻的浓度为一方面另一方面dx=通入量—

排出量车间体积为12000立方米,28一阶线性非齐次方程以下同解129一阶线性微