广东省肇庆市南天中学2021年高三数学理月考试卷含解析

广东省肇庆市南天中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论中正确的个数是（

）．①在△ABC中，若，则△ABC是等腰三角形；②在△ABC中，若，则③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】对每个命题逐一检验其正确性:①：若，则或；②:转化为证明其逆否命题：在△ABC中，若，则，结合正弦函数单调性可证；③：若，不合命题的充要性，命题为假；④：常数列不合题意.【详解】对于①：若，则或，即或即△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在△ABC中，若，则当时，由正弦函数单调递增可得；当时，，所以原命题成立，所以该命题正确；对于③：若，满足向量，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；对于④：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确.故选：B【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.2.抛物线的焦点坐标是

【

】A、（2，0）

B、（-2，0）

C、（4，0）

D、（-4，0）参考答案：B3.将函数的图象上向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，则解析式为（

）

参考答案：B4.设中心在原点的椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长半轴长为10，若曲线上任意一点到椭圆C的两个焦点的距离的差的绝对值等于6，则曲线的方程为

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）=2f（1），若y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，且f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=（）A．0 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据条件判断函数f（x）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【解答】解：y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数f（x）是偶函数，令x=﹣1，则f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，则f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），则函数的周期是2，又f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键．6.设集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.设函数，对任意，若，则下列式子成立的是(

)A． B．

C．

D．参考答案：B8.(

)

A.

B．

C．

D．参考答案：D9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象

(

)

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度参考答案：D10.设集合,集合，则集合中有___个元素A．4

B．5

C．6

D． 7 参考答案：∵，所以，∴中有6个元素，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．参考答案：﹣考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得f（﹣）=﹣f（）=﹣f（4+）=﹣f（），代入已知条件进行运算．解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），f（﹣）=﹣f（）=﹣f（4+）=﹣f（）=﹣2×=﹣．故答案为：点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．12.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=．参考答案：﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】当x＞0时，f（x）=x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）=﹣f（1），即可得出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=1+1=2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．13.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣表示x的非负纯小数，则y=称为高斯函数，已知数列{an}满足：，则a2017=．参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由于：，经过计算可得：数列{a2k﹣1}成等差数列，首项为，公差为3．即可得出．【解答】解：满足：，∴a2=1+=2+．a3=2+=3+=4+（﹣1），a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+（﹣1）．a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+（﹣1），…，可得：数列{a2k﹣1}成等差数列，首项为，公差为3．则a2017=+3×（1009﹣1）=3024+．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知函数f(x)=－x3+ax2+bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=

．参考答案：-1略15.已知函数，，则f(x)的最小值是

．参考答案：化简：当时，函数取得最小值，最小值是

16.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则

．参考答案：

17.命题“?x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是

．参考答案：?x＞0，x2+x﹣2≤0【考点】命题的否定．【专题】计算题；转化思想；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是：?x＞0，x2+x﹣2≤0．故答案为：?x＞0，x2+x﹣2≤0．【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，.（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P—ABCD的体积.参考答案：

略19.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求点P到平面BCD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一：过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．证明四边形MFEN为平行四边形，推出EF∥MN，然后证明EF∥平面ABC．法二：取AD中点G，连接GE，GF，推出GE∥AC，GF∥AB，证明平面GEF∥平面ABC，然后证明EF∥平面ABC．（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB．求出．记点P到平面BCD的距离为d，通过VP﹣BCD=VC﹣PBD，转化求解点P到平面BCD的距离即可．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．∵点E为CD的中点，∴EN．又PF=3FB，∴MF，∴FMEN，所以四边形MFEN为平行四边形，∴EF∥MN，∵EF?平面ABC，MN?平面ABC，∴EF∥平面ABC．…（6分）法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB，因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，所以EF∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又BC⊥AB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．又∠BAC=60°，AC=2，∴，∴．记点P到平面BCD的距离为d，则VP﹣BCD=VC﹣PBD，∴，∴，所以，点P到平面BCD的距离为．

…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.设命题“对任意的”，命题“存在，使”。如果命题为真，命题为假，求实数的取值范围。参考答案：解：由题意：对于命题∵对任意的∴，即p:；

对于命题∵存在，使∴,即q:.

∵为真，为假∴p,q一真一假，

p真q假时,

p假q真时,

∴a的范围是.

略21.

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.参考答案：（1）设污水处理池的宽为米，则长为米则总造价（元）当且仅当，即时取等号当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元

(2）由限制条件知

设在上是增函数，当时（此时），有最小值，即有最小值当长为16米，宽为米时，总造价最低

22.在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足OE=OF1+，且△EF1F2的周长为2（+1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知F1（﹣xc，0），设B（0，b），则E（﹣c，），，2a+2c=2+2，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，由，得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点M到直线距离的取值范围．解答： （本小题满分12分）解：（1）由已知F1（﹣xc，0），设B（0，b），即=（﹣c，0），=（0，b），∴=（﹣c，），即E（﹣c，），∴，得，①…又△PF1F2的周长为2（），∴2a+2c=2+2，②…又①②得：c=1，a=，∴b=1，∴所求椭圆C的方程为：=1．…（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，由，消去