广东省茂名市高州第四中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

广东省茂名市高州第四中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定积分的值为（

）

参考答案：C2.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：A3.若向量的夹角为120°，且，则有

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知a≤+lnx对任意恒成立，则a的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】函数恒成立问题． 【专题】导数的综合应用． 【分析】构造函数令f（x）=+lnx，利用导函数判断函数的单调性，利用单调性求出其最小值即可． 【解答】解：令f（x）=+lnx， ∴f'（x）=（1﹣）， 当x∈[，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减； 当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）递增； ∴f（x）≥f（1）=0； ∴a≤0． 故选A． 【点评】考查了恒成立问题，需转换为最值，用到导函数求函数的极值，应熟练掌握． 5.如图，在长方体中，，分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，。若，则截面的面积为

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：答案：C6.若函数在（0，1）上单调递减，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D7.极坐标方程表示的曲线为

（

）

A．一条射线和一个圆

B．两条直线

C．一条直线和一个圆

D．一个圆参考答案：C略8.复数(

)

A. B. C. D.参考答案：B，选B.9.已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是（A）（，）

(B)［，）

(C)（，）

(D)［，）参考答案：A10.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23参考答案：B【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以zmin=4+3=7，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的最小正周期是，则正数______.

参考答案：2

因为的周期为，而绝对值的周期减半，即的周期为，由，得。12.已知，，直线与函数的图象从左至右相交于点，直线与函数的图象从左至右相交于点，记线段和在轴上的投影程长度分别为，当变化时，的最小值是

参考答案：813.圆心为且与直线相切的圆的方程是

_______________________

．

参考答案：答案：14.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是（

）(A)

(B)

(C)2

(D)参考答案：A15.已知函数（x∈R）上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递增区间为

____参考答案：16.已知一条抛物线的焦点是直线l：y=﹣x﹣t（t＞0）与x轴的交点，若抛物线与直线l交两点A，B，且，则t=．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】当y=0，求得焦点坐标求得抛物线方程，将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得t的值．【解答】解：当y=0时，x=﹣t，则抛物线的焦点F（﹣t，0），则抛物线方程y2=﹣4tx，设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），由，整理得：x2+6tx+t2=0，则x1+x2=﹣6t，则丨AB丨=丨x1+x2﹣2t丨=8t=2，∴t=，故答案为：．17.设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为

．参考答案：考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：概率与统计．分析：画出图形，求出区域面积以及满足条件的P的区域面积，利用几何概型公式解答．解答： 解：不等式组表示的区域D如图三角形区域，面积为=8，点P落在圆x2+y2=1内对应区域的面积为，如图由几何概型的公式得；故答案为：点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确区域以及区域面积，利用公式解答．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（0，），且椭圆C经过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，1）的斜率不为0的直线与椭圆交于A、B两点，A关于y轴的对称点为A′，求证：A′B恒过y轴上的一个定点．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=，将P的坐标代入椭圆方程，由a，b，c的关系可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），即有A'（﹣x1，y1），直线AB的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线A'B的方程，令x=0，求得y，化简整理，即可得到定值4，即有直线A'B恒过定点．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=，将P的坐标代入椭圆方程可得：+=1，又a2﹣b2=3，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为x2+=1；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），即有A'（﹣x1，y1），直线AB的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程4x2+y2=4，可得：（4+k2）x2+2kx﹣3=0，可得x1+x2=﹣，x1x2=﹣，直线A'B的方程为y﹣y1=（x+x1），令x=0，可得y===+1==1=4．则A′B恒过y轴上的一个定点（0，4）．19.如图，在三棱柱中，，.（1）证明：；（2）若，求三棱柱的体积.参考答案：（Ⅰ）证明：设点为的中点，连接，，由，，知△与△均为等边三角形，点为的中点，可得，，，相交于点，所以平面，又平面，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△与△均是边长为是等边三角形，，又在△中，，，由余弦定理得，所以，故，又，故平面，所以，所以，所求三棱柱的体积为．

19.解：20.（本小题满分14分）设点P(-2，1)在抛物线上，且到圆上点的最小距离为1．(I)求p和b的值；(II)过点P作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点A，B，若直线AB与圆C交于不同两点M，N.(i)证明直线AB的斜率为定值；(ii)求△PMN面积取最大值时直线AB的方程．参考答案：21.某企业库存有某批产品若干件，现从中随机抽取该种产品500件，测量出了这些产品的质量指标值，由测量数据经整理获得如下统计表（质量指标值满分为135）：

质量指标值X[65,75)[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)[125,135]频数Y10451101651204010已知该批产品的质量指标值，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当产品的质量指标值时，称该产品为一等品.某商家面向全社会招标采购该类产品，期望所购买的该类产品中一等品的件数不得低于10℅，以此期望为决策依据，试问该企业的该类产品是否可以参与该商家的招标采购？请说明理由.参考数据：≈12.2. 若，则，，.参考答案：(Ⅰ)由题得各组频率如下：

0.02，

0.09，

0.22，

0.33，0.24，

0.08，

0.02所以，抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为， 2分， 4分所以，由题得，从而

； 6分（Ⅱ）因一件产品中一等品的概率为， 7分设商家欲购产品的件数为m,且其中一等品可能的件数为，所以， 8分所以m件产品中一等品的期望， 10分又因商家欲购m产品中一等品的期望为， 11分

因，所以该批产品不能达到商家要求，不能参与招标. 12分22.（本小题满分12分）已知向量