广东省肇庆市田家炳中学高三数学理期末试卷含解析

广东省肇庆市田家炳中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{3，4} C．{1} D．{1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由交集的定义，分析集合P、Q的公共元素，即可得答案．【解答】解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，P、Q的公共元素为1、2，P∩Q={1，2}，故选D．【点评】本题考查集合交集的运算，关键是理解集合交集的含义．2.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为(

)A、18+8π

B、8+8πC、16+16π

D、8+16π

参考答案：A3.向量，若，则k的值是(

)A.4 B.-4 C.2 D.-2参考答案：B【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值.【详解】，故选B.【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，考查了运算能力.4.设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（）A.相离. B.相切. C.相交. D.随m的变化而变化.参考答案：D直线AB的方程为.即，所以直线AB的方程为,因为,所以,所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.5.函数的图像如图，则的解析式可能是

（

）A． B．C． D．参考答案：D略6.已知中，条件甲：条件乙：为等边三角形，则甲是乙的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：B7.设函数，则不等式的解集是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=ANN，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=AN+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为AN+1N+1，故选：C9.设i=(1,0)，j=(0,1)，若向量a满足|a－2i|+|a－j|=，则|a+2j|的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，记A1B1的中点为E，平面C1EC

与AB1C1的交线为l，则直线l与AC所成角的余弦值是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB中点D，连结CD，ED，ED∩AB1=F，连结EF，则C1F即为平面C1EC与AB1C1的交线l，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用利用向量法能求出直线l与AC所成角的余弦值．【解答】解：取AB中点D，连结CD，ED，ED∩AB1=F，连结EF，则C1F即为平面C1EC与AB1C1的交线l，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），B1（0，1，2），F（），=（），=（1，0，0），设直线l与AC所成角为θ，则cosθ===．∴直线l与AC所成角的余弦值为．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.投资生产A，B两种产品需要资金，场地，以及所获利润如下表所示。

资金（百万元）场地（百平方米）利润（百万元）A产品（百吨）223B产品（百米）312限制149

现某工厂可使用资金1400万元，场地900m2，若选择投资A，B产品最佳组合方案，则获利最大值为

百万元.参考答案：14．75略12.在△ABC中，若，，成等差数列，则cosC的最小值为

▲

．参考答案：∵，，成等差数列，∴，即，可得，，由正弦定理和余弦定理可得：，化简得，，故答案为.

13.已知

.参考答案：14.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<的x的取值范围是________．参考答案：15.已知平面向量则的值是____________.参考答案：略16.已知函数（x∈R）上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递增区间为

____参考答案：17.已知，若，则的夹角为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线与圆，（1）求证：直线l与圆C相交；（2）设直线l与圆C相交于A、B两点，又已知点P（m，0），m∈R，求||PA|﹣|PB||的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】证明题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）直线l消去参数t，得直线l的普通方程，圆C化为普通方程，求出圆心C到直线l：x+y﹣3=0的距离，由此能证明直线l与圆C相交．（2）圆心坐标，直线l的方程求出AB长，当点P不在直线AB上，则这、A、B构成一个三角形，从而||PA|﹣|PB||＜|AB|，当点P在直线AB上，||PA|﹣|PB||≤|AB|，由此能求出||PA|﹣|PB||的最大值．【解答】证明：（1）直线中，消去参数t，得直线l的普通方程为x+y﹣3=0．圆化为普通方程，得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，圆心C（1，1），半径r=，圆心C（1，1）到直线l：x+y﹣3=0的距离：d==，∴直线l与圆C相交．解：（2）过圆心C作CD⊥AB，交AB于D，由（2）得CD=d=，∴AB=2AD=2=2=2×=．当点P不在直线AB上，则这、A、B构成一个三角形，∴||PA|﹣|PB||＜|AB|，当点P在直线AB上，||PA|﹣|PB||≤|AB|=，∴||PA|﹣|PB||的最大值为．【点评】本题考查直线与圆相交的证明，考查两线段之差的绝对值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．19.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：(I)若某企业每天由空气污染造成的经济损失Ｓ（单位：元）与空气质量指数APＩ(记为）的关系式为：

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；

(Ⅱ)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95％的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：参考答案：解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A由，得，频数为39，

……3分……….4分（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100……….8分K2的观测值……………….10分所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.……….12分

略20.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；物理成绩由低到高依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用分层抽样的性质能求出按性别比例分层抽样抽取女生数和男生数．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，按性别比例分层抽样抽取女生数为：=5人，男生数为：人．…4分（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…5分，，，…8分ξ的分布列为ξ012p…12分．21.（14分）（2015?泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．参考答案：【考点】：三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【专题】：计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】：（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理计算即可得到AB的长；（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+），再由≤（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴．

（2）设∠BOM=θ，，在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ，∴，∴，，当sinθ+cosθ=，即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．【点评】：本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．22.在平面直角