高三数学集合总复习

总复习—集合高三数学知识网络

集合概念运算元素的性质关系表示方法（1）确定性（2）互异性（3）无序性

（1）元素与集合（2）集合与集合

（1）列举法（2）描述法（3）图示法（1）交集（2）并集（3）补集首先我们来看这一部分的考点目标:一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性。说明:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的，“高个的人”、“相当大的数的全体”等均不能视为集合.对于一个给定的集合,集合中的元素又是互异的;在一个集合中通常不考虑它的元素之间的顺序.（2）集合与元素的关系用符号，表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集

N

；整数集

Z

；有理数集

Q

、实数集

R

。（4）集合的表示法：列举法，描述法，图示法(韦恩图、数轴表示数集)。

说明:列举法是把集合中的元素一个一个列举出来的方法.描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法,其一般形式可以表示为{xx具有的属性}.图示法包含：韦恩图（就是在同一平面内,用一条封闭曲线围成的图形表示集合）和数轴表示法(主要表示数集)

注意：

有限集常用列举法表示,无限集常用描述法表示,在用描述法表示集合时,必须认清代表元,如：A{xyx22x1}；B{yyx22x1}；C{(x,y)yx22x1}

是三个不同的集合。一定要区分集合中元素的形式,搞清集合的具体含义（从元素的一般形式出发，搞清是点集，还是数集？是定义域还是值域？）（5）空集是指不含任何元素的集合。（{0}、和{}的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。二、掌握集合间的关系及其运算

（1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。（2）交集、并集、补集的概念:AB{

}；AB{

}；CuA{

}（3）交集、并集、补集的性质：对于任意集合A,B.①AB___BA；AB____BA；AB____AB；②ABA_________；ABA

；

CuABU

；CuAB

；③CR(AB)

；

Cu(AB)；（4）①若n为偶数，则n

；若n为奇数，则n

；②若n被3除余0，则n

；若n被3除余1，则n

；若n被3除余2，则n

；（5）集合中元素的个数的计算：①若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是

。②AB中元素的个数的计算公式为：Card(AB)

；③韦恩图的运用：集合的并集集合的交集集合的补集符合表示全集为U，集合A的补集为图形表示意义{x|x∈A且x∈B}∁UAA∩B3.集合的基本运算A∪B{x|x∈A或x∈B}{x|x∈U，且x∉A}例题讲解:例1、已知xR，yR+，集合A{x2x1，x，x1}，集合B{y，，y1}，若AB，求x2y2的值

本例题主要考查集合的性质:解法1：因为x2x1恒为正,集合B中只有y10,所以由集合元素的确定性得:x2x1

y1即:x2x

y,因为y>0，所以x(x1)同号,且由题意x、x1皆大于0,当xy时,(x1)=y/2，解得：y2(舍)当(x+1)

y时,xy/2,解得：y2，则x1解法2：由题意有x2x1

y1,当xy时,带入上式:x0，则y0由集合中元素的互异性知B不合题意（舍）将再:(x+1)=y带入上式,解得：y2，则x1综合上述：x2y25解:此题用图示法解.画出韦恩图得{11,13}例2、I{xx为不大于20的质数}，A、B为I的子集，A(CIB){3,5}，(CIA)(CIB){7,19}，(CIA)B{2,17}，则AB＝__________解析：M表示以原点为圆心、3为半径的上半个圆的点组成的集合,N表示斜率为1的直线的点构成的集合,MN,说明半圆与直线有交点,

注意：图形在解集合题中的应用，应用图示法解答集合问题,有助于提高解题速度,减少解答失误且MN,求b的取值范围.

0xy(0,3)(3,0)(0,3)(3,0)例6、同时满足①M

{1,2,3,4,5};②若aM，则(6-a)M,的非空集合M有（）。

（A）16个（B）15个（C）7个（D）8个

解析：着重理解“∈”的意义，对M中元素的情况进行讨论，一定要强调如果“a在M中，那么(6-a)也在M中”这一特点，分别讨论“一个、两个、三个、四个、五个元素”等几种情况，得出相应结论。所以答案选

C例7、设集合M满足{a,b}M{a,b,c,d,e}，则不同的集合M共有_____个

解:集合M中必含有a、b,含有c、d、e三个元素的子集个数是23,又M是{a,b,c,d,e}的真子集,所以不同的M有7个.例8、设集合A={-1，1}，集合B={x|x2-2ax+b=0,x是实数}且BA,B求实数a,b的值。解:因为BA,B所以B{1};B{1};B{1,1}当B{1}时,由4a24b0及12ab0,解得:a1,b1当B{1}时,由4a24b0及12ab0,解得:a1,b1当B{1,1}时,由韦达定理得:a0,b1综合上述:

a1,b1;a1,b1;a0,b1.通过上述例题的讲解,集合中我们须注意的问题是：（1）搞清集合的具体含义（从元素的一般形式出发，搞清是点集，还是数集？是定义域还是值域？）；（2）正确书写符号（补集、子集、真子集、属于、包含于、正整数集、自然数集等）；（3）掌握利用图形（Venu图、数轴、坐标系中的图像等）解题，学会用图和符号语言来表示关系（集合与集合的、元素与集合的）；（4）注意空集在解题中的作用,防止因漏掉空集而导致解题错误；（5）注意集合的综合性。1.已知集合A＝{0,1，x2－5x}，有－4∈A，则实数x的值为

(

)A.1

B.4C.1或4D.36解析：∵－4∈A，A＝{0,1，x2－5x}，∴x2－5x＝－4，解之得x＝1或x＝4.答案：C课堂练习2.已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是(

)A.4B.3C.2D.1

解析：∵Q⊆P，P＝{1,2}，∴Q＝∅，{1}，{2}，{1,2}.

答案：A3.已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合

M∩N＝(

)A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}解析：∵M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，∴N＝{0,2,4}，∴M∩N＝{0,2}.答案：D4.设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}.若A∩B＝{2}，

则A∪B＝

.解析：∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2.∴a＝1.∴b＝2.∴A＝{5,2}，B＝{1,2}.∴A∪B＝{1,2,5}.答案：{1,2,5}5.已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数的取值范围是

.解析：借助数轴可知a≤1.答案：a≤1已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.[思路点拨]分别令a－2＝－3,2a2＋5a＝－3求出a的值，注意检验.[课堂笔记]∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，∴a＝－1舍去；当a＝－时，a－2＝－,2a2＋5a＝－3，∴a＝－.已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，集合B＝{x|－＜x≤2}.(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.[思路点拨]化简集合A在数轴上标出A、B结论[课堂笔记]

(1)由0＜ax＋1≤5，得－1＜ax≤4.当a＝0时，A＝R，不满足A⊆B；当a＞0时，A＝{x|－＜x≤}；若A⊆B，则解得a≥2.当a＜0时，A＝{x|≤x＜－}，若A⊆B，则解得a＜－8综上，若A⊆B，则a＜－8或a≥2.(2)由(1)知，当a＝0时，A＝R，满足B⊆A；当a＞0时，若B⊆A，则解得0＜a≤2.当a＜0时，若B⊆A，则解得－＜a＜0.综上，满足B⊆A的a的取值范围为.(3)若A＝B，由(1)知a≠0.当a＞0时，由解得a＝2，即a＝2时满足A＝B.当a＜0时，由A＝{x|≤x＜－}，B＝{x|－＜x≤2}，显然A≠B.综上，若A＝B，a的值为2.1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩NB为

(

)A.{1,5,7}

B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}解析：显然A∩NB＝A(A∩B)，且A∩B＝{3,9}，所以结果为{1,5,7}.答案：A2.已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(

)

A.{x|x＜－5或x＞－3}B.{x|－5＜x＜5}

C.{x|－3＜x＜5}D.{x|x＜－3或x＞5}解析：由题意画出图形.可知，M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}.答案：A3.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(