2018第一学期-概率统计

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引例甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹击中的环数分别为：甲10,6,7,10,8,9,9,10,5,10乙8,7,9,10,9,8,7,9,8,9问哪一个射手的技术较好？解

首先比较平均环数甲=8.4,乙=8.4§5.3方差有六个不同数据仅有四个不同数据再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙定义若E((X-E(X))2)存在，则称其为随机变量X的方差,

记为D(X)

D(X)=E((X-E(X))2)称为X的均方差.

方差的概念(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量

E(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值

的平均偏离程度——数若

X为离散型r.v.，概率分布为若

X为连续型，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：D(X)=E((X-E(X))2)=E(X2-2X·E(X)+E2(X))=E(X2

)-E(X)·2·E(X)+E2(X)=E(X2

)-E2(X)例1

设X~P(),求D(X).解

方差的计算例3

设X~N(,2),求D(X)解常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p

的0-1分布P(1-p)B(n,p)np(1-p)P()分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)

D(C)=0

D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)

方差的性质性质1：D(C)=0性质2：D(aX)=a2D(X)证明：证明：注意到，

性质3：证明：特别地，若X,Y相互独立，则若X,Y相互独立若相互独立，为常数则

对任意常数C,D(X)

E(X–C)2,

当且仅当C=E(X)时等号成立证明：当C=E(X)时，显然等号成立；当CE(X)时，D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)例4

已知X,Y相互独立，且都服从

N(0,0.5),

求E(|X–Y|).解故记为例5

设X表示独立射击直到击中目标

次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为p，求E(X),D(X).相互独立,

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