统计学（第三版） 袁卫 庞皓 曾五一 贾俊平课件 (02)第2章 统计数据的描述（袁卫）

第2章统计数据的描述2.1统计数据的整理2.2分布集中趋势的测度2.3分布离散程度的测度2.4分布偏态与峰态的测度2.5统计表与统计图学习目标了解数据的计量尺度了解统计数据的来源和数据的质量要求掌握数值型数据的整理与显示方法掌握数据集中趋势和离散程度的测度方法掌握茎叶图和箱线图的制作方法掌握分布集中趋势的测度方法掌握分布离散程度的测度方法2.1统计数据的整理一、统计数据的分组

二、次数分配三、次数分配直方图四、洛伦茨曲线统计数据的分组组距分组

(要点)将变量值的一个区间作为一组适合于连续变量适合于变量值较多的情况需要遵循“不重不漏”的原则可采用等距分组，也可采用不等距分组组距分组

(步骤)确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的确定组距：组距(ClassWidth)是一个组的上限与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即

组距＝(最大值-最小值)÷组数统计出各组的频数并整理成频数分布表组距分组

(几个概念)1.下限(lowlimit)

：一个组的最小值2.上限(upperlimit)

：一个组的最大值3.组距(classwidth)

：上限与下限之差4.组中值(classmidpoint)

：下限与上限之间的中点值下限值+上限值2组中值=次数分配表的编制

(例题分析)【例】某车间30名工人每周加工某种零件件数如下表试对数据进行分组。

次数分配表次数分配直方图直方图

(histogram)用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际上是用矩形的面积来表示各组的频数分布在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图直方图下的总面积等于1分组数据的图示

(直方图的绘制)某车间工人周加工零件直方图

折线图

(frequencypolygon)折线图也称频数多边形图是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(组中值)用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表示的频数分布是一致的分组数据的图示

(折线图的绘制)折线图与直方图下的面积相等！某车间工人周加工零件折线图

洛伦茨曲线洛伦茨曲线本世纪初美国经济学家、统计学家洛伦茨(M.E.Lorentz)根据意大利经济学家巴雷特(V.Pareto)提出的收入分配公式绘制成描述收入和财富分配性质的曲线分析该国家或地区分配的平均程度

AB累积的人口百分比累积的收入百分比绝对公平线基尼系数20世纪初意大利经济学家基尼(G.Gini)根据洛伦茨曲线给出了衡收入分配平均程度的指标

A表示实际收入曲线与绝对平均线之间的面积B表示实际收入曲线与绝对不平均线之间的面积如果A=0，则基尼系数=0，表示收入绝对平均如果B=0，则基尼系数=1，表示收入绝对不平均基尼系数在0和1之间取值一般认为，基尼系数若小于0.2，表明分配平均；基尼系数在0.2至0.4之间是比较适当的，即一个社会既有效率又没有造成极大的分配不公；基尼系数在0.4被认为是收入分配不公平的警戒线，超过了0.4应该采取措施缩小这一差距。AB2.2分布集中趋势的测度一、众数二、中位数三、分位数四、均值五、几何平均数六、切尾均值七、众数、中位数和均值的比较众数众数

(mode)一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据中位数中位数

(median)排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即中位数

(位置的确定)原始数据：顺序数据：数值型数据的中位数

(9个数据的算例)【例】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排

序:7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位数1080数值型数据的中位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排

序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910四分位数四分位数

(quartile)排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%四分位数

(位置的确定)原始数据：分组数据：数值型数据的四分位数

(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排

序:75078085096010801250150016302000位置:123456789数值型数据的四分位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排

序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910均值均值

(mean)集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据简单平均数

(simplemean)设一组数据为：x1，x2，…，xn总体平均数样本平均数加权平均数

(weightedmean)设一组数据为：x1，x2，…，xn相应的频数为：f1，f2，…，fk总体平均数样本平均数加权平均数

(例题分析)

平均数

(数学性质)1. 各变量值与平均数的离差之和等于零

2.各变量值与平均数的离差平方和最小几何平均数几何平均数

(geometricmean)

n个变量值乘积的

n次方根适用于对比率数据的平均主要用于计算平均增长率计算公式为5.可看作是平均数的一种变形几何平均数

(例题分析)

【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率算术平均：

几何平均：切尾均值切尾均值

(trimmedMean)

去掉大小两端的若干数值后计算中间数据的均值在电视大奖赛、体育比赛及需要人们进行综合评价的比赛项目中已得到广泛应用计算公式为n

表示观察值的个数；α表示切尾系数，

切尾均值

(例题分析)

【例】谋次比赛共有11名评委，对某位歌手的给分分别是：经整理得到顺序统计量值为去掉一个最高分和一个最低分，取1/11

众数、中位数和平均数的比较众数、中位数、平均数的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用2.3分布离散程度的测度一、极差二、内距三、方差和标准差四、离散系数极差

(range)一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布

R

=max(xi)-min(xi)计算公式为内距

(Inter-QuartileRange,IQR)

也称四分位差上四分位数与下四分位数之差

内距=Q3

–Q1反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响可用于衡量中位数的代表性方差和标准差方差和标准差

(VarianceandStandarddeviation)1. 离散程度的测度值之一2. 最常用的测度值3. 反映了数据的分布反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4681012x=8.3总体方差和标准差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式样本方差和标准差

(simplevarianceandstandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式样本方差

自由度(degreeoffreedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为

n

时，若样本均值x

确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则

x

=5。当

x

=5

确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量离散系数离散系数

(coefficientofvariation)1. 标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响4. 用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为离散系数

(例题分析)某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度离散系数

(例题分析)结论：计算结果表明，v1<v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度v1=536.25309.19=0.577v2=32.521523.09=0.7102.4分布偏态与峰态的测度一、偏态及其测度二、峰态及其测度偏态

(skewness)统计学家Pearson于1895年首次提出数据分布偏斜程度的测度2. 偏态系数=0为对称分布3. 偏态系数>0为右偏分布偏态系数<0为左偏分布偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.5～1或-0.5～-1之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低偏态系数

(coefficientofskewness)根据分组数据计算峰态峰态

(kurtosis)统计学家Pearson于1905年首次提出数据分布扁平程度的测度峰态系数=0扁平峰度适中峰态系数<0为扁平分布峰态系数>0为尖峰分布峰态系数

(coefficientofkurtosis)根据分组数据计算2.5统计表与统计图一、统计表二、统计图要合理安排统计表的结构总标题内容应满足3W要求数据计量单位相同时，可放在表的右上角标明，不同时应放在每个指标后或单列出一列标明表中的上下两条横线一般用粗线，其他线用细线通常情况下，统计表的左右两边不封口表中的数据一般是右对齐，有小数点时应以小数点对齐，而且小数点的位数应统一对于没有数字的表格单元，一般用“—”表示必要时可在表的下方加上注释统计表的设计茎叶图

(stem-and-leafdisplay)用于显示未分组的原始数据的分布由“茎”和“叶”两部分构成，其图形是由数字组成的以该组数据的高位数值作树茎，低位数字作树叶树叶上只保留一位数字茎叶图类似于横置的直方图，但又有区别直方图可观察一组数据的分布状况，但没有给出具体的数值茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，保留了原始数据的信息茎叶图

(例题分析)茎叶图

(扩展的茎叶图)统计图箱线图

(boxplot)用于显示未分组的原始数据的分布箱线图由一组数据的5个特征值绘制而成，它由一个箱子和两条线段组成箱线图的绘制方法首先找出一组数据的5个特征值，即最大值、最小值、中位数Me和两个四分位数(下四分位数QL和上四分位数QU）连接两个四分（位）数画出箱子，再将两个极值点与箱子相连接

箱线图

(箱线图的构成)中位数4681012QUQLX最大值X最小值简单箱线图箱线图

(例题分析)最小值84最大值128中位数105下四分位数96上四分位数10980859095100105110150120125130周加工零件数的箱